ATTIVIT `A 8 Individuare la risposta corretta, motivandola 1. Il perimetro massimo di un rettangolo inscritto nell’ellisse

ATTIVIT ` A 8

Individuare la risposta corretta, motivandola

1. Il perimetro massimo di un rettangolo inscritto nell’ellisse

+ y

= 1 vale a 4 p

5 b 2⇡

c

d nessuna delle precedenti 2. La funzione f (x) = xe

e

1

(f)

a `e dispari

b non ammette asintoto c ammette minimo relativo d nessuna delle precedenti 3. L’equazione e

= x ammette

a un’unica soluzione positiva per ogni ↵ < 1 b al pi` u una soluzione per ogni ↵ 1

c almeno una soluzione positiva per qualche ↵ 2 R d nessuna delle precedenti

4. La funzione f (x) = 2

2x

a ammette un unico zero in ( 1, 1) b ammette un unico punto di flesso

c non ammette asintoti d nessuna delle precedenti

(f)Ricorda, poich´e e^x`e funzione strettamente convessa e y = x + 1 `e la retta tangente al suo grafico in x = 0, si ha che e^x> x + 1 per ogni x2 R, x 6= 0

35

RISOLUZIONE

1. La risposta corretta `e a . Per determinare il perimetro massimo dei rettangoli inscritti nell’ellisse

x²

4

+ y

= 1 osserviamo che detta b la semibase e h la semialtezza, il perimetro `e dato da 4(b + h).

Dato che il rettangolo `e inscritto nell’ellisse, dovremo avere che

+ h

= 1 (possiamo infatti supporre che i lati del rettangolo siano paralleli agli assi), da cui h =

1

=

p

4 b

con b 2 [0, 2]. Dovremo quindi determinare il massimo della funzione p(b) = 2(2b + p

4 b

) nell’intervallo [0, 2]. La funzione `e derivabile in (0, 2) con

p

(b) = 2(2

4 b²

) =

4 b²

(2

4 b

b) In (0, 2) si ha che p

(b) = 0 se e solo se 2 p

4 b

= b ovvero se e solo se b =

5

e tale punto risulta punto di massimo per p(b) con p(

5

) =

= 4 p

5 e tale valore indica il perimetro massimo.

2. La risposta corretta `e d . La funzione f (x) = xe

e

1 `e definita e continua in R\{0}, non risulta pari dato che f ( x) 6= f(x) per ogni x 6= 0 (quindi a `e falsa). Risulta

x

lim

f (x) = lim

x!0

xe

e

1 = lim

x!0

x e

1 = 1 mentre

x!+1

lim f (x) = lim

x!+1

xe

e

1 = lim

x!+1

x 1

= + 1 e lim

x! 1

f (x) = lim

x! 1

xe

e

1 = 0 dato che lim

x! 1

xe

= lim

y!+1 y

e^y

= 0. La funzione non ammette asintoti verticali e y = 0 `e asintoto orizzontale per x ! 1

. Quindi b `e falsa. Anche la risposta c `e falsa, infatti la funzione risulta derivabile nel suo dominio con

f

(x) = (e

1)(e

+ xe

) xe

· e

(e

1)

= e

(e

1 x) (e

1)

e poich´e f

(x) > 0 per ogni x 6= 0 (in quanto, essendo e

funzione convessa, risulta e

> 1 + x per ogni x 2 R, x 6= 0), dal Teorema di Fermat possiamo concludere che la funzione non ammette punti n´e di minimo n´e di massimo relativo. Dal criterio di monotonia, abbiamo che la funzione risulta strettamente crescente sia in ( 1, 0) che in (0, +1).

(g)osserviamo che la funzione ha come asintoto obliquo per x! +1 la bisettrice y = x dato che

x!+1lim

f (x) x = lim

x!+1 e^x

e^x 1 = 1 e lim

x!+1f (x) x = lim

x!+1 xe^x

e^x 1 x = lim

x!+1 x e^x 1 = 0

36

3. La risposta esatta `e c . Posto f

(x) = e

x, l’equazione equivale a determinarne il numero di zeri al variare di ↵ 2 R. Abbiamo che la funzione `e definita e continua in R, inoltre dalla gerarchia degli infiniti, si ha

x!±1

lim f

(x) = + 1.

