Probabilità e statistica matematica Esercitazione 5

(1)

Probabilit`a e statistica matematica Esercitazione 5

Esercizio 1: Un’urna contiene 3 biglie rosse, due biglie bianche ed una verde. Si estraggono due biglie senza reinserimento. Siano R il numero di biglie rosse estratte e B il numero di biglie bianche estratte.

a) Qual è la densità congiunta del vettore (R, B)? Qual è la densità marginale di B?

Quale quella di R?

b) Calcolare media e varianza di B.

c) Calcolare la covarianza di R e B e il coefficiente di correlazione lineare. B e R sono variabili aleatorie non correlate? Sono indipendenti?

d) Calcolare V ar(R − B).

Soluzione.

a) Per ogni i, j = 0, 1, 2 dobbiamo calcolare

p(i, j) = P (R = i, B = j) = P (i rosse e j bianche tra le 2 estratte)

Si vede subito, per esempio, che p(0, 0) = p(1, 2) = p(2, 1) = 0; per i restanti casi, basta contare le estrazioni “favorevoli”, sulle ⁶₂ = 15 possibili. Si ottiene

B 0 1 2

R

0 0 2/15 1/15 1/5

1 1/5 2/5 0 3/5

2 1/5 0 0 1/5

2/5 8/15 1/15

L’ultima colonna e l’ultima riga della tabella riportano le densit`a marginali di R e B rispettivamente.

b) Si trova facilmente

E[R] = 1 V ar(R) = 2

5 E[B] = 2

3 V ar(B) = 16 45 c) Si ha Cov(R, B) = E[RB] − E[R]E[B]. Calcoliamo E[RB]:

E[RB] = X

k

kP (RB = k) = 0 · (. . .) + 1 · p(1, 1) + 2 · (p(1, 2) + p(2, 1)) + 4 · p(2, 2)

= 1 · p(1, 1) = 2 5

Da cui si trova Cov(R, B) = ²₅ − ²₃ = −₁₅⁴ e, per quanto riguarda il coefficiente di correlazione,

ρR,B = Cov(R, B)

pV ar(R)V ar(B) = −

√2 2

(2)

Le variabili sono non correlate e, di conseguenza, indipendenti. L’indipendenza del resto poteva essere già dedotta dal fatto che la densità congiunta non si fattorizza nel prodotto delle densità marginali.

d) Si ha

V ar(R − B) = V ar(R) + V ar(−B) + 2Cov(R, −B)

= V ar(R) + V ar(B) − 2Cov(R, B) = . . . = 58 45

Esercizio 2: Esercizio 1 tema d’esame 20140508.

Esercizio 3: Esercizio 2 Prima prova in itinere del corso di Statistica e Calcolo delle probabilit`a per Ingegneria Informatica del 19/11/2012, allegato all’esercitazione.

Esercizio 4: Ho un vecchio walkman che funziona con una sola pila. Uso sempre pile aaa non ricaricabili e con una pila del tipo aaa, il mio walkman suona per un tempo modellabile come una variabile aleatoria assolutamente continua con densit`a

f (x) = 2

25xI_(0,5)(x)

a) Calcolare media e varianza della durata del walkman con la pila aaa.

Ora, siano X₁ la durata della prima pila usata, X₂ la durata della seconda pila usata, . . . , X_n la durata della n-esima pila usata.

b) Calcolare il valore approssimato della probabilit`a che dopo 250 ore io avr`o sostituito almeno 72 batterie. Quale ipotesi state facendo sulle X₁, . . . , X_n?

c) Qual è il numero minimo di batterie da acquistare per avere una probabilità pari almeno al 50% che il mio walkman funzionerà più di 300 ore?

d) Calcolare la durata x₀ che il 70% delle pile aaa supera.

e) Avendo 200 pile aaa, calcolare la probabilit`a approssimata che almeno 150 di esse superino la durata x0.

Soluzione.

a) Si ha

E[X] = Z 5

0

2

25x²dx = 10 3 V ar(X) = E[X²] − E²[X] =

Z 5 0

2

25x³dx − 100 9 = 25

2 − 100 9 = 25

18

b) Si chiede la probabilit`a che la somma delle durate di 72 batterie sia stata inferiore a 250 ore: P (P72

i=1X_i < 250). Per calcolarla usiamo il TCL, ipotizzando che le durate di

(3)

batterie diverse siano indipendenti e identicamente distribuite di media 10/3 e varianza 25/18:

P (

72

X

i=1

X_i < 250) = P

P72

i=1Xi − 72 · 10/3

p72 · 25/18 < 250 − 72 · 10/3 p72 · 25/18

' P (Z ≤ 1) = Φ(1) = 0.8413 c) Cerco il minimo n tale che sia P (Pn

i=1X_i > 300) ≥ 0.5. Di nuovo ricorriamo al TCL:

