INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica
STRUMENTI MATEMATICI PER L’ANALISI
STRUMENTI MATEMATICI PER L’ANALISI
DEI SISTEMI DISCRETI
DEI SISTEMI DISCRETI
Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
Richiami di Controlli Automatici
Richiami di Controlli Automatici
Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi a tempo continuo può essere descritto da equazioni differenziali, che in generale hanno la forma:
Molti sistemi di interesse possono essere descritti da equazioni
differenziali lineari a parametri concentraticaratterizzate dalla seguente forma semplificata.
I sistemi descritti da queste equazioni sono detti sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI).
Se il sistema che si sta modellando è caratterizzato da un solo ingresso e una sola uscita, si parlerà di sistemi single input single output (SISO).
Richiami di Controlli Automatici
Richiami di Controlli Automatici
Nel corso di Controlli Automatici sono stati trattati sistemi LTI SISO. E’ possibile passare da una rappresentazione nel dominio dei tempi a una nel dominio complesso e viceversa tramite le operazioni di TrasformataeAntitrasformata di Laplace
Trasformatae Antitrasformata di Laplace.
ITSC02 -- 3 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Il vantaggio principale nel passare al dominio complesso è che
un’equazione differenziale viene trasformata in un’equazione algebrica più semplice da gestire.
Richiami di Controlli Automatici
Richiami di Controlli Automatici
Un sistema LTI-SISO può essere descritto nel dominio complesso tramite una Funzione di Trasferimento.
La rappresentazione mediante funzione di trasferimento è molto “comoda” e ha consentito di sviluppare un’analisi approfondita del comportamento del sistema, un’analisi delle specifiche e svariate tecniche per il progetto di controllori.
Richiami di Controlli Automatici
Richiami di Controlli Automatici
Gc(s) Gp(s)
r(t) e(t) u(t) y(t)
Lo schema di controllo finale è:
-Sia il plant che il controllore sono rappresentati da funzioni di trasferimento e, quindi, sono sistemi a tempo continuo. Ma l’azione di controllo deve essere implementata su un calcolatore che è un sistema a tempo discreto
ITSC02 -- 5 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
discreto…
Occorre sviluppare un framework per la modellazione dei sistemi discreti in modo da poter costruire un’azione di controllo che sia implementabile su di un sistema a microprocessore.
Descrizione di Sistemi a tempo discreto
Descrizione di Sistemi a tempo discreto
Equazioni SISTEMI SISTEMI TEMPO TEMPO--CONTINUICONTINUI Equazioni alle SISTEMI SISTEMI TEMPO TEMPO--DISCRETIDISCRETI Equazioni differenziali Trasformata di Equazioni alle differenze Trasformata
Z
D
D//
A
A
A
A
//D
D
Laplace TrasformataZ
Equazioni alle differenze
Equazioni alle differenze
El b i
Si supponga di voler elaborare una sequenza di dati discreti ek=e(kT), con k=1,2,…, per ottenere una sequenza uk=u(kT).
Elaborazione In generale:
Se la funzione f(·) è linearee dipendente solo da un valore finitodi valori
i di d l’ l b i ò d
ITSC02 -- 7 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
equazione lineare alle differenze di ordine n passati di uked ek, l’elaborazione può essere rappresentata da:
Soluzione delle equazioni alle differenze
Soluzione delle equazioni alle differenze
Condizioni iniziali:
Trovare la soluzione delle equazioni alle differenze è semplice. Basta conoscere le condizioni iniziali. Si consideri ad esempio:
iniziali: 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 10
Soluzione delle equazioni alle differenze
Soluzione delle equazioni alle differenze
Nel caso generale, si ipotizza che la sequenza soluzione sia nella forma:Sostituendo la soluzione candidata nell’equazione si ottiene:q
Dividendo per czksi ottiene
ITSC02 -- 9 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Poiché l’equazione è lineare, si ha che la combinazione lineare di due soluzioni è ancora una soluzione. Quindi
è ancora una soluzione
Soluzione delle equazioni alle differenze
Soluzione delle equazioni alle differenze
Le costanti c1e c2si determinano imponendo specifiche condizioni iniziali.da cui da cui
Soluzione delle equazioni alle differenze
Soluzione delle equazioni alle differenze
L’equazione che si ottiene dopo la sostituzione uk=zkè detta equazione equazionecaratteristica
caratteristica dell’equazione alle differenze.
Se una delle radici dell’equazione caratteristica ha modulo maggiore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è instabile (cioè la sua soluzione divergerà al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita).
Se tutte le radici dell’equazione caratteristica hanno modulo minore di 1, allora la corrispondente equazione alle differenze è stabile (cioè la sua soluzione convergerà a 0 al crescere del tempo per qualsiasi condizione iniziale finita).
instabile instabile
ITSC02 -- 11 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
1 stabile stabile instabile instabile
Equazione caratteristica
Equazione caratteristica
L’ equazione caratteristicaequazione caratteristica(associata all’equazione) è data da
La trasformata Z
La trasformata Z
La trasformata Z è un metodo utilizzato per studiare i sistemi discreti. Essa rappresenta essenzialmente l'analogo della trasformata di Laplace per i sistemi continui.
