b) dall applicazione dell analogia elettrica alle resistenze termiche dei singoli strati costituenti la parete. 01.0

Esercizio n°1   

In  condizioni  di  regime  stazionario  e  unidimensionale  possiamo  calcolare  la  potenza  termica  del  calore  fluente  attraverso la parete multistrato, mediante l’Equazione (1) di cui sotto, derivante: 

a) dall’integrazione nello spazio monodimensionale dell’equazione rappresentativa del postulato di Fourier 

= ∫

→ ∫

∂

− ∂

= Q^Ldx A^L d

A x Q

0 0

ϑ λ ϑ δ

λ

δ& &  

b)  dall’applicazione dell’analogia elettrica alle resistenze termiche dei singoli strati costituenti la parete.  

(

)

K

q&_specifico = _unitario − dove    

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= °

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + ° +

= + +

=

∑

=

=

C m

W C

m W s

s s K s

cls cls matt n matt

i i

i

unitario 2 2

int int 1

823 . 3 46

. 0

01 . 0 93 . 0

08 . 0 65 . 0

1 . 0

1 1

1

λ λ λ λ

( )

2 2 1

int int

Equazione m

t W s t

s q s

cls cls matt matt

specifico ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

− +

+

=

λ λ λ

&

In  condizioni  di  regime  stazionario  possiamo  affermare  che  il  flusso  specifico  di  calore  attraverso  lo  strato  dei  mattoni dovrà essere uguale al flusso specifico attraverso lo strato di calcestruzzo e così anche uguale al flusso  attraverso l’intonaco. Il flusso di calore attraverso uno strato è pertanto uguale a quello relativo a qualsiasi altro  strato (si ribadisce in condizioni di Regime stazionario). 

(

)

(

)

(

)

= _{1 2} 76.45 ₂

m q W

t s t

t s t

T s T

q _{y specifico}

intonaco y

x cls cls x mattoni

mattoni mattoni

intonaco &

& λ λ λ

La  prima  equazione  ci  permette  allora  di  determinare  la  temperatura  T_x  nel  punto  di  contatto  tra  mattoni  e  calcestruzzo. 

[ ]

T

T _specifico

mattoni mattoni

x = ₁− & =8.24°

λ  

Rappresentazione della stratigrafia della parete e delle grandezze definite e dedotte dal testo dell’esercizio   

Andamento della Temperatura lungo la stratigrafia della parete multistrato   

Esercizio n°2 

Per  semplicità,  ragioniamo  considerando  il  sistema  collettore  solare  in  condizioni  di  regime  stazionario. 

All’instaurarsi di questa particolare condizione i flussi di potenza termica in ingresso e in uscita dal collettore sono  perfettamente  bilanciati  e  quindi  il  flusso  netto  è  nullo¹.  L’obiettivo  del’esercizio  è  quello  di  trovare  quella  particolare  temperatura  dell’aria  in  corrispondenza  della  quale,  al  permanere  delle  condizioni  al  contorno²,  il  collettore solare si porta a 0°C in regime stazionario e quindi tutto il flusso di radiazione termica che il collettore, a  0°C, scambia con il terreno a 4°C e con la volta celeste a T_sky³ è interamente compensata dal calore scambiato per  convezione con l’aria.  

1 In questo particolare caso in cui il sistema è costituito da un collettore solare termico il flusso di potenza meccanica in  ingresso o in uscita dal sistema non è presente, in quanto viene considerato un sistema che non è in grado di scambiare  lavoro con l’ambiente circostante. 

2 Condizione necessaria per l’instaurarsi del Regime Stazionario 

3

ty 1.66 

18,1  Temperatura Interfaccia

Calcestruzzo ‐ mattone  ty=1.66 °C 

Intonaco

[ ]m s_matt=0.1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= mK

W

matt 0.65

λ

[ ]m scls=0.08

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= mK

W

cls 0.93 λ

[ ]m sint=0.01

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= mK

46 W .

int 0 λ

Temperatura parete   del mattone  t1=20°C 

Temperatura parete  dell’intonaco  t2=0°C  Temperatura Interfaccia 

Mattone ‐ Calcestruzzo  tx=8.24°C 

Mattone

( − )= _⎢⎣^⎡ _⎥⎦^⎤ +

+

= _{1 2 2}

int int

45 . 1 76

m t W

s t s q s

cls cls matt matt specifico

λ λ λ

&

C t₂ = 0° C

t₁= 20°

Calcestruzzo

specifico

q&

specifico

q&

T(s) °C

S [cm] 

20 

tx 8.24 

0 

10 18

Il  collettore  solare  è  un  sistema  termodinamico.  Il  primo  principio  della  termodinamica,  applicato  al  sistema  collettore solare, in generale porterebbe a scrivere: 

