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SOLUZIONE Considera il fascio di curve di equazione:

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Macerata 27 maggio 2015 – classe 3M – COMPITO DI RECUPERO OBIETTIVI MINIMI

SOLUZIONE

Considera il fascio di curve di equazione:

2 2

2+3 =1

+

x y

k k

a) Determina per quali valori di k le curve sono delle ellissi. [punti 10]

Deve essere k 2 0

3 k 0

+ >

− >

da cui segue 2− < <k 3

b) Determina per quali valori di k le curve sono delle iperboli con i fuochi sull’asse x. [punti 10]

Deve essere k 2 0

3 k 0

+ >

− <

da cui segue k>3

c) Determina per quale valore di k si ha una circonferenza. [punti 10]

Deve essere 2− < <k 3 e k+ = −2 3 k da cui segue 1 k=2

d) Scrivi l’equazione dell’ellisse che corrisponde a k = 2 [punti 10], determina i fuochi e rappresen- tala sul piano cartesiano [punti 10]

L’equazione è

2

2 1

4 + =

x y . I fuochi generici hanno coordinate F1(c; 0) e F c; 02( ) do- ve c2 =a2b2 = − =4 1 3, quindi F1

(

3; 0

)

e F2

( )

3; 0 . Per il grafico troviamo i punti in cui l’ellisse incontra gli assi: A1(2; 0), A2( )2; 0 , B1(1; 0) e B 1; 02( ).

e) Scrivi l’equazione dell’iperbole che corrisponde a k = 7 [punti 10], determina gli asintoti e i fuo- chi [punti 10]

L’equazione è

2 2

9 4 =1

x y

. I fuochi generici hanno coordinate F1(c; 0) e F c; 02( ) do- ve c2 =a2 +b2 = + =9 4 13, quindi F1

(

13; 0

)

e F2

(

13; 0 . Gli asintoti generici di una iperbole

)

(2)

2

hanno equazione b

y x

= ±a , per cui si ha: 2

y x

= ±3 .

f) Trova le equazioni delle rette tangenti all’ellisse parallele alla bisettrice del primo e terzo qua- drante [punti 20]

Le rette parallele alla bisettrice del primo e terzo quadrante hanno equazione y= +x q. La condizione di tangenza si ricava ponendo uguale a zero il discriminante dell’equazione che ri- solve il sistema

2

x 2

y 1

4

y x q

+ =

= +

, ossia l’equazione 5x2+8qx+4q2− =4 0. Si ha:

( )

2 2

16q 5 4q 4 0

∆ =4 − = da cui si ricava q= ± 5. Le rette cercate hanno quindi equazione y= ±x 5

g) Considera quella che interseca l’asse y nel punto di ordinata positiva e dimostra che è anche tan- gente all’iperbole [punti 10]

Delle due, la retta che interseca l’asse delle y nel punto di ordinata positiva è quella di equazione y= +x 5. Per dimostrare che è tangente all’iperbole bisogna far vedere che il discrimi-

nante dell’equazione che risolve il sistema

2 2

x y

9 4 1

y x 5

=

= +

è zero. Si ha l’equazione

5x2+18x 5+ =81 0 il cui discriminante è ∆ =4

( )

9 5 2− ⋅ =5 81 0.

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