La funzione risulta derivabile in ogni x 2 R con f

(x) = e

1.

Dunque, avremo f

(x) > 0 se e solo se x > ↵ e quindi che f

(x) risulta strettamente decrescente in ( 1, ↵], strettamente crescente in [↵, +1) e che x = ↵ `e punto di minimo assoluto per f

(x) con f

(↵) = 1 ↵. Osserviamo f

(↵) < 0 se ↵ > 1, f

(↵) = 0 se ↵ = 1 e f

(↵) > 0 se ↵ < 1.

↵ < 1

↵ = 1

↵ > 1

x y

Dal Teorema dei valori intermedi e dalla monotonia della funzione otteniamo che

• la funzione non ammette zeri se ↵ < 1 e quindi l’equazione non ammette soluzioni

• la funzione ammette uno e un solo zero se ↵ = 1 e dunque l’equazione ammette un’unica soluzione x

= 1

• la funzione ammette esattamente due zeri se ↵ > 1 da cui l’equazione ammette esattamente due soluzioni x

< ↵ e x

> ↵, essendo x = ↵ punto di minimo assoluto.

Possiamo allora concludere che a e b sono false mentre c `e vera: per ogni ↵ > 1 si ha infatti che l’equazione ammette almeno una soluzione positiva: x

> ↵ > 1

.

(h)osserviamo che anche la soluzione x1 < ↵ `e positiva. Infatti che per ogni ↵2 R risulta f↵(0) = e <sup>↵</sup>> 0, quindi per ogni ↵ > 1 otteniamo che la funzione `e strettamente decrescente in ( 1, 0] da cui f^↵(x) f↵(0) > 0 per ogni x 0.

37

4. La risposta corretta `e d . La funzione f (x) = 2

2x `e definita e continua in R. Abbiamo

x! 1

lim f (x) = + 1, dato che lim

! 1

2

= 0, e lim

x!+1

f (x) = + 1, poich´e dalla gerarchia degli infiniti risulta lim

x!+1 2^x

2x

= + 1. La funzione non ammette pertanto asintoti verticali e orizzontali, abbiamo per` o

x! 1

lim

f (x)

x

= lim

x! 1 2^x

x

2 = 2 e lim

x! 1

f (x) + 2x = lim

x! 1

2

= 0

e dunque che y = 2x `e asintoto obliquo per x ! 1. Osserviamo che la funzione non ammette invece asintoto obliquo per x ! +1.

La funzione `e inoltre derivabile in R con f

(x) = log 2 2

2 per ogni x 2 R e risulta f

(x) > 0 se e solo se x > log

(

) = 1 log

(log 2) = x

. Dal criterio di monotonia abbiamo allora che la funzione `e strettamente decrescente in ( 1, x

], strettamente crescente in [x

, + 1) e che x

`e punto di minimo assoluto

. Osserviamo che x

= 1 log

(log 2) > 1, in quanto log

log 2 < 0.

Infatti, essendo 2 < e si ha log 2 < 1 e dunque log

(log 2) < 0.

Infine la funzione `e derivabile due volte in R con f

(x) = log

2 2

> 0 per ogni x 2 R. Dal criterio di convessit` a abbiamo quindi che f (x) `e convessa in R.

Da quanto ottenuto possiamo concludere che

a `e falsa, la funzione `e positiva in ( 1, 1) dato che f(1) = 0 e che f(x) `e strettamente decrescente in ( 1, 1), quindi f(x) > f(1) = 0 per ogni x < 1;

b `e falsa, la funzione `e convessa in tutto R dunque non ammette punti di flesso;

c `e falsa, la funzione ammette un asintoto obliquo per x ! 1.

(i)Osservato che f (1) = 0, otteniamo che f (x0) < f (1) = 0. Dal teorema dei valori intermedi e dalla monotonia stretta possiamo allora concludere che la funzione ammette due soli zeri, uno in ( 1, x⁰) e uno in (x0, +1).

38