x3− x2+ x − 1 = (x2+ 1)(x − 1), quindi le risposte corrette sono VVVF

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CORSI DI STUDI IN CHIMICA, FISICA, MATEMATICA, SC. DEI MATERIALI E SMID TEST SULLE CONOSCENZE DI BASE

11 Settembre 2006

1. La disequazione 4x²+ 4x + 1 ≥ 0 `e soddisfatta

Vero Falso Non so

a) per x = −3 2 2 2

b) per ogni x tale che −3 ≤ x ≤ 3 2 2 2

c) per ogni valore reale di x 2 2 2

d) solo per x ≥ 0 2 2 2

R. Poich´e 4x²+ 4x + 1 = (2x + 1)², le risposte corrette sono VVVF.

2. La disequazione x²− x + 1 ≤ 0 `e soddisfatta

Vero Falso Non so

a) per x = −1 2 2 2

b) per x = −100 2 2 2

c) per ogni x tale che −100 ≤ x ≤ 0 2 2 2

d) per x = −√

2 2 2 2

R. Il trinomio dato ha il discriminante negativo, quindi il suo segno è sempre quello del coefficiente di x², cioè è sempre positivo, e quindi le risposte corrette sono FFFF.

3. L’equazione x³ = x²− x + 1 `e soddisfatta

Vero Falso Non so

a) per x = 1 2 2 2

b) solo per x = 1 2 2 2

c) per qualche valore positivo di x 2 2 2

d) per qualche valore negativo di x 2 2 2

R. x³− x²+ x − 1 = (x²+ 1)(x − 1), quindi le risposte corrette sono VVVF.

4. L’equazione p(x − 1)² = x + 1

Vero Falso Non so

a) non `e soddisfatta per alcun valore di x 2 2 2

b) non `e soddisfatta per alcun valore positivo di x 2 2 2

c) `e soddisfatta per al pi`u due valori di x 2 2 2

d) `e soddisfatta per al pi`u un valore di x 2 2 2

R. Poich´ep(x − 1)² = |x−1|, l’equazione data equivale a |x−1| = x+1, che si scompone nelle equazioni x − 1 = x + 1, priva di soluzioni, e −x + 1 = x + 1, che ha la sola soluzione x = 0; quindi le risposte corrette sono FVVV.

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5. L’equazione ¹⁵⁰⁰

√

x¹⁷⁵= ¹⁰⁰⁰

√ x¹¹⁷

Vero Falso Non so

a) `e soddisfatta per x = 0 2 2 2

b) `e soddisfatta solo per x = 0 2 2 2

c) non `e soddisfatta per alcun valore positivo di x 2 2 2 d) non `e soddisfatta per alcun valore negativo di x 2 2 2

R. Innalzando alla 3000 si ottiene x³⁵⁰ = x³⁵¹, quindi x = 0 oppure x = 1; quindi le risposte corrette sono VFFV.

6. Dei tre numeri x = log₂3, y = log₃2 e z = log_2,52, 5

Vero Falso Non so

a) il pi`u piccolo `e x 2 2 2

b) il pi`u piccolo `e y 2 2 2

c) il pi`u piccolo `e z 2 2 2

d) z `e la media aritmetica di x ed y 2 2 2

R. Si ha x > 1, y < 1 e z = 1; inoltre 2³² < 3 ⇒ x > ³₂ e 3¹² < 2 ⇒ y > ¹₂; quindi

x+y

2 > 1; e allora le risposte corrette sono FVFF.

7. Siano a > 0 e x > 0. Allora

Vero Falso Non so

a) log_ax > 0 2 2 2

b) se a < b, logax < logbx 2 2 2

c) log_a√

x > ¹₃log_ax 2 2 2

d) se y > 0, log_a(x + y) = log_ax + log_ay 2 2 2 R. Si ha

• log₁₀₁₀¹ = −1;

• 1 = log₂2 > log42 = ¹₂;

• −1 = log₂q

1

4 < ¹₃log₂¹₂ = −¹₃;

• log₂(1 + 1) = 1 6= 0 = 2log21 Quindi le risposte corrette sono FFFF.