P (

n

X

i=1

X_i > 300) = P

Pn

i=1Xi− n · 10/3

pn · 25/18 > 300 − n · 10/3 pn · 25/18

' Φ −300 + n · 10/3 pn · 25/18

Vogliamo

Φ −300 + n · 10/3 pn · 25/18

≥ 0.5 ⇐⇒ −300 + n · 10/3

pn · 25/18 ≥ Φ⁻¹(0.5) = 0 Da cui n ≥ 90.

d) Si tratta di determinare x₀ tale che P (X > x0) = 0.7 ⇐⇒

Z 5 x0

2

25xdx = 0.7 ⇐⇒ x0 = 2.74 ore

e) Sia ora Y la v.a. che conta le pile che superano durata x₀, su 200. Se le pile funzionano in modo indipendente l’una dall’altra, si ha Y ∼ Bin(n = 200, p = 0.7).

Dunque, poich´e n `e abbastanza grande, np > 5 e n(1 − p) > 5, per il TCL possiamo approssimare la distribuzione di Y :

Y ≈N(200 · 0.7 = 140, 200 · 0.7 · 0.3 = 42) Da cui, usando la correzione di continuit`a,

P (Y ≥ 150) = P (Y > 149.5) = P X − 140

√42 > 149.5 − 140

√42

' P (Z > 1.47) = 1 − Φ(1.47) = 0.07134

Osservate che applicando il TCL ai punti b) e c) non abbiamo usato la correzione di continuit`a , che si usa solo quando si approssima una distribuzione discreta con una continua!!

Esercizio 5: Due dadi equilibrati vengono lanciati 300 volte. Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di volte che si `e ottenuto un doppio uno.

a) Calcolare E(X) e V ar(X).

b) Calcolare in modo approssimato la probabilit`a di ottenere un doppio uno pi`u di 10 volte.

(4)

c) Quante volte bisogna approssimativamente lanciare i due dadi affinché la probabilità di ottenere un doppio uno più di 10 volte sia maggiore di 0.5?

Si consideri l’esperimento di lanciare tre dadi contemporaneamente 300 volte e si definisca la variabile aleatoria Y che conta il numero di volte in cui si `e ottenuto un triplo 1.

d) Calcolare in maniera approssimata la probabilit`a che si verifichino al pi`u 2 tripli 1.

Soluzione.

a) La variabile X `e binomiale di parametri n = 300 e p = (1/6)². Di conseguenza, E[X] = np = ²⁵₃ e pV ar(X) = pnp(1 − p) = ¹⁰₃₆√

3 · 35 = ₁₈⁵√ 105.

b) Si richiede P (X > 10); applicando il TCL, con correzione di continuit`a P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − P X − 25/3

5/18√

105 < 10.5 − 25/3 5/18√

105

' 1 − Φ(0.7612) = 1 − 0.7767 = 0.2233

Osservate che la correzione di continuit`a migliora l’approssimazione: applicando il TCL senza la correzione otteniamo

P (X > 10) = 1 − P X − 25/3 5/18√

105 < 10 − 25/3 5/18√

105

' 1 − Φ(0.5855) = 1 − 0.7209 = 0.2790 mentre, senza approssimare, si trova P (X > 10) ' 0.2160.

c) Cerchiamo n tale che, se X ∼ Bin(n, 1/36), si abbia P (X > 10) ≥ 0.5. Supponendo che n sia abbastanza grande da permettere di applicare il TCL,

P (X > 10) ' 1 − P

Z < 10.5 − ₃₆ⁿ

1 36

√35n

Dunque cerchiamo n tale che sia Φ 10.5 − ₃₆ⁿ

1 36

√35n

≤ 0.5 ⇐⇒ 10.5 − n

36 ≤ 0 ⇐⇒ n ≥ 378.

d) La variabile Y `e distribuita come una binomiale di parametri 300 e (1/6)³. Si richiede P (Y ≤ 2). Dal momento che n `e grande e np = 1.389 < 5, possiamo approssimare Y con una v.a. di Poisson di parametro λ = np:

P (Y ≤ 2) ' e^−λ

1 + λ + λ² 2

= 0.8362

(Usando la densit`a di probabilit`a della binomiale si otterrebbe P (Y ≤ 2) = 0.8365.)

Esercizio 6: Esercizio 1 tema d’esame 20130507.

(5)

Esercizio 7: Un sistema in parallelo `e costituito da due componenti indipendenti i cui tempi di vita espressi in minuti, chiamiamoli S e T , sono entrambi variabili aleatorie assolutamente continue con densit`a esponenziale di parametro λ = 0.05.

a) Qual `e la probabilit`a che il sistema funzioni ancora dopo un’ora dall’attivazione?

b) Come cambia la risposta al punto a) se i componenti sono collegati in serie?