∑ +∑ +∑ Φ

=

ΔU_collettore Q L  

Il sistema termodinamico collettore solare termico può solo scambiare radiazione termica con il terreno e con la  volta celeste e anche calore per convezione con l’aria. Il primo principio della termodinamica applicato al sistema 

“collettore solare” nelle condizioni di regime stazionario si particolarizza seconda la seguente equazione: 

=0 Δ

∑Q+∑ +L ∑ Φ= U    

Il  termine  “∑ Q“  rappresenta  la  quantità  netta  di  calore  che  il  collettore  scambia  per  convezione  con  l’aria,  mentre  il  termine  “∑ Φ“  rappresenta  la  quantità  netta  di  radiazione  termica  che  viene  scambiata  con  la  volta  celeste e con il terreno. La prima sommatoria relativa allo scambio di calore è costituita da un solo termine visto  che il collettore solare è immerso completamente in aria alla temperatura ancora incognita di T_aria.  

(

)

conv

collh T T

A

Q= −

∑  

La  seconda  sommatoria  è  invece  costituita  da  due  termini.  Infatti  il  collettore  scambia  complessivamente  radiazione  termica  con  due  corpi.  Il  terreno  e  la  volta  celeste,  rispettivamente  alle  temperature  T_terr=277,15K  e  T_sky. La volta celeste la possiamo considerare come un corpo nero alla temperatura di 230,15 K.  

( )

( ) ( ) ( )

1A E T J A J J F A J J F eqni a b

sky coll sky coll coll terr coll terr coll coll coll coll coll coll

coll coll terreno

collt⇔ − = − → + − →

= −

∑Φ=Φ

ε ε

En(Tcoll)

Jsky

Jcoll

Jterr

En(Tterr)

coll coll

coll

R A

ε ε

= 1−

1

terr coll

terr

R A

ε ε

= 1−

3 coll

terr coll terr

terr coll

collF A A F

R A

→

→

=

=

= 1

3 1 1 1

2

Jcoll  En(Tsky)

sky coll

sky

R A

ε ε

= 1−

5 coll

sky sky coll

sky coll

coll A F

F A R A

→

→

=

=

= 1

3 2 1 1

4

Collettore Solare  corpo 1 

Terreno corpo 2 

L’obiettivo dell’esercizio è quello di trovare quella particolare temperatura dell’aria in corrispondenza della quale  il collettore solare si porta a 0°C in regime stazionario e quindi tutta la radiazione che il collettore (a 0°C) scambia  con  il  terreno  (a  4°C)  e  con  la  volta  celeste  (a  ‐43°C),  è  interamente  compensata  dal  calore  scambiato  per  convezione con l’aria.  

Si osservi che avendo considerato la volta celeste un corpo nero, allora la sua emissività ε_sky è pari a 1, pertanto il  termine  R₅  si  annulla,  e  la  radiosità  della  volta  celeste  coincide  con  il  suo  potere  emissivo  di  corpo  nero,  Jsky=En(Tsky). Dall’analogia elettrica e dallo schema di figura 1, possiamo scrivere: 

( )

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )

3 2 1 1

3 1 1 1

1 1

coll sky n coll

terr coll

terr

coll

terr n coll

sky coll coll

sky n coll

terr coll

terr terr

coll coll

terr n coll terr

sky coll

A T E J

A A

T E J

F A

T E J

A F

A

T E

J −

− + +

= − + −

+ −

= − Φ

−

−

−

⇔

ε ε ε

ε  

Esplicitando  J_coll  da  quest’ultima  equazione  per  poi  sostituirla  nell’equazione  1a,  e  assumendo  R₂₋₃ =R₂ +R₃,  otteniamo: 

( ) ( )

) 2 (

4 3 2 4 1 3 2 1

3 2 4 4

4 3 2 4 1 3 2 1

4 4 4

R R R R R R

R T T R

R R R R R

R T

Tcoll terr coll sky terr

sky coll

−

−

−

−

−

−

⇔ + +

+ − +

+

= −

Φ σ σ

  Sostituendo i valori forniti dal testo dell’esercizio otteniamo: 

) 2 ( 1346W

terr sky

coll =

Φ _{⇔ −}

Questo risultato ci dice che il collettore complessivamente cede radiazione termica al cielo in ragione di 6732W   Nel momento in cui Tcoll è < di Tterr allora il primo termine è minore di zero significa che il collettore sta cedendo  una quantità negativa di radiazione al terreno quindi significa che il collettore guadagna radiazione dal terreno,  mentre  ne  cede  alla  volta  celeste.  La  scrittura  precedente  è  impostata  dal  punto  di  vista  della  quantità  di  radiazione che il collettore cede all’ambiente circostante, quindi se complessivamente dovesse risultare positiva  allora  significa  che  il  collettore  cede  effettivamente  radiazione  all’ambiente  circostante,  se  invece  dovesse  risultare negativa allora significa che il collettore guadagna radiazione. Riscriviamo il primo principio: 

