Carlo Pagani

Lezione n. 3 ^{(2 ore)}

Carlo Pagani

Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: [email protected]

Università degli Studi di Milano

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca Colò

Dipartimento di Fisica – sede Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: [email protected]

Meccanica

La Meccanica è la branca della Fisica che studia il moto dei corpi in sè

(Cinematica), il moto in relazione alle forze che lo fanno variare (Dinamica), e le condizioni di equilibrio delle forze che mantengono un corpo in quiete (Statica)

– La Cinematica descrive il moto dei corpi senza fare riferimento esplicito alle forze che agiscono su di essi

– La Dinamica è lo studio della relazione esplicita tra le forze ed il loro effetto sul moto

– La Statica studia le condizioni che mantengono un corpo in quiete

Per descrivere un moto è necessario specificare la posizione del corpo in ogni istante. E’ quindi necessario definire un sistema di coordinate (vedi lezione precedente…)

Origine delle Coordinate (posizione dell’osservatore)

O ^Oggetto

Origine delle Coordinate (posizione dell’osservatore)

O

Oggetto

x_og

x_og

x

x

x_og> 0

x_og< 0

Cinematica

Per descrivere il moto di un corpo è necessario fornire, in ogni istante di tempo, la sua posizione, la sua velocità e la sua accelerazione

Per poterlo fare è necessario fissare un sistema di coordinate e un istante di tempo, t

₀

, da cui facciamo partire la nostra descrizione del moto

Il punto P(x,y,z) si muoverà in funzione del tempo t e sarà quindi più propriamente descritto dalla notazione P(x(t),y(t),z(t))

Così come le coordinate, (x(t), y(t), z(t)), sono misurate rispetto all’origine del sistema di coordinate scelto, anche il tempo t sarà misurato a partire da t

₀

La velocità e l’accelerazione sono grandezze vettoriali poiché è

necessario conoscerne, oltre al valore, anche la direzione ed il verso I vettori velocità, v , e accelerazione, a , sono applicati nel punto P

Sappiamo inoltre che anche alla posizione del punto possiamo dare

una descrizione vettoriale: r = (r

_x

i , r

_y

j , r

_z

k) = (x i , yj , zk)

Moto di un punto in un piano e traiettoria

i = 0, 1, 2, 3, ….

P = P (x , y , z ) r = r (x i , y j , z k)

x = x (t ) y = y (t ) z = z (t )

P

_i

= P (x

_i

, y

_i

, z

_i

) r

_i

= r (x

_i

i, y

_i

j , z

_i

k)

x_i = x (t_i ) y_i= y (t_i ) z_i= z (t_i )

v = v (t ) = v ( P(t) )

v

_i

= v ( P(t

_i

) )

a = a (t ) = a ( P(t) )

a

_i

= a ( P(t

_i

) )

Traiettoria

a

₀

P

₀

y

x P

₃

P

₂

P

₁

r

₀

r

₁

r

₂

r

₃

v

₁

v

₂

v

₃

v

₀

a

₁

a

₃

a

₂

0

Nota: la direzione di v è sempre tangente alla traiettoria !

Spostamento di un punto e velocità media

Come è naturale fare, si definisce spostamento s di un punto P dalla posizione P

₁

alla posizione P

₂

(più propriamente s

₁₂

) il vettore che congiunge r

₁

a r

₂

, con verso da r

₁

a r

₂

Si vede subito che tra i vettori

r

₁

, r

₂

e s valgono le relazioni:

r

₁

+ s

₁₂

= r

₂

s

₁₂

= r

₂

– r

₁

s

_{12 ≡}

r

₂

– r

₁

La velocità è definita come lo spostamento eseguito nell’unità

di tempo

La velocità media da P

₁

a P

₂

è:

<

v

> = (

r

₂

– r

₁

) / ( t

₂

- t

₁

) = s

₁₂

/ ∆ t ed ha la direzione e il verso di s

₁₂

La velocità istantanea nel punto P

₁

, all’istante t

₁

, si ottiene come caso limite quando lo spostamento tra i punti P

₁

e P

₂

tende a zero

y

x P

₂

P

₁

r

₁

r

₂

0

s

₁₂

Velocità istantanea

La velocità istantanea di un oggetto, rappresentato dal punto

P (x (t)

,

y (t)

,

z (t) ), all’istante generico t, è la velocità che il punto ha esattamente all’istante t. Cioè è la velocità media tra due punti infinitamente vicini, o tra due istanti di tempo infinitamente prossimi

Se chiamiamo

s

₁₂ lo spostamento tra i punti

P

₁ e

P

₂ si ha:

Nota: per P₂ che tende a P₁ e

s

₁₂ che tende a ds, la direzione di ds tende esattamente alla tangente alla traiettoria nel punto P₁

ds

ds ds ds ds ds

Spostamento infinitesimo e traiettoria

A mano a mano che si considerano due posizioni sempre più vicine nel tempo il vettore spostamento diventa sempre più simile ad un segmento della traiettoria Portando questo ragionamento al limite è possibile definire il vettore

spostamento infinitesimo

ds

che descrive lo spostamento tra due posizioni infinitamente vicine

Il vettore spostamento infinitesimo è quindi un segmentino della traiettoria, che giace sulla tangente alla traiettoria in