Soluzione.

a) Se i componenti sono in parallelo, il sistema funziona se e solo se almeno uno dei componenti funziona. Dunque la probabilit`a richiesta `e

P (S > 60 o T > 60) = 1 − P (S ≤ 60, T ≤ 60)

= 1 − P (S ≤ 60)P (T ≤ 60) per indipendenza

= 1 − FS(60)FT(60) con FS, FT funzioni di ripartizione

= 1 − (1 − e^−0.05·60)²

b) Se i componenti sono in serie, il sistema funziona se e solo se entrambi funzionano:

P (S > 60, T > 60) = P (S > 60, T > 60)

= P (S > 60)P (T > 60) per indipendenza

= (1 − F_S(60))(1 − F_T(60)) con F_S, F_T funzioni di ripartizione

= (e^−0.05·60)²

Esercizio 8: Correzione e commento di alcune domande di teoria.

(6)

Calcolo delle probabilit`a e Statistica Esercitazione 6

Esercizio 1: Un’urna contiene 3 biglie rosse, due biglie bianche e una verde. Si estraggono due biglie senza reinserimento. Siano R il numero di biglie rosse estratte e B il numero di biglie bianche estratte.

a) Qual è la densità congiunta del vettore (R, B)? Qual è la densità marginale di B?

Quale quella di R?

b) Calcolare media e varianza di B.

c) Calcolare la covarianza di R e B. Le due variabili sono indipendenti?

d) Calcolare V ar(R − B).

Soluzione.

a) Per ogni i, j = 0, 1, 2 dobbiamo calcolare

p(i, j) = P (R = i, B = j) = P (i rosse e j bianche tra le 2 estratte)

Si vede subito, per esempio, che p(0, 0) = p(1, 2) = p(2, 1) = 0; per i restanti casi, basta contare le estrazioni “favorevoli”, sulle ⁶₂ = 15 possibili. Si ottiene

B 0 1 2

R

0 0 2/15 1/15 1/5

1 1/5 2/5 0 3/5

2 1/5 0 0 1/5

2/5 8/15 1/15

L’ultima colonna e l’ultima riga della tabella riportano le densit`a marginali di R e B rispettivamente.

b) Si trova facilmente

E[R] = 1 V ar(R) = 2

5 E[B] = 2

3 V ar(B) = 16 45 c) Si ha Cov(R, B) = E[RB] − E[R]E[B]. Calcoliamo E[RB]:

E[RB] = X

k

kP (RB = k) = 0 · (. . .) + 1 · p(1, 1) + 2 · (p(1, 2) + p(2, 1)) + 4 · p(2, 2)

= 1 · p(1, 1) = 2 5

Da cui si trova Cov(R, B) = ²₅−²₃ = −₁₅⁴ . Le variabili sono non correlate e, di conseguenza, dipendenti. La non indipendenza del resto poteva essere già dedotta dal fatto che la densità congiunta non si fattorizza nel prodotto delle densità marginali.

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d) Si ha

V ar(R − B) = V ar(R) + V ar(−B) + 2Cov(R, −B)

= V ar(R) + V ar(B) − 2Cov(R, B) = . . . = 58 45

Esercizio 2: Siano X₁, X₂, . . . , X_n variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite.

a) Calcolare la funzione di ripartizione delle variabili aleatorie M = max(X₁, . . . , X_n) e N = min(X₁, . . . , X_n).

b) Calcolare e riconoscere la densit`a della variabile N nei casi in cui sia X₁ ∼E(λ).

Soluzione.

a) Sfruttando l’indipendenza delle X_i e il fatto che sono identicamente distribuite, determiniamo la funzione di ripartizione F_M di M .

E utile notare che l’evento {max(X` ₁, . . . , X_n) ≤ x} si verifica se e solo se {X₁ ≤ x, X₂ ≤ x, . . . , X_n≤ x} si verifica. Sia x ∈ R:

F_M(x) = P (max{X₁, . . . , X_n} ≤ x) = P (X₁ ≤ x, . . . , X_n≤ x) =

n

Y

i=1

P (X_i ≤ x)

= [P (X₁ ≤ x)]ⁿ = [F_X₁(x)]ⁿ

Quanto al minimo, `e utile invece notare che l’evento {min(X₁, . . . , X_n) > x} si verifica se e solo se {X₁ > x, X₁ > x, . . . , X_n > x} si verifica. Dunque per ogni x reale,

F_N(x) = P (min{X₁, . . . , X_n} ≤ x) = 1 − P (min{X₁, . . . , X_n} > x)

= 1 − P (X₁ > x, . . . , X_n > x) = 1 −

n

Y

i=1

P (X_i > x)

= 1 − [P (X₁ > x)]ⁿ= 1 − [1 − F_X₁(x)]ⁿ

b) Supponiamo le X_i siano v.a. indipendenti, tutte esponenziali di parametro λ.