=0

∑Q+∑ Φ  

La quantità ∑ Φè quella appena determinata Φ_{coll⇔sky−terr}dell’equazione (2)  Mentre il termine ∑ Q è così esprimibile 

(

)

conv

collh T T

A

Q= −

∑  

Il primo principio pertanto porge 

( ) ( ) ( )

0

4 3 2 4 1 3 2 1

3 2 4 4

4 3 2 4 1 3 2 1

4 4 4

+ = + + −

+ +

− −

−

−

−

−

−

− RR RR R R

R T T R

R R R R R

R T T T

T h

A_{coll conv aria coll} σ ^{coll terr} σ ^{coll sky}

Eseguendo  i  calcoli  si  trova  per  T_aria  il  valore  di  277,17K.  Questo  è  il  valore  limite  della  temperatura  dell’aria  in  corrispondenza del quale “inizia” il congelamento del fluido contenuto nel collettore.  

Esercizio n°3 

Scopo dell’esercizio è determinare l’area della superficie di collettore solare termico che sia in grado di riscaldare  in 4 ore 200 kg di acqua da 10°C a 65°C sfruttando la disponibilità di un flusso di radiazione solare pari a 800W/m².  L’esercizio viene risolto utilizzando il primo principio della termodinamica per sistemi aperti.  

Dalla figura possiamo osservare che possiamo considerare il collettore solare come un sistema aperto in grado di  scambiare massa, radiazione e calore.  

La scrittura del primo principio per fluosistemi, a partire dalle condizioni più generali porge: 

∑ ( )

∑Φ + ∑ +

∫ + + =

∂ + ∂

∑ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

=

= =

Δ

s shafts m

j

l

k k

j c

V n

i mi hi wi gzi ei w gz dV Q L

c ^{1 1 1}

2 1

2 )

2 . 1 . 2 (

1 & & &

& ρ

τ  

quando viene applicato al caso del collettore solare in regime stazionario: 

( )

(

)

(

)

m& ⋅

Δ

2

(

)

O

pH t t A Q Q

c

m& ⋅ ₂ − = ⋅ϕ&+Φ& −Φ& −Φ& − & − &

Il  flusso  di  radiazione  solare  che  complessivamente  il  collettore  riesce  a  captare  è  pari  a Φ&  ,mentre il flusso _sol specifico di radiazione, cioè il flusso captato per unità di superficie di collettore è dato da ϕ&sol = &Φsol Acoll . La  portata massica convertita in kg al secondo è pari a 200/(3600*4)=0.0139[kg/s]; 

Adesso  possiamo  considerare  un  collettore  ideale,  ovvero  un  collettore  con  efficienza  unitaria,  η=1,  quindi  in  grado  di  convertire  tutta  la  radiazione  solare,  captata  dalla  superficie  A_coll,  in  incremento  di  entalpia  del  fluido  termovettore. In questo caso l’equazione del collettore diventa: 

(

)

pH t t A

c

m& ⋅ ₂ − = ⋅ϕ&  

Per il collettore ideale la superficie di captazione necessaria è pari a 3.9970m² 

Qualora invece venisse considerato un collettore reale con un valore di efficienza η<1 ad esempio η=0.6, allora  solo  il  60%  della  radiazione  solare  incidente  viene  convertita  in  incremento  di  entalpia  del  fluido,  mentre  il  restante  40%  della  radiazione  solare  incidente  viene  dispersa  in  ambiente,  in  termini  di  calore  e  radiazione  dispersa, e va a costituire le perdite del collettore.  

L’efficienza del collettore si esprime secondo la seguente: 

( )

sol coll

i u p

A t t c m η = & ϕ⁻

(

)

O

pH t t A Q Q

c

m& ⋅ ₂ − = ⋅ϕ& +Φ& −Φ& −Φ& − & − &  

La  quantità  netta  di  radiazione  solare  che  non  viene  convertita  in  incremento  di  entalpia  è  rappresentata  dai  termini: 

cond conv

IR riemessa riflessa

IR amb

inc & & Q& Q&

& −Φ −Φ − −

Φ +    

Pertanto questa quantità, che possiamo indicare con −Q&_disp è così esprimibile: 

( )

cond conv

IR riemessa riflessa

IR amb

inc & & Q& Q& Q& η A ϕ&

& −Φ −Φ − − = − = − −

Φ 1  

( )

( )

O

pH t t A Q A A

c

m& ⋅ _{2 2} − ₁ = ⋅ϕ& − & = ⋅ϕ& − 1−η ϕ&  

( )

O

pH t t A

c

m& ⋅ _{2 2} − ₁ =η ϕ&  

In questo caso l’area della superficie di captazione dovrà essere uguale a 6.662m²   

Esercizio n°4 

Alle  condizioni  indicate  possiamo  considerare  l’aria  a  comportamento  di  gas  ideale.  Il  gas  ideale  è  un  sistema  p,v,T, ovvero è un sistema che per essere individuato in uno stato di equilibrio termodinamico necessita di sole  tre coordinate termodinamiche.  