DEFINIZIONE:Sia data una sequenza di valori xk∈ R definita per k = DEFINIZIONE: Sia data una sequenza di valori xk∈ R, definita per k = 0, 1, 2,… e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza xk è la funzione di variabile complessa z definita come:
ITSC02 -- 13 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La Z-trasformata è definita in una regione del piano complesso z
detta dominio di convergenza, cioè nell'insieme dei punti z per i quali la serie converge.
La trasformata Zeta
La trasformata Zeta
Nel caso in cui la sequenza di valori xksia ottenuta campionando
uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione x(t), t ≥ 0, si avrà che xk= x(kT) (o più semplicemente xk= x(k), k = t/T = 0, 1, 2, … ) e corrispondentemente si scriverà
DIPENDE DAL PERIODO (T) DI DIPENDE DAL PERIODO (T) DI DIPENDE DAL PERIODO (T) DI DIPENDE DAL PERIODO (T) DI
CAMPIONAMENTO CAMPIONAMENTO
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata
Nei casi di interesse ingegneristico, X(z) ha una espressione razionale fratta
p1, p2, …, pnsono i polidi X(z) mentre z1,z2,…,zmsono gli zeri di X(z)
ITSC02 -- 15 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata
Raccogliendo znsia al numeratore che al denominatore si ottiene una rappresentazione più utilizzata nelle applicazioni controllistiche in cui compaiono solo potenze di z-1:
Il termine z-kè interpretabile come un ritardo
z
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Funzioni elementari
Funzioni elementari
•
Impulso discreto unitario.Sia data la funzione, detta anchefunzione delta di Kronecker δ0(t):
•
Gradino unitario.Sia data la funzioneITSC02 -- 17 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Serie convergente per |z| > 1
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Funzioni elementari
Funzioni elementari
•
Rampa unitaria.Si consideri la funzione rampa unitaria:Poichè x(kT) = kT, k = 0, 1, 2, …, la Z-trasformata è
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Funzioni elementari
Funzioni elementari
•
Funzione potenza ak.Sia data la funzione:a
costante reale o complessa Dalla definizione si haITSC02 -- 19 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Serie convergente per |z| > a
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Funzioni elementari
Funzioni elementari
•
Funzione esponenziale.Sia data la funzione:a
costante reale o complessa Poichè x(kT) = e-akT, k = 0, 1, 2, …, si haLa Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Funzioni elementari
Funzioni elementari
•
Funzione sinusoidale.Sia data la funzione:Dalle formule di Eulero:
ITSC02 -- 21 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Convergente per |z| > 1
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Funzioni elementari
Funzioni elementari
•
Funzione cosinusoidale.Sia data la funzione:Analogamente a prima, con le formule di Eulero
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata
Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente riportate in tabelle che vengono consultate per la determinazione di Z-trasformate di funzione generiche, in modo analogo a quanto avviene per le tabelle delle trasformate di Laplace.
Tramite le tabelle si possono determinare le Z-trasformate di funzioni di maggior complessità, scomponendo tali funzioni in somme di funzioni più semplici e ricomponendo successivamente le corrispondenti Z-trasformate. Esempio:Determinare la Z-trasformata di
ITSC02 -- 23 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Tabelle delle Z
Tabelle delle Z
Tabelle delle Z-
-Trasformate
Trasformate
ITSC02 -- 25 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata
•
Dato un segnale x(t) e il periodo di campionamento T, si ottiene una unica X(z)•
A una X(z) possono corrispondere molte funzioni continue x(t)•
Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizionirestrittive su T del teorema di Shannon restrittive su T del teorema di Shannon
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 , y 1 x x x x x x 0 2 4 6 8 10 12 0 0.2 0.4 0.6 0.8 y 0 t (s)
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
•
Linearità: La Z trasformata è un operatore lineare•
Moltiplicazione per ak:Siano X(z) la Z-trasformata di x(t) e a unacostante. La Z-trasformata di akx(k) è data da X(a-1z):
ITSC02 -- 27 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
•
Teorema della traslazione nel tempo: Sia dato un segnale x(t), nullo per t<0, e sia X(z) = Z[x(t)]. Per n = 0, 1, 2, … si ha che:ritardo anticipo
In pratica spesso si scrive, con un certo abuso di notazione:
Diapositiva 28
CS1 Fare le dimostrazione del ritardo se c'è tempo. Ripassarla a pagina 26 del libro Cris; 21/12/2005
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
Teorema del valore iniziale: Se X(z) = Z[x(t)] ed esiste
allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da:
ITSC02 -- 29 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
Infatti si ha che:
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
Teorema del valore finale: Sia X(z) = Z[x(t)] e siano tutti i poli di X(z) entro al cerchio unitario, con al più un polo semplice in z =1. Allora il valore finale di x(k), cioè il valore di x(k) per k→∞ è dato da:
Diapositiva 30
CS2 Se c'è tempo fare la dimostrazione (pagine 27-28) Cris; 21/12/2005
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
•
Esempio:Si consideri il segnale descritto daITSC02 -- 31 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
X(kT) = 0, 0.5000, 1.2500, 1.6250, 1.8125, 1.9063, 1.9531, 1.9766, 1.9883,
1.9941, 1.9971, 1.9985, 1.9993, 1.9996, 1.9998, 1.9999, 2.0000, 2.0000, …. (T = 1 sec)
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
•
Differenziazione complessaDa cui si deduce che:
Questa relazione permette di calcolare Z-trasformate di funzioni a partire da Z-trasformate già note.