Allora, la funzione di ripartizione comune `e

F (x) = (1 − e^−λx)I(0,+∞)(x)

Usando quanto ottenuto al punto precedente, la funzione di ripartizione del minimo `e F_N(x) = [1 − (e^−λx)ⁿ]I(0,+∞)(x) = (1 − e^−nλx)I(0,+∞)(x)

che `e la funzione di ripartizione di un’esponenziale di parametro nλ.

(8)

Esercizio 3: Una ditta possiede due stabilimenti che fabbricano lo stesso prodotto.

Le produzioni giornaliere dei due stabilimenti, espresse in quintali q, si possono rappre- sentare come variabili aleatorie normali indipendenti aventi medie 3 e 1 q rispettivamente e deviazioni standard 0.4 e 0.2 q rispettivamente.

a) Quale valore minimo di produzione giornaliera pu`o garantire il secondo stabilimento con probabilit`a pari a 90%?

b) Con quale probabilit`a in un dato giorno il prodotto del secondo stabilimento supera la met`a di quello del primo stabilimento?

c) Con quale probabilit`a in un giorno, le produzioni dei due stabilimenti differiscono per pi`u di 1 q?

Soluzione.

a) Si tratta di determinare y tale che P (Y ≥ y) = 0.9. Abbiamo P (Y ≥ y) = P Y − 1

0.2 ≥ y − 1 0.2

= Φ 1 − y 0.2

Abbiamo quindi ^1−y_0.2 = Φ⁻¹(0.9) = 1.282, da cui y = 0.744.

b) Si cerca P (Y > X/2) = P (Y − X/2 > 0). Osserviamo che Y − X/2 `e gaussiana di media 1 − 3/2 = −0.5 e varianza 0.04 + ¹₄0.16 = 0.08. Dunque

P (Y − X/2 > 0) = P

Z > 0.5

√0.08

= 1 − Φ

0.5

√0.08

= 0.0384

c) Si cerca P (|X − Y | > 1) = P (X − Y > 1) + P (X − Y < −1). Dopo aver osservato che X − Y `e gaussiana di media 3 − 1 = 2 e varianza 0.04 + 0.16 = 0.20, troviamo

P (X − Y > 1) + P (X − Y < −1) = P

Z > 1 − 2

√0.20

+ P

Z < −1 − 2

√0.20

= Φ(1/√

0.20) + (1 − Φ(3/√ 0.20)) ' 0.9873 + (1 − 1) = 0.9873

Esercizio 4: Problema 3, prima prova in itinere del corso di Statistica per Ingegneria Energetica dell’8/05/2007, allegato all’esercitazione.

Esercizio 5: Problema 3, prima prova in itinere del corso di Statistica per Ingegneria Energetica del 4/05/2012, allegato all’esercitazione.

Esercizio 6: Ho un vecchio walkman che funziona con una sola pila. Uso sempre pile aaa non ricaricabili e con una pila del tipo aaa, il mio walkman suona per un tempo modellabile come una variabile aleatoria assolutamente continua con densit`a

f (x) = 2

25xI_(0,5)(x)

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a) Calcolare media e varianza della durata del walkman con la pila aaa.

Ora, siano X₁ la durata della prima pila usata, X₂ la durata della seconda pila usata, . . . , X_n la durata della n-esima pila usata.

b) Calcolare il valore approssimato della probabilit`a che dopo 250 ore io avr`o sostituito almeno 72 batterie. Quale ipotesi state facendo sulle X₁, . . . , X_n?

c) Qual è il numero minimo di batterie da acquistare per avere una probabilità pari almeno al 50% che il mio walkman funzionerà più di 300 ore?

Soluzione.

a) Si ha

E[X] = Z 5

0

2

25x²dx = 10 3 V ar(X) = E[X²] − E²[X] =

Z 5 0

2

25x³dx − 100 9 = 25

2 − 100 9 = 25

18

b) Si chiede la probabilit`a che la somma delle durate di 72 batterie sia stata inferiore a 250 ore: P (P72

i=1X_i < 250). Per calcolarla usiamo il TCL, ipotizzando che le durate di batterie diverse siano indipendenti e identicamente distribuite di media 10/3 e varianza 25/18:

P (

72

X

i=1

Xi < 250) = P

P72

i=1X_i − 72 · 10/3

p72 · 25/18 < 250 − 72 · 10/3 p72 · 25/18

' P (Z ≤ 1) = Φ(1) = 0.8413 c) Cerco il minimo n tale che sia P (Pn

i=1Xi > 300) ≥ 0.5. Di nuovo ricorriamo al TCL:

P (

n

X

i=1

Xi > 300) = P

Pn

i=1X_i− n · 10/3

pn · 25/18 > 300 − n · 10/3 pn · 25/18

' Φ −300 + n · 10/3 pn · 25/18

Vogliamo

Φ −300 + n · 10/3 pn · 25/18

≥ 0.5 ⇐⇒ −300 + n · 10/3

pn · 25/18 ≥ Φ⁻¹(0.5) = 0 Da cui n ≥ 90.