Lo stato iniziale (p_i ,v_i ,T_i ), la quantità di materia e di massa sono completamente definiti ed individuabili dai dati  del  testo  dell’esercizio.  Infatti  sono  stati  assegnati  il  volume,  la  pressione  e  la  temperatura  iniziale,  da  questi  possiamo determinare la  quantità di  materia (numero delle  moli n) e  di  massa del sistema⁴, il volume specifico  iniziale.  

Quantità di materia (numero di moli “n”)  

i univ i

i i i univ i

molare i i

univ i

molare

iv R per n moli di gas p nv nR v pV nR

p gas di mole una

per = θ → = θ → = θ  

[ ]

[ ] [ ] [

]

J Nm kmol kgmoleK K

J m m

N

R V n p

i univ

i

i 0.00805 0.00805

293 8314

1 . 0 5

. 98066

*

20 ₂ ³

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥⎦⋅

⎢⎣ ⎤

⎡

=

= θ

Quantità di massa “m” 

[ ]

[ ] [ ]

kgK K J

m m N R

V m p

mR V p

i aria

i i i

aria i

i 2.34

293 65

. 286

1 . 0 5 . 98066

*

20 ₂ ³

=

⎥⋅

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⋅

=

=

→

= θ θ

Volume specifico iniziale 

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

= kg

m kg

m m

v V

i i i spec

3 3

0428 . 34 0

. 2

1 .

0  

Condizioni finali del sistema 

Le  condizioni  finali  del  sistema  si  determinano  calcolando  la  pressione  e  il  volume  specifico  finale  del  sistema,  visto  che  il  volume  totale,  massa  e  numero  di  moli  rimangono  invariati  e  la  temperatura  finale  del  sistema  è  assegnata 

[ ] [ ]

[ ]

^{[ ]}

kgK K kg J

V V p mR mR

V p

i f

f aria f

f aria f

f

6

3 3.347 10

1 . 0

500 65

. 286 34

. 2

⋅

=

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅ ⎡

≡ =

=

→

= θ

θ  

4 è un sistema chiuso dove si esclude la possibilità di reazioni nucleari quindi massa e materia rimangono costanti nel tempo 

Calore scambiato.  

Possiamo determinare la quantità di calore scambiata utilizzando il primo principio della termodinamica    

Φ + +

= ΔU_gas Q L

per processi finiti quasi statici, eseguiti da un gas ideale, nell’ipotesi di adiabaticità alla radiazione abbiamo: 

(

)

v Q m pdv

mc ϑ ϑ  

Se il processo isovolumico è quasi statico allora il lavoro scambiato quasi staticamente è nullo, pertanto: 

 ^Q = ^mcv₋aria

(

)

⁽

⁾ [ ]

[ ]

[

]

Si ricordi che per i calori specifici di un gas ideale vale la relazione  

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

−

→

=

−

kgK R J

c c

R c

c

286 , 65

Ricordando  che  il  calore  specifico  a  pressione  costante  dell’aria  è  pari  a  0.24[kcal/kgK],  oppure  1004,6[J/kgK],  allora  

( )

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡

=

−

= ₋

− kgK

J kgK

R J c

c_{v aria p aria aria} 1004,6 286,65 717.9

  ΔU_gas aria 

Q  L 

φ 

Variazione di Energia Interna 

Ricordando che per un gas ideale la dipendenza dell’energia interna dalle coordinate termodinamiche è limitata  alla sola temperatura e che la variazione può essere espressa dalla seguente relazione: 

Δ U

= mc

( ϑ

− ϑ

)

( ) [ ] ^J

mc

U

=

−

= 346590

Δ

ϑ ϑ

Variazione di Entalpia 

Ricordando che per un gas ideale la dipendenza dell’entalpia dalle coordinate termodinamiche è limitata alla sola  temperatura e che la variazione può essere espressa dalla seguente relazione: 

Δ H

= mc

( ϑ

− ϑ

)

abbiamo che  

( ) [ ] ^J

mc

H

=

−

= 485330

Δ

ϑ ϑ

Variazione di Entropia 

A partire dalla scrittura del primo principio della termodinamica per un sistema costituito da una massa unitaria di  gas ideale relativamente a processi quasi statici infinitesimi reversibili: 

pdv Tds

pdv q

dT

c_v =

δ

T ds pdv T

c

dT = −

Quando il processo è isovolumico abbiamo: 

( )

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅ ⎡

=

=

−

∫ →

∫ =

kgK cal kgK

J kgK

J T

c T s s ds T dT

c

i f v i f i

i f

i

v 383.19 91.54

293 lg500 6 . 1004 1 lg

La variazione di entropia subita da tutta la massa del sistema è pari   

( ⁻ ) ( ^{= −} ) ^{= ⋅ =} _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^{⎤ =} _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

K cal K

s J s m S

S

2 . 34 383 . 19 894 . 84 213 . 77

Lavoro  

Qualora si concepisca il processo come quasi statico, per il postulato di stato⁵ del lavoro quasi statico dei sistemi  pvT valido per i sistemi pvT, posso affermare che in assenza di variazione di volume il lavoro scambiato è nullo. 

