(8y3 x3 x2+y2 se (x, y se (x, y

5. ESERCIZI sulle FUNZIONI di DUE VARIABILI REALI, parte 2

Stabilire se le seguenti funzioni risultano continue in (0, 0)

1. f (x, y) =

(_8y3 x³

x²+y² se (x, y)6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

2. f (x, y) =

(_2xy2 y³

x²+2y² se (x, y)6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

3. f (x, y) =

(x sin y y sin x

x²+y² se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0)

Calcolare, dove esistono, le derivate parziali delle seguenti funzioni nel loro dominio.

4. f (x, y) =p

1 x²+ 2x y² 5. f (x, y) = log⇣

x y

⌘+ 2xy²

6. f (x, y) = arctan_x2^xy+y²

7. f (x, y) =p³

|xy|

8. f (x, y) =|y 2x| log(1 + x) 9. f (x, y) =p

|x² y²|

Discutere la continuit`a, la derivabilit`a parziale e nella direzione ⌫ indicata, calcolando, se esistono le derivate e la di↵erenziabilit`a delle seguenti funzioni nei punti assegnati.

10. f (x, y) =

((x²+ y²) arctan_x2+y^{1 2} se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (↵, ), in O(0, 0);

11. f (x, y) = 8<

:

log(1+xp ²+y²)

x²+y² se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (^p1₂, ^p1₂), in O(0, 0);

12. f (x, y) =

(_xy2 x²y

x²+y² se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (^p2₅, ^p1₅), in O(0, 0);

13. f (x, y) = (_x3

3x²y

3x²+y² se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (^p1₂,^p1₂), in O(0, 0);

14. f (x, y) =

(p|xy| log(x²+ y²) se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (↵, ), in O(0, 0);

15. f (x, y) =

(_sin(x3 y³)

x²+y² se (x, y)6= (0, 0)

0 se (x, y) = (0, 0), ⌫ = (^p1₂,^p1₂), nei punti del suo dominio;

16. f (x, y) =|x y²|, ⌫ = (↵, ), nei punti del suo dominio.

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