Esercizio 7: Il numero di automobili che un concessionario vende giornalmente si pu`o modelizzare mediante una variabile aleatoria di Poisson di media 1.

a) Qual `e la probabilit`a che il concessionario venda al giorno almeno una macchina?

b) Se ogni giorno si vendono macchine in quantit`a indipendenti dagli altri giorni, qual

`e la probabilit`a che in un anno (non bisestile) si vendano almeno 400 macchine?

(10)

c) Qual è la probabilità che in un anno siano più di 240 i giorni in cui si vende almeno una macchina?

Soluzione.

a) Sia X la v.a. che conta il numero di macchine vendute dal concessionario in una giornata. Il testo dice che X ∼P(1). Dunque

P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e⁻¹ = 0.6321

b) Sia X_i = numero di macchine vendute l’i-esimo giorno dell’anno, per i = 1, 2, . . . , 365.

Le X_i sono indipendenti, tutte Poisson(1) e la loro somma rappresenta il numero di macchine vendute in un anno. Dunque calcoliamo, usando il teorema centrale con correzione di continuit`a,

P (

365

X

i=1

X_i ≥ 400) = 1 − P (

365

X

i=1

X_i ≤ 399) = 1 − P

P365

i=1X_i− 365 · 1

√365 · 1 ≤ 399.5 − 365 · 1

√365 · 1

!

= 1 − Φ(1.8058) = 0.03547 Senza uso del TCL, usando la densit`a di P365

i=1X_i, che sappiamo essere P(365 · 1), in quanto somma di Poisson indipendenti con lo stesso parametro, otterremmo 0.03697.

c) Il numero N di giorni, in un anno, in cui si vende almeno una macchina ha distribuzione binomiale di parametri n = 365 e p = 1−e⁻¹. La richiesta `e quindi P (N > 240).

I parametri di N consentono l’approssimazione gaussiana della binomiale. Con correzione di continuit`a (P (N > 240) = P (N ≥ 241) = P (N > 240.5)), si ottiene che la probabilit`a richiesta vale 0.14432.

Esercizio 8: Due dadi equilibrati vengono lanciati 300 volte. Sia X la variabile aleatoria che indica il numero di volte che si `e ottenuto un doppio uno.

a) Determinare la distribuzione di X e calcolare E(X) e V ar(X).

b) Calcolare in modo approssimato la probabilit`a di ottenere un doppio uno pi`u di 10 volte.

c) Quante volte bisogna approssimativamente lanciare i due dadi affinché la probabilità di ottenere un doppio uno più di 10 volte sia maggiore di 0.5?

Si consideri l’esperimento di lanciare tre dadi contemporaneamente 300 volte e si definisca la variabile aleatoria Y che conta il numero di volte in cui si `e ottenuto un triplo 1.

d) Calcolare in maniera approssimata la probabilit`a che si verifichino al pi`u 2 tripli 1.

Soluzione.

a) La variabile X `e binomiale di parametri n = 300 e p = (1/6)². Di conseguenza, E[X] = np = ²⁵₃ = 8.33 e V ar(X) = np(1 − p) = 300 · (1/36) · (35/36) = 8.10.

(11)

b) Si richiede P (X > 10); poiché n è grande, n(1 − p) > np > 5, possiamo applicare il TCL, con correzione di continuità:

P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − P X − 8.33

√8.10 ≤ 10.5 − 8.33

√8.10

' 1 − Φ(0.76) = 1 − 0.7764 = 0.2236

Osservate che la correzione di continuit`a migliora l’approssimazione: applicando il teorema senza la correzione otteniamo

P (X > 10) = 1 − P X − 8.33

√8.10 ≤ 10 − 8.33

√8.10

' 1 − Φ(0.59) = 1 − 0.7224 = 0.2776 mentre, senza approssimare, si trova P (X > 10) ' 0.2160.

c) Cerchiamo n tale che, se X ∼ Bin(n, 1/36), si abbia P (X > 10) ≥ 0.5. Supponendo che n sia abbastanza grande da permettere di applicare il TCL,

P (X > 10) ' 1 − P

Z ≤ 10.5 − ₃₆ⁿ pn · (1/36) · (35/36)

Dunque cerchiamo n tale che sia Φ

10.5 − ₃₆ⁿ pn · (1/36) · (35/36)

≤ 0.5 ⇐⇒ 10.5 − n

36 ≤ 0 ⇐⇒ n ≥ 378.

d) La variabile Y `e distribuita come una binomiale di parametri 300 e (1/6)³. Si richiede P (Y ≤ 2). Dal momento che n `e grande e np = 1.389 < 5, possiamo approssimare Y con una v.a. di Poisson di parametro λ = np:

P (Y ≤ 2) ' e^−λ

1 + λ + λ² 2

= 0.8362

(Usando la densit`a di probabilit`a della binomiale si otterrebbe P (Y ≤ 2) = 0.8365.)