Infatti se il lavoro è quasi statico allora qualsiasi lavoro L scambiato con il sistema deve essere così esprimibile:  

− ∫

= m_i^f pdv

L  

Quindi se il processo è isocoro il “dv” è identicamente nullo lungo il processo: 

=0

L  

Se  invece  il  processo  non  è  quasi  statico,  possiamo  pensare  di  giungere  isovolumicamente  allo  stato  finale  in  modo  non  quasi  statico,  scambiando  lavoro  d’elica,  in  modo  adiabatico  al  calore  e  alla  radiazione.  Allora  per  il  primo principio abbiamo che la variazione di energia interna ci fornisce il valore del lavoro d’elica scambiato con il  sistema.  

∑ + ∑ +∑ + ∑ Φ

=

ΔU Q L_Volume L_elica

Φ + +

+

=

Δ

i i

g

Q L L

U

mc

( ϑ

− ϑ i ) = L

^L

^{= 346590} [ ] ^J

Processo adiabatico.  

Lo stato iniziale in termini di p_i, v_i e T_i è lo stesso del caso precedente. Stavolta però il processo termodinamico  anziché essere descritto dall’equazione del processo isocoro 

f

i

V

V cost

V = → =

è invece descritto dall’equazione di un processo adiabatico: 

γ γ

γ

f f i

i

v p v

p cost

pv = → =

  Siamo in possesso di pi e vi e ci manca pf e vf  

5 Enunciato in positivo: per un sistema pvT l’unico modo che il sistema ha di scambiare lavoro con l’ambiente circostante in modo quasi  statico è quello per variazione di volume. In negativo: il lavoro scambiato senza variazione di volume non può essere quasi statico quando è 

SISTEMA ADIABATICO  S.E.M. L∞  Lavoro ’elica 

Aria a  comportamento 

ideale 

Dello stato finale è stata assegnata sola la temperatura finale Tf=500K, quindi dobbiamo chiederci quale è quello  stato  finale  di  gas  ideale  che muovendoci  adiabaticamente  dallo  stato  iniziale  assegnato  (p_i  v_i)  ci  porta  alla  temperatura T_f=500K? 

Per risolvere basta seguire attentamente come è stata formulata la domanda precedente: 

siccome è uno stato finale di gas ideale allora potrò certamente scrivere per questo stato l’equazione di stato di  un gas ideale 

f f aria f

f aria f

f

v

T p R

T R v

p = → =

questa  relazione  ci  permette  di  esprimere  la  p_f  in  funzione  di  T_f  e  v_f.  Siccome  raggiungiamo  lo  stato  finale  muovendoci diabaticamente, allora stato finale ed iniziale devono obbedire all’equazione descrittiva del processo  adiabatico quasi statico,  

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

→

=

= ^{− −}

kg m T

R v v p

v T R v p v p

f aria

i i f

f f aria f

f i i

1 3 1

1 0.0113

γ γ γ

γ γ

Ritorniamo alla precedente equazione per calcolarci p_f:   

[ ] Pa v

T p R

f f aria f

10

272 .

1 ⋅

=

=

  V_f  

[ ]

f

f

mv m

V = = 0 . 0263

Calore scambiato Q 

Essendo un processo adiabatico il calore scambiato risulta essere nullo. 

=0 Q    

Variazione di energia interna e di entalpia 

Le variazioni di energia interna e di entaplia sono numericamente uguali a quelle che si stabilivano nel processo  isovolumico, questo a causa del fatto che l’energia interna e l’entalpia di un gas ideale dipendono solo dal valore  della temperatura. Temperatura iniziale e finale dei due processi coincidono 

Δ U

= mc

( ϑ

− ϑ

) = 346590 [ ] J

Δ ^H

= ^mc

( ϑ

− ϑ

) = 485330 [ ] ^J

Variazione di Entropia 

Nell’ipotesi di processo adiabatico reversibile la variazione di entropia è nulla in quanto per processi reversibili, ed  esclusivamente per essi, è lecito scrivere 

T dS ₌ δ Q

Essendo nel processo adiabatico Q=0, allora in questo caso⁶ anche dS è nullo. 

