Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Tema d’Esame dell’8 giugno 2016
Esercizio 1
𝑀 = 2 𝑘𝑔; 𝐿 = 1 𝑚; 𝑣0 = 0; 𝜃 = 60°; 𝑚 = 1 𝑘𝑔;
i. 𝜔0 = ?;
L’asta viene inizialmente scostata di un angolo 𝜃 = 60° e rilasciata con velocità iniziale nulla. Per determinare la velocità angolare iniziale d’impatto, è sufficiente avvalersi dei principi di conservazione dell’energia: l’energia potenziale iniziale, dovuta alla posizione rispetto a cui si trova il centro di massa dell’asta, viene interamente convertita in energia cinetica nell’istante appena prima dell’urto.
𝑀𝑔𝐿
2(1 − cos 𝜃) =1 2𝐼𝑂𝜔02
𝐼𝑂 rappresenta il momento d’inerzia dell’asta rispetto al polo 𝑂, che, per il teorema di Huygens-Steiner, è pari a
𝐼0 = 1
12𝑀𝐿2+ 𝑀 (𝐿 2)
2
=1 3𝑀𝐿2 Quindi si ha che
𝑀𝑔𝐿(1 − cos 𝜃) = 1
3𝑀𝐿2𝜔02 ⟹ 𝑔(1 − cos 𝜃) = 1 3𝐿𝜔02 da cui
𝜔0 = √3𝑔(1 − cos 𝜃)
𝐿 ≈ 3,83 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ii. 𝑣𝑓 = ?;
Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
L’esercizio tratta un urto di tipo elastico (conservazione dell’energia cinetica) tra una massa puntiforme 𝑚 e un corpo rigido di massa 𝑀 vincolato a ruotare attorno al polo 𝑂. Di conseguenza non è lecito applicare la conservazione della quantità di moto, ma è possibile avvalersi del principio di conservazione del momento angolare rispetto al polo 𝑂, che è conseguenza diretta della seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi. Infatti, se il momento delle forze esterne rispetto al polo 𝑂 nell’arco dell’urto è nullo, allora la variazione del momento angolare rispetto ad 𝑂 è nullo.
𝑀𝑂𝑒 = 𝑑𝐿𝑂
𝑑𝑡 = 0 ⟹ 𝐿𝑂 = 𝑐𝑜𝑠𝑡
Applicando questi due principi di conservazione (dell’energia cinetica e del momento angolare), giungiamo al seguente sistema di equazioni:
{ 1
2𝐼𝑂𝜔02 =1
2𝑚𝑣𝑓2+1 2𝐼𝑂𝜔𝑓2
𝐼𝑂𝜔0 = 𝑚𝑣𝑓𝐿 + 𝐼𝑂𝜔𝑓 ⟹ {𝐼𝑂(𝜔02− 𝜔𝑓2) = 𝑚𝑣𝑓2 𝐼𝑂(𝜔0− 𝜔𝑓) = 𝑚𝑣𝑓𝐿 Dividendo la prima equazione per la seconda si ottiene la condizione
𝜔0+ 𝜔𝑓 = 𝑣𝑓
𝐿 ⟹ 𝑣𝑓 = 𝐿(𝜔0 + 𝜔𝑓) da mettere a sistema con
𝐼𝑂(𝜔0 − 𝜔𝑓) = 𝑚𝑣𝑓𝐿 {𝑣𝑓 = 𝐿(𝜔0+ 𝜔𝑓)
𝐼𝑂(𝜔0− 𝜔𝑓) = 𝑚𝑣𝑓𝐿 ⟹ 𝐼𝑂(𝜔0− 𝜔𝑓) = 𝑚𝐿2(𝜔0+ 𝜔𝑓) 𝜔0(𝐼𝑂 − 𝑚𝐿2) = 𝜔𝑓(𝐼𝑂 + 𝑚𝐿2)
𝜔𝑓 = 𝐼𝑂 − 𝑚𝐿2
𝐼𝑂 + 𝑚𝐿2𝜔0 =
13 𝑀𝐿2− 𝑚𝐿2
13 𝑀𝐿2+ 𝑚𝐿2𝜔0 =
23 𝑚𝐿2− 𝑚𝐿2
23 𝑚𝐿2+ 𝑚𝐿2𝜔0 = −1 3
3
5𝜔0 = −1 5𝜔0
≈ −0,77 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Per quanto riguarda 𝑣𝑓 avremo
𝑣𝑓 = 𝐿(𝜔0+ 𝜔𝑓) = 𝐿 (𝜔0−1
5𝜔0) = 4
5𝜔0𝐿 ≈ 3,07 𝑚/𝑠 iii. 𝑣𝑓𝐶𝑀 = ?;
Fisica Generale I Gianluca Ferrari Dinamica del corpo rigido
Dobbiamo infine determinare la velocità finale della massa puntiforme nel sistema di riferimento del centro di massa subito dopo l’urto. Quest’ultimo sarà collocato nel centro dell’asta, ossia a distanza 𝐿/2 dal vincolo 𝑂 e avrà una velocità lineare
𝑣𝐶𝑀 = 𝜔𝑓𝐿
2= − 1
10𝜔0𝐿 rispetto ad un osservatore solidale con il suolo.
Si tratta semplicemente di applicare la legge delle velocità nel caso di moti relativi, considerando per l’appunto il moto relativo del blocco rispetto all’asta.
Per la legge di composizione delle velocità si avrà 𝑣𝑓
⃗⃗⃗⃗ = 𝑣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣𝑓𝐶𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝜔𝐶𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ × 𝑟𝑓 ⃗⃗⃗ ′ 𝑣𝑓 = 𝑣𝑓𝐶𝑀 + 𝑣𝐶𝑀 + 𝜔𝑓𝐿
2 da cui
𝑣𝑓𝐶𝑀 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝐶𝑀 − 𝜔𝑓𝐿 2 =4
5𝜔0𝐿 − (− 1
10𝜔0𝐿) − (−1
5𝜔0)𝐿 2
= 4
5𝜔0𝐿 + 1
10𝜔0𝐿 + 1
10𝜔0𝐿 = 𝜔0𝐿 ≈ 3,83 𝑚/𝑠