Esercizio 9: (Esercizio 3, prima prova in itinere di Statistica e calcolo delle probabilit`a per ingegneria informatica, 19/11/2012 ) Un mazzo di 40 carte italiane `e costituito da 4 classi di 10 carte dette “pali” (o “semi”) e denominate: denari, coppe, bastoni e spade.

Ogni palo `e a sua volta costituito da 10 carte denominate: asso, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, fante, cavallo e re. Vengono estratte 10 carte a caso dal mazzo.

a) Calcolare la probabilit`a che tra le carte estratte vi siano esattamente 3 assi.

b) Supponiamo di ripetere 50 volte l’esperimento di estrarre 10 carte dal mazzo. Cal- colare la probabilit`a che il numero di volte in cui si estraggono esattamente tre assi sia almeno 2.

(12)

c) Calcolare un valore approssimato della probabilit`a che, ripetendo 50 volte l’esperimento, il numero di volte in cui esce almeno un asso sia pi`u di 30.

Soluzione.

a) Sia E l’evento “vengono estratti 3 assi”. Allora P (E) =

4 3

₃₆

7

40 10

= 0.03939

b) Se X conta il numero di volte, su 50 ripetizioni dell’esperimento, in cui si estraggono esattamente 3 assi, abbiamo X ∼ Bin(n = 50, p = 0.03939). Dunque

P (X ≥ 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 − (1 − p)⁵⁰− 50p(1 − p)⁴⁹= 0.59103 In alternativa, poiché n è “grande” e p è “piccolo”, si può approssimare X a una Poisson di parametro λ = np = 1.9695:

P (X ≥ 2) ' 1 − e^−1.9695(1 + 1.9695) = 0.5857 c) Sia F l’evento “viene estratto almeno un asso”; abbiamo

P (F ) = 1 − P (F^c) = 1 −

36 10

40 10

= 0.7001

Sia Y la v.a. che conta il numero di volte in cui viene estratto almeno un asso. Allora Y ∼ Bin(n = 50, p = 0.7001); poiché n è grande, np > n(1 − p) > 5, possiamo usare il teorema centrale del limite e approssimare Y a una normale di media np = 35.005 e varianza np(1 − p) = 10.498; applicheremo inoltre la correzione di continuità:

P (Y > 30) = 1 − P (Y ≤ 30) = 1 − P (Y < 30.5)

= 1 − P Y − 35.005

√10.498 < 30.5 − 35.005

√10.498

' 1 − Φ(−1.39) = Φ(1.39) = 0.9177

Esercizio 10: In un esame la prova scritta consiste in un test composto da 5 domande, ciascuna su argomenti diversi; per ogni domanda vengono suggerite 5 risposte, delle quali una sola `e corretta. Supponiamo che uno studente risponda a caso e che il test sia valutato attribuendo il punteggio +1 a ogni risposta corretta e −1/4 a ogni risposta errata. Sia X il numero di risposte corrette del test.

a) Scrivere la densit`a di X.

b) Calcolare la probabilit`a che lo studente totalizzi 2.5 punti.

c) Quale punteggio lo studente otterr`a in media?

d) Dare una valutazione (approssimata) della probabilit`a che, per 100 esaminandi che rispondono a caso, il totale delle risposte corrette sia compreso fra 96 e 104 (inclusi).

(13)

Soluzione.

a) Trattandosi di 5 prove ripetute e indipendenti, ciascuna con probabilit`a 1/5, X `e distribuita come una binomiale di parametri n = 5 e p = 1/5.

b) Abbiamo Y = X −¹₄(5 − X) = ⁵₄(X − 1). Di conseguenza, P (Y = 2.5) = P 5

4(X − 1) = 5 2

= P (X = 3)

= 5 3

1 5

3 4 5

2

= 0.0512

c) Per linearit`a del valor medio, ricordando che E[X] = 5 · 1/5 = 1, E[Y ] = E 5

4(X − 1)

= 5

4E[X − 1] = 5

4(1 − 1) = 0

d) Sia Xi il numero di risposte esatte date dall’i-esimo studente, per i = 1, 2, . . . , 100.

