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(8y3 x3 x2+y2 se (x, y se (x, y

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Academic year: 2021

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5. ESERCIZI sulle FUNZIONI di DUE VARIABILI REALI, parte 2

Stabilire se le seguenti funzioni risultano continue in (0, 0)

1. f (x, y) =

(8y3 x3

x2+y2 se (x, y)6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

2. f (x, y) =

(2xy2 y3

x2+2y2 se (x, y)6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

3. f (x, y) =

(x sin y y sin x

x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Calcolare, dove esistono, le derivate parziali delle seguenti funzioni nel loro dominio.

4. f (x, y) =p

1 x2+ 2x y2 5. f (x, y) = log

x y

+ 2xy2

6. f (x, y) = arctanx2xy+y2

7. f (x, y) =p3

|xy|

8. f (x, y) =|y 2x| log(1 + x) 9. f (x, y) =p

|x2 y2|

Discutere la continuit`a, la derivabilit`a parziale e nella direzione ⌫ indicata, calcolando, se esistono le derivate e la di↵erenziabilit`a delle seguenti funzioni nei punti assegnati.

10. f (x, y) =

((x2+ y2) arctanx2+y1 2 se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (↵, ), in O(0, 0);

11. f (x, y) = 8<

:

log(1+xp 2+y2)

x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p12, p12), in O(0, 0);

12. f (x, y) =

(xy2 x2y

x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p25, p15), in O(0, 0);

13. f (x, y) = (x3

3x2y

3x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p12,p12), in O(0, 0);

14. f (x, y) =

(p|xy| log(x2+ y2) se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (↵, ), in O(0, 0);

15. f (x, y) =

(sin(x3 y3)

x2+y2 se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (p12,p12), nei punti del suo dominio;

16. f (x, y) =|x y2|, ⌫ = (↵, ), nei punti del suo dominio.

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