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
Esempio: Gradino unitario. La Z-trasformata del gradino unitario è
Si può usare il teorema della differenziazione complessa per calcolare la Z-trasformata della rampa unitaria x(kT) = kT:
ITSC02 -- 33 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
Integrazione complessa: Si consideri la sequenza
dove x(k)/k è finito per k=0 e sia Z[x(k)]=X(z). La Z-trasformata di x(k)/k è data da:
La Z
La Z-
-trasformata
trasformata –
– Teoremi e propriet
Teoremi e proprietà
à
Teorema della convoluzione reale: Siano date due funzioni x1(t) e x2(t), con x1(t) = x2(t) = 0 per t< 0, e siano X1(z) e X2(z) le
corrispondenti Z-trasformate. Allora:
ITSC02 -- 35 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z
X(z) x(k)
La relazione tra X(z) e x(k) è biunivoca: è possibile ottenere la sequenza di dati x(k) a partire dalla X(z) e viceversa.
L’antitrasformata Z permette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenza x(k).
Esistono diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z) Metodo della lunga divisione
• Metodo della lunga divisione
• Metodo computazionale
• Metodo della scomposizione in fratti semplici
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z
x(k) x(t)
La corrispondenza tra la sequenza campionata xke il segnale originale
1 .4 1 .6 1 .8 2
La corrispondenza tra la sequenza campionata xke il segnale originale x(t) NONè biunivoca. Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzione continua x(t) può essere determinata univocamente a partire dalla sequenza xk.
ITSC02 -- 37 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
0 2 4 6 8 1 0 1 2 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 y0 , y1 t ( s ) x x x x x x La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –– Il metodo computazionaleIl metodo computazionale
Si consideri ad esempio la seguente Z trasformata:
Essa può essere riscritta come:
D U( ) è l Z t f t d ll’i l it i di t l 1
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –– Il metodo computazionaleIl metodo computazionale
Considerando l’operatore z-1come un ritardo unitario possiamo riscrivere l’espressione precedente sotto forma di equazione alle differenze:
da cui
Le condizioni iniziali, necessarie per risolvere l’equazione alle differenze, sono:
ITSC02 -- 39 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –– Il metodo computazionaleIl metodo computazionale
La soluzione dell’equazione alle differenze ci dà i termini della sequenza x(kT)
Si tt li t i i lt ti i i tt ti il t d d ll l
Si ottengono gli stessi risultati numerici ottenuti con il metodo della lunga divisione. Il vantaggio di questo metodo è che l’equazione alle differenze da risolvere per trovare la sequenze può essere facilmente scritta in forma ricorsiva in qualsiasi linguaggio di programmazione.
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –
– fratti semplici
fratti semplici
E’ l’analogo nel discreto della tecnica della scomposizione in fratti semplici utilizzate con le trasformate di Laplace. Infatti, poichè la Z-trasformata è un operatore lineare, è possibile scomporre l'espressione di una X(z) in termini elementari, dai quali si può ricavare l'antitrasformata tramite
ì
tabelle, e sommare i vari elementi così ottenuti. In gerale, sia data una Z-trasformata:
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Per prima cosa occorre calcolare i poli, le radici del polinomio A(z) e riscrivere X(z) come:
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –
– fratti semplici
fratti semplici
CASO 1: Tutti i poli di X(z) sono sempliciIn questo caso si pone:
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –
– fratti semplici
fratti semplici
•
Se in X(z) vi è almeno uno zero nell’origine, si usa X(z)/z:•
Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti cisono anch'essi complessi. In questo caso si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche a coefficienti reali.L’espressione della sequenza x(k) è in forma chiusa ed è data da:
ITSC02 -- 43 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –
– fratti semplici
fratti semplici
CASO 2 – Vi sono poli multipli in X(z) o in X(z)/zSiamo nella situazione in cui si ha:
Possiamo scrivere
Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula: Dove i residui si calcolano mediante la seguente formula:
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –
– fratti semplici
fratti semplici
• Esempio: Calcolare l'antitrasformata della funzione
• I due poli risultano z1= 1 e z2= 0.6. Inoltre, la X(z) puo` essere scritta come
• Si utilizza quindi la X(z)/z da cui
• Dalle tabelle si ha quindi che
ITSC02 -- 45 Cristian Secchi Ingegneria e Tecnologie dei Sistemi di Controllo
q
La antitrasformata Z
La antitrasformata Z –
– fratti semplici
fratti semplici
•
Esempio: Antitrasformare la funzione•
Si ha chee quindi
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Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