Qualora  invece  il  processo  pur  essendo  adiabatico  non  sia  reversibile  allora  non  avremmo  potuto  calcolare  la  corrispondente variazione di entropia con i soli dati assegnati, in quanto non siamo in grado di conoscere lo stato  finale del sistema. Infatti lo stato finale appena calcolato è il frutto di un processo adiabatico ed anche reversibile  l’aggiunta di questo aggettivo (reversibile) identifica il processo adiabatico con l’equazione pv^γ=cost e questo ci ha  permesso  di  individuare  lo  stato  finale.  La  non  reversibilità  del  processo  adiabatico,  non  ci  avrebbe  mai  potuto  portare nel medesimo stato del processo adiabatico reversibile.  

  Lavoro 

Il lavoro del processo adiabatico coincide con la variazione di energia interna   

∑

= ∑ +

Δ U Q L

^mc

( ϑ

− ϑ ⁱ ) = ^L = 346590 [ ] ^J

6

Esercizio n°5   

Il  sistema  pompa  di  calore,macchina  frigorifera,  viene  caratterizzato  da  due  indici  a  seconda  di  quale  sia  la  funzione utile che si vuole considerare.  

La funzione di macchina frigorifera desta interesse la quantità di calore che si riesce a rimuovere dal serbatoio a  temperatura inferiore a parità di lavoro meccanico somministrato al sistema.  

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

− =

=

=

1 1 1

F C F

C F

F F

C F mecc

F frig

Q Q Q

Q Q Q Q

Q Q L

Q

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

ω  

trattandosi di una macchina frigorifera di Carnot  

5787 . 40 6

15 . 303 15 . 263 15 . 303

15 . 263 1

1 1

1 = =

= −

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

F C

F

F C F

C

frig T T

T

T T Q

Q

&

&

ω

Mentre  nella  funzione  di  sistema  pompa  di  calore  l’interesse  è  rivolto  alla  quantità  di  calore  che  si  riesce  a  immettere nel serbatoio a temperatura superiore a parità di lavoro meccanico somministrato al sistema.  

1 5787

. 40 7

15 . 303 15 . 263 15 . 303

15 . 303 1

1 1

1 = = = +

= −

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

= _frig

F c

C

C F C

F

pdc T T

T

T T Q

Q ω

ε

&

&  

( ) [ ]

( ) [ ]

[ ]

[ ]

Q_{F frig mecc} 5657.7 23683

186 . 4

10 6 . 1 3 5787 . 6 1

5787 . 6

3 = =

⋅ ⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=ω

&  

( )[ ] (

) [ ]

[ ]

[ ]

Q_{C pdc mecc} 6517.8 27283

186 . 4

10 6 . 1 3 5787 . 7 1

5787 . 7

3 = =

⋅ ⋅

=

⋅

=

⋅

=ε

&  

L_mecc 

T1s=30+273.15

T2s=-10+273.15 QF 

QC 

  PC;/;MF 

Esercizio n° 1 parte B 

Abbiamo un locale da climatizzare per la stagione estiva, e dobbiamo quindi imporre in ambiente certe condizioni  termo  igrometriche  di  temperatura  ed’umidità  relativa  e  quindi  di  umidità  specifica.  Per  raggiungere  lo  scopo  introduciamo  una  certa  portata  massica  d’aria m&_tot = m&_rinn +m&_ric  in  possesso  di  determinate  condizioni  termo  igrometriche, tali per cui questa portata è in grado di soddisfare il carico sensibile Q&_sens ed il carico latente, Q&_lat.  Per  poter  disporre  di  una  portata  d’aria  in  queste  condizioni  ci  serviamo  di  un  impianto  di  climatizzazione,  solitamente composto da due batterie, una di raffreddamento e una di riscaldamento e anche da un saturatore  adiabatico o umidificatore, che però in questo caso non è necessario che sia presente.  

Ragioniamo sul Diagramma Psicrometrico.  

Siano “A” ed “E” rispettivamente i punti termodinamici rappresentativi delle condizioni dell’aria da raggiungere  stabilmente in ambiente e dell’aria esterna. Dal testo dell’esercizio ci viene assegnata la portata d’aria, m&  ,che _tot viene complessivamente elaborata dall’impianto ed il carico sensibile. Siamo quindi in grado di calcolare una delle  due  coordinate  termodinamiche  del  punto  di  immissione  in  ambiente  (timm,  ximm),  la  temperatura  dell’aria  di  immissione timm. Convertiamo in “[kcal/h]” i “[W]” e i “[s]” in “[h]”.  