8. L’insieme S delle soluzioni dell’equazione sen x = cos x contiene l’insieme

Vero Falso Non so

a) {^π₄} 2 2 2

b) {x ∈ R | x = ^π₄ + k^π₂, k intero} 2 2 2

c) {x ∈ R | x = ^π₄ + kπ, k intero} 2 2 2

d) {x ∈ R | x = ^π₄ + 2kπ, k intero} 2 2 2

R. Poich´e S = {^π₄ + kπ | k intero}, le risposte corrette sono VFVV.

2

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9. La disuguaglianza tg x > sen x `e soddisfatta

Vero Falso Non so

a) da tutti i numeri reali x 2 2 2

b) da tutti i numeri reali positivi x 2 2 2

c) da tutti i numeri reali negativi x 2 2 2

d) da tutti i numeri reali x tali che 0 < x < ^π₂ 2 2 2 R. L’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione tg x = sen x `e l’unione dei due insiemi

S = {x | sen x = 0} = {kπ | k intero} e T = {x | cos x = 1}, che `e contenuto in S;

quindi le risposte corrette sono FFFV.

10. In un parallelogramma due lati consecutivi hanno lunghezze a e b e l’ampiezza dell’angolo fra essi compreso `e ^π₃. Allora l’area del parallelogramma `e

Vero Falso Non so

a) minore di ab 2 2 2

b) maggiore di ab 2 2 2

c) ^ab

√3

2 2 2 2

d) ^ab₂ 2 2 2

R. L’area richiesta `e ab sen^π₃; quindi le risposte corrette sono VFVF.

11. In un settore circolare di raggio 1 l’ampiezza α dell’angolo al centro `e tale che l’area del settore circolare `e 1. Allora

Vero Falso Non so

a) α `e uguale a 1 radiante 2 2 2

b) α `e uguale a 2 radianti 2 2 2

c) sen α > cos α 2 2 2

d) sen α > cos 2α 2 2 2

R. 2π : π = α : 1 ⇒ α = 2 > ^π₄ e 2α = 4 > π; quindi le risposte corrette sono FVVF.

12. La piramide di Cheope `e retta, `e alta 146 m ed ha per base un quadrato il cui lato misura 230 m. Allora

Vero Falso Non so a) la sua superficie laterale `e inferiore a 100.000 m² 2 2 2 b) il suo volume supera i 3 milioni di metri cubi 2 2 2

c) ciascuno spigolo misura pi`u di 200 m 2 2 2

d) l’angolo al vertice di ciascuna faccia `e maggiore di 60⁰ 2 2 2 R. Indicando con V il volume, con ap l’apotema, con Sl la superficie laterale e con sp la

lunghezza dello spigolo, si ha

• V = ²³⁰²₃^·146 ' 2.574.467 m³;

• ap =√

115²+ 146² ' 186 m;

• S_l= 2 · 230 · ap ' 85.560 m²;

• sp '√

115²+ 186² ' 219 m

Poich´e lo spigolo ha lunghezza inferiore a quella del lato di base, α > 60⁰. Quindi le risposte corrette sono VFVV.

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13. In un cerchio C1 è inscritto un quadrato Q1 nel quale è inscritto un cerchio C2 e in questo cerchio è inscritto un quadrato Q2. Allora

Vero Falso Non so

a) l’area di C2 `e la met`a di quella di C1 2 2 2

b) l’area di Q₂ `e la met`a di quella di Q₁ 2 2 2

c) il lato di Q2 `e uguale al raggio di C1 2 2 2

d) il raggio di C2 `e la met`a di quello di C1 2 2 2 R. Siano ri e Ai raggio e area di Ci, li e Bi lato e area di Qi. Allora

A₁ = πr₁² l₁ = r₁√

2 B₁= 2r₁² r₂= r₁

√2 A₂= πr²₁ 2 = A₁

2 l₂= r₂√

2 = r₁ B₂ = r²₁ Quindi le risposte corrette sono VVVF.

14. Descrivere l’insieme dei punti P le cui coordinate x e y soddisfano l’equazione x³+ x²y + xy²+ y³− x − y = 0

R. x³+ x²y + xy²+ y³− x − y = (x²+ y²− 1)(x + y) = 0, quindi si tratta di una figura composta da una retta (quella di equazione x + y = 0) e da una circonferenza (quella di equazione x²+ y²− 1 = 0).

15. In una partita a testa e croce fra i giocatori A e B vince chi arriva prima a 6.

Quando il punteggio è di 5 a 3 a favore di A, qual è la probabilità di vittoria di A ? quale quella di B ?

R. Per vincere, B deve vincere tutte e tre le giocate successive. Poiché ciascun evento ha probabilità ¹₂, la sua probabilità di vittoria è ¹₈ e quella che vinca A è 1 − ¹₈ = ⁷₈.

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