Sia W =P100

i=1X_i il numero totale di risposte corrette. Le X_i sono indipendenti e identicamente distribuite di media 1 e varianza np(1 − p) = 0.8. Dunque per il TCL (applicato con correzione di continuit`a):

P (96 ≤ W ≤ 104) = P (95.5 < W < 104.5) ' P 95.5 − 100

10√

0.8 < Z < 104.5 − 100 10√

0.8

= Φ(0.5031) − Φ(−0.5031) = 2Φ(0.5031) − 1 = 0.3851

(14)

Probabilit`a e Statistica matematica Esercitazione 7

All’inizio dell’esercitazione abbiamo parlato di distribuzioni Gamma e delle relazioni con le distribuzioni chi-quadrato ed esponenziale. Sul Ross: vedi paragrafi 5.7, poi 5.8.1.1.

Esercizio 1: Stiamo sparando a un bersaglio che si trova su un piano bidimensionale.

Le distanze in orizzontale e in verticale del punto che colpiamo rispetto al bersaglio sono variabili aleatorie normali e indipendenti con media 0 e varianza 4. Sia D la distanza tra il bersaglio e il punto colpito.

a) Calcolare P (D > 5).

b) Calcolare il valore atteso di D.

Soluzione.

Chiamiamo X e Y le coordinate del punto colpito in un sistema di riferimento cartesiano che abbia l’origine nel bersaglio; in base ai dati del problema, X, Y ∼ N(0, 4).

a) Osserviamo innanzitutto che la variabile (^X₂)²+ (^Y₂)² `e distribuita come una χ²₂, in quanto somma di quadrati di due normali standard indipendenti. Ricordando che una Chi-quadro con n gradi di libert`a ha la stessa distribuzione di una Gamma di parametri (n/2, 1/2), e che un’Esponenziale di parametro λ coincide con una Gamma di parametri (1, λ), abbiamo

W := X 2

2

+ Y 2

2

∼ χ²₂ ∼ Γ 2 2,1

2

= Γ

1,1

2

∼E 1 2

Abbiamo

P (D > 5) = P (D² > 25) = P X 2

2

+ Y 2

2

> 25 4

= P (W > 6.25) = 1 − (1 − e^−6.25/2) = 0.04394 b) Si ha E[D] = 2E[√

W ], con W esponenziale di parametro 1/2;

E[D] = 2 Z +∞

0

√x1

2e⁻¹²^xdx = Z +∞

0

√xe⁻¹²^xdx

Poniamo ora y =√

x ⇒ dx = 2ydy;

E[D] = Z +∞

0

2y²e⁻¹²^y²dy = Z +∞

−∞

y²e⁻¹²^y² =√

2πE[Z²] con Z ∼ N(0, 1)

Dunque E[D] = √ 2π.

(15)

Esercizio 2: Vedi EseVettoriGaussiani1.pdf allegato all’esercizitazione, da un tema d’e- same del 20/02/2012 per Ingegneria Informatica.

Esercizio 3: Vedi EseVettoriGaussiani2.pdf allegato all’esercizitazione, da un tema d’e- same del 10/07/2012 per Ingegneria Informatica.

Esercizio 4: Siano X₁, X₂, X₃ tre variabili aleatorie gaussiane standard indipendenti.

Fissati due parametri reali a, b, `e definito il vettore gaussiano Y = (X₁+ X₂ + aX₃, X₁+ bX₂+ aX₃, X₁+ X₃)^T a) Ricavare a, b affinch´e le componenti di Y siano indipendenti.

b) Ricavare la distribuzione di Y, con a, b determinati al punto a).

c) Calcolare P (^Y₃¹² +^Y₆²² +^Y₂³² ≤ 0.352).

Soluzione.

a) Se per i vettori gaussiani l’indipendenza delle componenti equivale alla loro non correlazione, si tratta di determinare a, b in modo che

Cov(Y₁, Y₂) = Cov(Y₁, Y₃) = Cov(Y₂, Y₃) = 0

Possiamo calcolare l’intera matrice di covarianza del vettore Y, calcolando A · A^T dove

A =







1 1 a 1 b a 1 0 1







Oppure possiamo calcolare solo Cov(Y_i, Y_j), sfruttando le propriet`a della covarianza;

ricordiamo in particolare che, se X, Y sono v.a. con varianza finita, allora Cov(X, X) = V ar(X), Cov(X, Y ) = 0 se X, Y sono indipendenti.

Dunque avremo

Cov(Y₁, Y₂) = V ar(X₁) + bV ar(X₂) + a²V ar(X₃) = 1 + b + a² Cov(Y₁, Y₃) = V ar(X₁) + aV ar(X₃) = 1 + a

Cov(Y₂, Y₃) = V ar(X₁) + aV ar(X₃) = 1 + a

Vogliamo che sia 1 + b + a² = 0 e 1 + a = 0, da cui a = −1 e b = −2.

b) Sia Y = (X₁+ X₂− X₃, X₁− 2X₂− X₃, X₁+ X₃)^T. Dal momento che le componenti di Y sono indipendenti, la distribuzione del vettore `e completamente determinata dalla

(16)

distribuzione delle sue componenti. Essendo le X_inormali standard indipendenti si ottiene facilmente:

