Conversione analogico-digitale
Vantaggi dell'elaborazione digitale:
-Minore sensibilità ai disturbi- bassa incertezza con costi relativamente contenuti-
-Maggiore versatilità-compatibilità intrinseca con i sistemi di calcolo
-Elaborazione più semplice e meno costosa
La conversione analogico-digitale richiede tre operazioni:
-campionamento: produce una discretizzazione nel tempo -quantizzazione: produce una discretizzazione in ampiezza
-codifica:rappresenta il campione quantizzato con un numero N di cifre
Campionamento-asse delle ascisse
L'intervallo che separa due istanti di campionamento si definisce periodo o tempo di campionamento (tc) e il suo reciproco prende il nome di frequenza
di campionamento (fc)
Il campionamento di un segnale analogico V(t) equivale alla conversione del segnale in una sequenza di dati digitali (ti,Vi).
Pertanto in un segnale campionato sia la grandezza V sia il tempo t sono espressi in forma discreta.
La regola fondamentale per poter ricostruire correttamente un segnale è che fc ≥ fc ≥ 2 fmax2 fmax
Dove fmax è il massimo contenuto armonico del segnale
Se questa regola non viene rispettata si incorre nel fenomeno dell'ALIASINGALIASING Se un segnale campionato è affetto da aliasing non è più possibile
ricostruire correttamente il segnale originale. L'aliasing non è correggibile a L'aliasing non è correggibile a posteriori.
posteriori.
Poiché nessun segnale reale è a banda limitata (fmax noto) si ricorre all'utilizzo di filtri anti aliasing prima del circuito campionatore
Si rende così il segnale limitato in banda
Filtro Bessel 2° ordine-Filtro anti alising
A 20000 Hz attenua 3dB
La pendenza si è funzione dell'ordine del filtro :-20*n dB/decade Dove n è l'ordine del filtro.
Nel dominio della frequenza, l'aliasing genera frequenze inesistenti spostando le armonica dalle alte alle basse frequenze.
Quantizzazione
Il segnale analogico viene convertito in una serie di stati discreti che vengono rappresentati da un codice digitale opportuno (sequenza di 1 e 0) In funzione del numero di bit del convertitore A/D di possono risolvere un numero diverso di stati. N bit→2N stati diversi
La risoluzione (ossia la più piccola variazione del segnale di ingresso che il convertitore è in grado di “sentire”) è pari a :
range/2N (LSB)
Quindi la minima incertezza è ±(LSB)/2
Se il segnale è piccolo rispetto al fondo scala del convertitore questo errore è percentualmente più rilevante.
La soluzione è amplificare il segnale per portarlo il più vicino possibile al fondo scala del convertitore
Analisi dei segnali nel dominio del tempo
L'analisi di un segnale, espresso nel dominio del tempo, è condotta effettuando il calcolo di una serie di parametri di sintesi, che consentono la quantificazione di un livello, da confrontarsi anche con eventuali livelli di riferimento normati.
Per esempio:
Picco-picco (peak-to-peak): indica l'escursione massima del segnale
Picco (peak): indica l'escursione massima positiva o negativa del segnale misurato
RMS (root mean square): è la misura più significativa che restituisce una valutazione in ampiezza direttamente correlata al contenuto energetico del segnale
In caso di segnale sinusoidale:
Valore medio (Average):
Valore efficace-Valore equivalente all'energia
Con esplicito riferimento all'accelerazione, la durata T della misura viene suddivisa in intervalli Ti per ciascuno dei quali viene calcolato il corrispondente valore RMS (aRMS). La base di misura per calcolo del valore RMS in media mobile è solitamente 1s. E' quindi possibile plottare il valore RMS nel tempo e verificarne un'eventuale corrispondenza con picchi locali di ampiezza. Si definisce aeq l'accelerazione equivalente all'energia della vibrazione e si ottiene come media lineare del valore efficace calcolata in un intervallo di tempo T:
Fattore di cresta: rapporto tra il valore di picco ed il valore RMS oppure tra il valore di picco ed il valore aeq. Fattori di cresta rilevanti si trovano negli URTI.
Analisi dei segnali nel dominio della frequenza
FOURIER
FOURIER: ogni forma d'onda può essere generata dalla sommatoria di onde sinusoidali (con opportune ampiezze, frequenze e fasi).
Lo strumento matematico che permette il passaggio è la Trasformata di Fourier.
Il passaggio dell'analisi del segnale dal dominio del tempo a quello della frequenza, non toglie e non aggiunge informazioni, ma è solo un modo diverso di rappresentazione.
La rappresentazione di un segnale nel
dominio della frequenza è detta SPETTRO
Secondo il teorema di Fourier, una funzione periodica g(t) è sviluppabile in una serie costituita da un termine costante a0 e da una somma di infinite sinusoidi.