( ) [ ]

c m t Q t

t t c m Q

p tot

sens amb

imm imm

amb p tot

sens = − → = − =19.0°

&

&

&

&

Il valore di Q&_sens lo si determina sommando alla potenza termica sensibile Q&_{sens−trasmitt} che penetra in ambiente  tramite la trasmittanza delle pareti dell’edificio, i 10kW assegnati dal testo, la potenza termica sensibile relativa 

alla presenza delle 150,  ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅

− =

h Q&_{sens pers} 150 50 kcal  ⁷ 

Adesso  ci  domandiamo:  quale  dei  punti  lungo  l’isoterma  a  19°C  corrisponde  al  punto  di  immissione?  Per  rispondere  dobbiamo  determinare  il  valore  di  x_imm.  Il  punto  “I”  di  immissione  si  potrebbe  determinare  per  via  grafica. Infatti possiamo determinare il fattore di termico d’ambiente, “R”: 

65 .

= 0

= +

lat sens

sens

Q Q

R Q

&

&

&

Il valore di Q&lat lo si determina moltiplicando la potenza termica latente generata da ogni singola persona per il  numero delle persone previste in ambiente,  ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅

= h

Q&_lat 150 50 kcal  

Adesso  utilizzando  riga  e  squadra  possiamo  determinare  la  retta  congiungente  il  “polo  del  diagramma  psicrometrico  (24°C,  50%  U.R.)”  con  il  corrispondente  valore  0.65  della  scale  degli  “R”  riportati  sulla  destra  del  diagramma  psicrometrico  a  fianco  dell’asse  delle  umidità  specifiche  “x”⁸,    Questa  congiungente  individua  una  direzione,  l’intersezione  della  retta  passante  per  il  punto  ambiente  (Tamb,  50%  di  U.R),  avente  la  medesima  direzione  della  congiungente  appena  determinata,  con  la  retta  isoterma  a  19°C  individua  il  punto  “I”  di  immissione, e quindi anche il valore di x_imm. Adesso descriviamo un metodo analitico, alternativo, per determinare  il punto di immissione.  

Calcoliamo  la  differenza  di  umidità  specifica  che  deve  avere  la  portata  d’aria  umida  di  immissione,  rispetto  all’umidità  specifica  del  punto  ambiente,  al  fine  di  soddisfare  il  carico  latente  assegnato.  Dobbiamo  allora  convertire  le  kcal/h  del  carico  latente  in  equivalenti  grammi  di  vapore  prodotti  all’interno  dell’ambiente  nel  tempo. Assumendo essere pari a 600kcal/kg il valore “r” del calore di evaporazione o di condensazione, allora, in  base al calore latente, in ambiente dalle persone, abbiamo un quantitativo orario di grammi di vapore prodotti in  ambiente pari a  

( )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⋅

°

=

−

− h

g h

kg

kg r kcal

pers h Q kcal

pers n

m ^{vap vap}

pers lat amb

vap 14.535 14535

600

& 50

&  

7 Si ricordi che ciascuna persona seduta durante un’attività intellettuale, quale quella che può essere prevista in un aula  universitaria, è mediamente sorgente di 50kcal/h di potenza termica sensibile e altrettante di potenza termica latente.  

8 In altri tipi di diagrammi è presente in alto a sinistra una semicirconferenza lungo la quale vengono riportati in scala i valori  del fattore termico d’ambiente. La retta che unisce il centro della semicirconferenza con il valore di “R” calcolato, stabilisce la  direzione di quella retta che, spiccata dal punto “A” ambiente, va ad intersecare la retta isoterma t=timm nel punto di 

Significa che ogni ora vengono prodotti in ambiente 14535 grammi di vapor d’acqua. L’aria che devo immettere  ogni  ora  in  ambiente,  m& ,  deve  possedere  un  quantitativo  di  vapore, _tot m&vap₋imm,⁹  tale  per  cui  quando  si  aggiungono i 14535 grammi generati in quell’ora in ambiente, allora accade che ogni singolo kg di quell’m&  ha _tot un contenuto di vapore, cioè, umidità specifica “x”, pari a quello desiderato in ambiente, cioè x_amb.  

Dal  diagramma  psicrometrico  leggiamo  che  nel  punto  ambiente  ogni  kg  di  aria  secca  possiede  10.5  grammi  di  vapore.  

Però in ambiente ogni ora vengono prodotti 14535 grammi di vapore. Se non facessimo niente è evidente che,  ogni ora che passa, x_amb, aumenterebbe. Allora si deve immettere aria che abbia un valore di x<di x_amb,in modo  tale che, quando entra in ambiente e si incontra con i nuovi grammi di vapore generati, si porta ad un x pari a 10.5  grammi  di  vapore  per  kg  di  aria  secca.  Siccome  vengono  prodotti  14535  grammi/h,  ogni  kg  di  aria  secca  che  immettiamo, di quanti grammi di vapore deve farsi carico? Basta eseguire il rapporto tra i 14535 g_v/h e la m&  che tot

stiamo introducendo.  

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

−

s a v s

a v tot

imm vap

kg g kg

g m

m

. .