Y₁ = X₁+ X₂− X₃ ∼ N(0, 1 + 1 + 1 = 3) Y₂ = X₁− 2X₂− X₃ ∼ N(0, 1 + 4 + 1 = 6)

Y₃ = X₁+ X₃ ∼ N(0, 1 + 1 = 2) c) Per calcolare la probabilit`a richiesta basta osservare che

Y₁² 3 +Y₂²

6 +Y₃²

2 = Y₁

√3

2

+ Y₂

√6

2

+ Y₃

√2

2

∼ χ²₃,

in quanto somma dei quadrati di 3 normali standard indipendenti. Dalle tavole, si ricava che la probabilità richiesta è pari a 1 − 0.95 = 0.05 (la lettura delle tavole della chi-quadro la vedremo più avanti, per ora fidatevi).

Esercizio 5: a) Siano X1, . . . , Xnvariabili aleatorie di Bernoulli indipendenti di parametro p. Determinare lo stimatore dei momenti per p.

b) Siano X₁, . . . , X_n variabili aleatorie di Poisson indipendenti, ciascuna con valore atteso λ. Determinare lo stimatore dei momenti per λ.

c) Il numero di apparecchi difettosi prodotti giornalmente da uno stabilimento che assembla impianti stereo pu`o essere considerato una variabile aleatoria di Poisson. I dati seguenti rilevano il numero di pezzi difettosi prodotti in 10 giornate indipendenti:

2 2 11 5 8 4 5 5 3 4

Usare questi dati per stimare la probabilit`a che nell’arco di 2 giorni non vengano prodotti pi`u di 4 stereo difettosi.

Soluzione.

a) Poich´e E[X₁] = p, si trova subito che lo stimatore dei momenti per p `e la media campionaria ¯X_n.

b) Analogamente al punto a), lo stimatore dei momenti `e la media campionaria.

c) Sia X_i = # apparecchi difettosi prodotti il giorno i, con i = 1, 2; le X_i sono poissoniane con parametro, stimato in base al campione, pari a ˆλ = 4.9. Se Y = X₁+ X₂, allora Y ∼P(9.8); calcoliamo

P (Y ≤ 4) =

4

X

k=0

9.8^k

k! e^−9.8 = 0.03327

Esercizio 6: Il tempo di risposta di un calcolatore all’input di un terminale si descrive mediante una v.a. di legge esponenziale E(θ), con θ > 0 incognito. Si intendono misurare n tempi di risposta, indipendenti, X₁, . . . , X_n.

(17)

a) Calcolare lo stimatore dei momenti ˆΘ per θ.

b) Sia ˆΘ lo stimatore determinato al punto a). Calcolarne il valor medio e dedurne uno stimatore corretto per θ.

Soluzione.

a) Lo stimatore dei momenti `e la soluzione dell’equazione E[X₁] = ¯X ⇒ 1

θ = ¯X ⇒ θ = 1 X¯ Dunque lo stimatore dei momenti `e ˆΘ = _X¹_¯.

b) Vogliamo calcolare il valor medio di ˆΘ.

Possiamo osservare che Y := Pn

i=1X_i è una Gamma di parametri (n, θ), cioè ha densità

f_Y(y) = θⁿyⁿ⁻¹e^−θy

Γ(n) I_(0,+∞)(y)

dove la funzione Γ gode della seguente propriet`a: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1). Calcoliamo allora il valor medio di 1/Y :

E 1 Y

=

Z +∞

0

1

yf_Y(y)dy = Z +∞

0

1 y

θⁿyⁿ⁻¹e^−θy Γ(n) dy

= θ

n − 1 Z +∞

0

θⁿ⁻¹y^(n−1)−1e^−θy

Γ(n − 1) dy = θ n − 1

Z +∞

0

f_Y⁰(y)dy dove Y⁰ ∼ Γ(n − 1, θ); dunque

Z +∞

0

f_Y⁰(y)dy = 1 e E 1 Y

= θ

n − 1 Ora, E[ ˆΘ] = E[_Yⁿ] = _n−1^nθ . Dunque

E n − 1 n

Θˆ

= θ, cio`e ⁿ⁻¹_n Θ `ˆ e uno stimatore corretto per θ.

Esercizio 7: Problema 4, tema d’esame del 16/07/2013, allegato all’esercitazione, punti 1, 2 e met`a del 3 (non abbiamo ancora parlato di errore quadratico).

Esercizio 8: Sia (X₁, . . . , X_n) un campione estratto dalla densit`a fθ(x) = θ(1 + x)^−(1+θ)I(0,+∞)(x)

Determinare lo stimatore ¯Θ_n di θ con il metodo dei momenti.

Soluzione.

Si trova E[X₁] = _θ−1¹ , da cui ¯Θ_n = ^X^¯_Xⁿ_¯⁺¹

n .