L'applicazione dello sviluppo in serie di Fourier (come illustrato sopra) è limitata a funzioni CONTINUE PERIODICHE. Se una funzione è APERIODICA (TRANSIENTE) si può pensare di periodo infinito quindi la distanza tra le righe dello spettro tende a zero e lo spettro diventa continuo. La serie prende il nome di Trasformata di Fourier.
Segnali continui, periodici e infiniti generano spettri discreti.
Segnali transienti generano spettri continui.
Ampiezza=1/2π
Poiché nell'analisi dei segnali provenienti da una MISURA si effettua il passaggio nel dominio della frequenza a partire da un segnale campionato e NON CONTINUO, la rappresentazione in frequenza non sarà esatta, ma sarà tanto più accurata e vicina ad una condizione ideale quanto il periodo di campionamento sarà lungo.
Per elaborare segnali campionati (discreti) si utilizza un algoritmo chiamato DFT (Trasformata di Fourier discreta)DFT
Più utilizzato, perché più rapido, è l'algoritmo definito FFT (Fast Fourier FFT
Trasform) basato su un metodo efficiente per il calcolo della DFT, che richiede, però, un numero di punti campionati N pari ad una potenza di 2
Quante righe spettrali si ottengono da un segnale lungo N campioni?
La FFT restituisce uno spettro utile di N/2 righe equi spaziate. La RISOLUZIONE RISOLUZIONE SPETTRALE
SPETTRALE è pari a 1/T, dove T è il periodo campionato (nelle figure indicato come TR, Time Record)
Se il segnale campionato non è stato limitato in banda e non è rispettata la regola per cui fc ≥ 2fmax, sicuramente nello spettro saranno presenti
frequenze prodotte dall'aliasing.
Il risultato di una FFT applicata ad un array di N valori campionati REALI è un array di N valori COMPLESSI di cui si considerano i primi N/2 punti. Un numero complesso può essere
rappresentato in termini di MODULO E FASE o in termini di PARTE REALE e PARTE IMMAGINARIA.
Leakage-Finestratura
L'algoritmo di FFT agisce su una storia temporale di lunghezza finita (N punti) per calcolare la trasformata di Fourier.
Visto che il risultato della FFT è un segnale periodico per definizione (periodo Ts) i record sono replicati sull'asse temporale.
Campionando un numero intero di periodi lo spettro di una singola sinusoide contiene una sola riga in corrispondenza delle frequenza corretta del segnale.
Se invece il periodo campionato T non contiene un numero intero di periodi (Ts) del segnale, il passaggio al dominio della frequenza avviene in modo errato. L'errore che si commette è detto leakage.
Campionando un numero non intero di periodi, lo spettro presenta più righe, ossia l'informazione si ripartisce su una banda di frequenze anziché su una sola riga e si ha una SOTTOSTIMASOTTOSTIMA dell'ampiezza della componente armonica.
Ciò significa che il segnale originale e quello proveniente dalla ricostruzione di Fourier NON COINCIDONO.NON COINCIDONO
L'errore di leakage produce una distribuzione delle righe dello spettro ove nascono componenti non dovute al segnale effettivo, ma al processo di campionamento del segnale L'energia che originariamente appartiene ad un'unica frequenza viene ripartita su più frequenze (righe) dello spettro.
Ciò è dovuto al fatto che la riga corrispondente alla frequenza del segnale non trova alcuna corrispondenza con le frequenze discrete messe a disposizione dalla FFT.
Quindi se Ts=T, la risoluzione in frequenza è pari a 1/T e le frequenze discrete sono multiple della frequenza corretta del segnale.
Altrimenti se T non è multiplo intero di Ts non ci sono righe dello spettro alla frequenza del segnale.
Per risolvere il problema si potrebbe pensare di aumentare il tempo di campionamento T per tentare di aumentare la risoluzione spettrale. Si ottiene un restringimento della banda spettrale su cui si “spalma” l'armonica corretta ma non si riesce a recuperare l'errore in ampiezza.
Non si recupera l'errore in ampiezza.
Per annullare il leakage bisognerebbe campionare il segnale in modo “sincrono”, cosa che non è fattibile in quanto di solito non si conosce la frequenza del segnale a priori. Quindi, il leakage non può essere eliminato ma solamente ridotto. Per fare ciò si utilizzano delle FINESTRE TEMPORALI FINESTRE TEMPORALI che moltiplicano il frame acquisito.
Esistono finestre che annullano gli effetti di bordo, azzerando il segnale agli
estremi ed obbligandolo quindi ad avere lo stesso valore all'inizio e alla fine della finestra temporale. La finestra più comune è quella di HanningHanning.
Il segnale viene
modificato- Viene in ogni caso modificato il contenuto energetico del segnale
