Funzione Trigonometrica

(1)

Matematica www.mimmocorrado.it 1

Studio del grafico della funzione:

x cos 2 1 x cos 5 ) x ( f   1. Dominio ) x (

f è una funzione goniometrica fratta. Essa è definita e continua in

            2k ; k Z 3 2 x R x D_f



.

Infatti occorre che sia: 12cosx 0;

2 1 x cos  ;



3 2 x  . 2. Simmetrie e periodicità ) x (

f è pari, cioè simmetrica rispetto all’asse y. Infatti:





) x ( cos 2 1 ) x ( cos 5 x f      x cos 2 1 x cos 5   f(x).

Ricordando che la funzione coshx è periodica di periodo h 2



, si ha inoltre che f(x) è periodica di periodo 2



.

Pertanto è sufficiente limitarne lo studi ad un intervallo di ampiezza 2



, ad esempio all’intervallo L 



0 ,2





.

Il dominio della funzione limitato all’intervallo L è: _

                 



,2



3 4 3 4 , 3 2 3 2 , 0 Df   .

3. Intersezioni con gli assi cartesiani )

x (

f interseca gli assi cartesiani in       3 5 ; 0 A ,       0 ; 2 B



e       0 ; 2 3 C



. Infatti:         0 x x cos 2 1 x cos 5 y          0 x 3 5 0 cos 2 1 0 cos 5 y        0 x 3 5 y         0 y x cos 2 1 x cos 5 y         0 y x cos 2 1 x cos 5 0      0 y 0 x cos 5         0 y k 2 x



          0 y 2 3 x 2 x 2 1



La funzione al II° estremo 2



assume di nuovo il valore: f



2





3 5  . 4. Segno di f (x) 0 ) x ( f  in



x 2



2 3 ; 3 4 x 3 2 ; 2 x 0      0 ) x ( f  in



2 3 x 3 4 ; 3 2 x 2     Infatti: 0 x cos 2 1 x cos 5   ; 1 2cosx 0 0 x cos 5    2 1 x cos 0 x cos   



2 x 3 4 ; 3 2 x 0 2 x 2 3 ; 2 x 0         Graficamente si ottiene: 0 2 





 3 2  3 4  2 3  2









x 2 1 x y 120°

(2)

Matematica www.mimmocorrado.it 2 5. Limiti ed asintoti x cos 2 1 x cos 5 lim 3 2 x             x cos 2 1 x cos 5 lim 3 2 x             



3 2 x  è un asintoto verticale. x cos 2 1 x cos 5 lim 3 4 x             x cos 2 1 x cos 5 lim 3 2 x             



3 4 x  è un asintoto verticale.

Trattandosi di una funzione periodica, f(x) non ha asintoti orizzontali ed obliqui. 6. Derivata prima

 













2 I x cos 2 1 x sen 2 x cos x cos 2 1 x sen 5 x f         







          ₂ x cos 2 1 x cos x sen 2 x cos x sen 2 x sen 5





2 x cos 2 1 x sen 5  

 . Il cui campo di derivabilità coincide con il dominio della funzione.

Inoltre







   1 2cosx x sen 5 lim ₂ 3 2 x  e







   1 2cosx x sen 5 lim ₂ 3 4 x 

7. Zeri della derivata prima

0 ) x ( fI  ;



1 2cosx



0 x sen 5 2    ; 5senx 0; senx 0;



2 x x 0 x   

8. Segno della derivata prima 0 ) x ( fI  ;



1 2cosx



0 x sen 5 2    ;

Essendo il denominatore positivo x Df  fI(x)0 quando 5senx 0;

cioè quando senx 0; cioè per



 x 2



; intervallo da studiare sempre nel dominio Df della funzione. In definitiva: 0 ) x ( fI _ _{negli intervalli}            

_

_,₂

_

3 4 3 4 ,  . 0 ) x ( fI  negli intervalli            

_

_,

_

3 2 3 2 , 0  .

Ne segue che i punti x 0 e x 2



sono punti di massimo relativo. Mentre il punto x 



è un punto di minimo relativo.

I corrispondenti punti sulla curva sono:       3 5 ; 0 A ,       3 5 ; 2 D



e M





;5



. Infatti:    cos 2 1 cos 5 ) ( f  

 

1 2 1 1 5       1 5    5. 0+ 2 5  0- 2 5  0+ 2 5  0- 2 5  2 3 5 0+ 2 3 5  0+

 

x fI



0 3 2   3 4  2 x

 

x f







0  0  0

(3)

Matematica www.mimmocorrado.it 3 x 2 1 x y 120° 9. Derivata seconda

 







 









            ₄ 2 II x cos 2 1 x sen 2 x cos 2 1 2 x sen x cos 2 1 x cos 5 x f













4 2 2 x cos 2 1 x cos 2 1 x sen 4 x cos 2 1 x cos 5         











       ₃ 2 x cos 2 1 x sen 4 x cos 2 1 x cos 5









3 2 2 x cos 2 1 x cos 1 4 x cos 2 x cos 5        







       ₃ 2 2 x cos 2 1 x cos 4 4 x cos 2 x cos 5





3 2 x cos 2 1 4 x cos x cos 2 5     

10. Zeri della derivata seconda 0 ) x ( fII  ;



1 2cosx



0 4 x cos x cos 2 5 ₃ 2    

 ; 2cos2xcosx40; posto cosxt si ha:

0 4 t t 2 2    ; 4 32 1 1 t₁_,₂    4 33 1  4 33 1 4 33 1  

 ricordando che t cosx si ha:

4 33 1 x cos 4 33 1 x cos      ma essendo 1 4 33 1 1 4 33 1     

l’equazione non ha soluzioni reali.

Pertanto la curva non ha flessi.

11. Segno della derivata seconda 0 ) x ( fII  ;



1 2cosx



0 4 x cos x cos 2 5 ₃ 2      ;



1 2cosx



0 0 4 x cos x cos 2 3 2      0 x cos 2 1 (*) 0 4 x cos x cos 2 2      0 4 x cos x cos 2 (*) 2    ; 1,7 4 33 1 x cos ; 1,2 4 33 1 x cos      

Queste ultime due diseguaglianze non sono mai verificate perché cosx1 .

Pertanto si ha: 2 1 x cos 0 4 x cos x cos 2 2     



x 2 3 4 ; 3 2 x 0 0 sempre      In definitiva:

La funzione volge la concavità verso l’alto nell’intervallo      



3 4 , 3 2 .

La funzione volge la concavità verso il basso negli intervalli            



,2 3 4 3 2 , 0  . 0 ₃2







 3 4  2



(4)

Matematica www.mimmocorrado.it 4 12. Massimi e minimi assoluti

La funzione non è ne inferiormente ne superiormente limitata. Non ha pertanto ne un minimo assoluto ne un massimo assoluto. 13. Grafico  3 4 x   3 2 x  _{x }₂_