51 . 9600 1

14535

&

&

Questi 1.51 grammi di vapore per kg di aria secca cosa rappresentano? Sono i grammi di vapore  xΔ  che ciascun  kg di aria secca di immissione può assumere in modo tale che si porti a 10.51 gv /kga.s..  

Quindi la portata d’aria deve essere immessa con un umidità specifica x di immissione, ximm, pari a    

( )

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡

= Δ

−

=

. . .

.

99 . 8 51

. 1 5 . 10

s a

v s

a v amb

imm kg

g kg

x g x

x  

Con il valore di x_imm appena determinato e il valore di T_imm siamo in grado di individuare graficamente il punto “I” 

di immissione sul diagramma Psicrometrico.  

Adesso  dobbiamo  individuare  il  punto  “M”  di  miscela,  ovvero  lo  stato  termodinamico  a  cui  si  porta  la  portata  d’aria m& , a seguito della miscelazione della portata d’aria di rinnovo _tot m&rinn con la portata d’aria di ricircolo m& . _ric La portata d’aria di rinnovo è il 30% di quella di ricircolo, pertanto 

 ^m&rinn = 0.3⋅^m&tot = 2880

[ ]

[ ]

Il  punto  di  miscela  “M”  in  cui  si  trova  m&   lo  si  determina  sapendo  che  l’esito  di  una  trasformazione  di _tot mescolamento di due portate d’aria umida è uno stato termodinamico “M” che giace sul segmento congiungente  i  due  stati  termodinamici  delle  portate  massiche  iniziali,  nel  nostro  caso  l’ambiente  “A”  e  l’esterno  “E”  e  sulla  isoterma di equazione  

[ ]

m m

T m T T m

rinn ric

E rinn A

ric

M = °

+

⋅ +

= ⋅ 27.8

&

&

&

&

Dove T_A e T_E sono rispettivamente le temperature dell’aria di ricircolo e dell’aria di rinnovo.  

Il punto termodinamico di miscela “M” si trova sul diagramma psicrometrico in corrispondenza dell’intersezione  del segmento di estremi il punto “A” e il punto “E” con la retta isoterma di equazione T=27.8°C.  

9 Si rifletta sul fatto che questa quantità di vapore, m&vap_{_}imm, è data da m&vap₋imm = ximm ⋅m&tot 

Una volta determinato il punto di miscela, si tratta di stabilire come a partire dallo stato “M” si giunge allo stato di  immissione “I”. Qual è il processo termodinamico che ci permette di portare ogni singolo kg di m&  dallo stato _tot

“M” allo stato “I”, riducendo così la sua temperatura e l’umidità specifica? 

Dallo  stato  “M”  eseguiamo  un  raffreddamento  sensibile  fino  a  giungere  a  saturazione  nel  punto  “S”;  poi,  mediante  un  raffreddamento  con  deumidificazione,  si  percorre  la  curva  di  saturazione  a  U.R.=100%  fino  a  raggiungere il punto “T” avente un titolo “x” pari a 8.99[gv/kga.s.]. Siccome il punto “T” non è ancora il punto di  immissione che in realtà dobbiamo raggiungere, allora a partire da “T” eseguiamo un post riscaldamento sensibile  che dallo stato “T” conduce ogni kg di m&  allo stato “I”.  _tot

Potenzialità delle batterie di raffreddamento e di riscaldamento dell’impianto 

L’entalpia che occorre sottrarre a ciascun kg di aria che si trovi nel punto”M” di miscela al fine di farlo giungere al  punto “T” di saturazione è pari h_M – h_T pertanto la potenza termica di raffreddamento necessaria al processo da 

“M” a “T” per tutta la massa m&  è data da: _tot  

( ) [ ]

h h kcal

h m

Pot_{batt fredda tot M T} 9600 6.9 66240 ⎥⎦⎤ =76.84

⎢⎣⎡

=

⋅

=

−

= & ⋅  

L’entalpia che occorre fornire a ciascun kg di aria che si trovi nel punto”T” al fine di farlo giungere al punto “I” di  immissione è pari hI – hT pertanto la potenza termica di post‐riscaldamento necessaria al processo da “T” a “I” per  tutta la massa m&  è data da: _tot

( ) [ ]

h h kcal

h m

Pot_{battriscald tot I T} 9600 1.8 17280 = 20.04

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

⋅

=

−

= & ⋅  

Portata d’acqua condensata nella batteria fredda. 

La quantità oraria di vapore che condensa nella batteria fredda la si determina moltiplicando la portata di massa  totale m&  per la differenza di umidità specifica che sussiste tra il punto di miscela “M” e il punto “T”. tot

(

)

= Δ

⋅

= ₋

h kg kg

a g x da

m

m_{H O tot M T} 48.13 ^H2O

1000

01 . 6 9600

2 &

&