5. ESERCIZI sulle FUNZIONI di DUE VARIABILI REALI, parte 2
Stabilire se le seguenti funzioni risultano continue in (0, 0)
1. f (x, y) =
(8y3 x3
x2+y2 se (x, y)6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
2. f (x, y) =
(2xy2 y3
x2+2y2 se (x, y)6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)
3. f (x, y) =
(x sin y y sin x
x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Calcolare, dove esistono, le derivate parziali delle seguenti funzioni nel loro dominio.
4. f (x, y) =p
1 x2+ 2x y2 5. f (x, y) = log⇣
x y
⌘+ 2xy2
6. f (x, y) = arctanx2xy+y2
7. f (x, y) =p3
|xy|
8. f (x, y) =|y 2x| log(1 + x) 9. f (x, y) =p
|x2 y2|
Discutere la continuit`a, la derivabilit`a parziale e nella direzione ⌫ indicata, calcolando, se esistono le derivate e la di↵erenziabilit`a delle seguenti funzioni nei punti assegnati.
10. f (x, y) =
((x2+ y2) arctanx2+y1 2 se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (↵, ), in O(0, 0);
11. f (x, y) = 8<
:
log(1+xp 2+y2)
x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p12, p12), in O(0, 0);
12. f (x, y) =
(xy2 x2y
x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p25, p15), in O(0, 0);
13. f (x, y) = (x3
3x2y
3x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p12,p12), in O(0, 0);
14. f (x, y) =
(p|xy| log(x2+ y2) se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (↵, ), in O(0, 0);
15. f (x, y) =
(sin(x3 y3)
x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p12,p12), nei punti del suo dominio;
16. f (x, y) =|x y2|, ⌫ = (↵, ), nei punti del suo dominio.
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