P

La traiettoria, che è il percorso del corpo nel piano (2-D) o nello spazio (3-D), risulta essere la somma di tutti i vettori spostamento infinitesimo

ds

,

percorsi in intervalli di tempo infinitesimi

Se invece i punti

P

₁ ( P₁= P) e

P

₂ non sono infinitamente vicini, lo spostamento

∆ s = s

₁₂

= ( r

₂

- r

₁

)

non giace sulla traiettoria, e non è quindi tangente ad essa

ds

ds ds ds ds ds

Velocità come derivata dello spostamento

La velocità (istantanea) nel punto generico

P

, all’istante

t

, è il rapporto finito tra due infinitesimi,

ds

e

dt,

detto derivata di

s(t)

rispetto a

t

Il rapporto incrementale è proprio la velocità media e in quest’esempio si può visualizzare il limite di tale rapporto, che dà la velocità istantanea

Significato geometrico della derivata: coeff. angolare della retta tangente

x

t dx

dt θ

θ

Legge (equazione) oraria

Il disegno appena visto è un esempio NON di traiettoria ma di legge oraria ! Nella traiettoria, t è un parametro e si mostra il moto nello spazio reale

La legge oraria è l’equazione che descrive la posizione del punto

P

in funzione del tempo

Nel Sistema cartesiano … … o polare:

P = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , θ (t) , φ (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , θ (t) , φ (t) )

sono esempi di leggi orarie

Ogni moto ha una specifica legge oraria esplicita che lo descrive Esempi monodimensionali:

x(t) = A t

²

+C, x(t) = A cos ( ω t+ α ), x(t) = A t + C

Nota: A, C, α e

ω

sono costanti che dipendono sia dai dati del problema, sia dalla posizione e dalla velocità del punto all’istante t = 0

Moto Rettilineo (monodimensionale)

I moti rettilinei sono moti monodimensionali esprimibili nella forma

P(t)=x(t) (

^ovvero

P(t)= y(t),

^ovvero

P(t)= z(t))

Partendo dalla posizione all’istante t=0, il moto può essere rappresentato graficamente sugli assi cartesiani t [s] e x [m]

Ad ogni istante di tempo t (rappresentato

normalmente sull’asse orizzontale) si associa il valore della posizione del corpo

(rappresentandolo sull’asse verticale) Collegando tra loro i punti in cui abbiamo

effettuato la misurazione, si ottiene l’espressione grafica della legge oraria del moto a partire

dall’istante t=0.

A lato c’è la rappresentazione grafica (diagramma orario) di un armadillo:

– fermo nella posizione x = -2m (figura in alto) – che si muove a partire dalla posizione x = -5m

(figura in basso)

Armadillo fermo: diagramma orario

Armadillo in moto: diagramma orario

Velocità in un moto rettilineo

La velocità è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il verso

Ne caso monodimensionale, tuttavia, la velocità (che ha la direzione e il verso dello spostamento) giace sempre sull’asse x

In questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitare Il verso della velocità, espressa dal segno + o -, indica se il punto si muove rispettivamente verso le x positive o negative

Anche della velocità si può tracciare il diagramma orario: v = v (t)

Esempio dell’ascensore:

Nell’esempio si nota che:

• dopo la chiusura delle porte, l’ascensore comincia a salire (grafico sopra) e la velocità aumenta

• Arrivata ad una valore massimo, la velocità rimane costante

• All’avvicinarsi del piano la velocità comincia decrescere fino ad annullarsi

t v s

∆

= ∆

〉

〈 dt

v ds vist = =

dt t t ds

v vist t

) ) (

( )

( = =

Accelerazione in un moto rettilineo

Laccelerazione è la variazione della velocità nell’unità di tempo

L’accelerazione è una grandezza vettoriale: oltre al suo valore (medio o istantaneo) si deve conoscerne la direzione e il verso

Ne caso monodimensionale (moto rettilineo) l’accelerazione ha la direzione della velocità e dello spostamento e giace quindi sempre sull’asse x.

In questo caso la notazione vettoriale è ridondante e si può evitare

Il verso dell’accelerazione, espressa dal segno + o -, indica se nel punto la velocità cresce (+) o decresce (-)

Anche dell’accelerazione si può tracciare il diagramma orario: a = a (t)

Esempio dell’ascensore:

Nell’esempio si nota che

• Nel tratto in cui la velocità aumenta, l’accelerazione è diversa da zero e positiva

• Quando la velocità rimane costante l’accelerazione è nulla

• Nel tratto in cui la velocità diminuisce, l’accelerazione è diversa da zero e negativa

) ( )

) ( ( ) (

₂

2

dt x d dt

t dx dt

d dt

t t dv

a t

t a

a v _ist = = = =

∆

= ∆

Formule riepilogative

Spostamento da

P

₁ a

P

₂

P

₁

= P

Velocità media tra

P

₁ a

P

₂

Velocità in P

₁

= P

Spostamento da P

₁ a

P

₂

Accelerazione

media tra

P

₁ a

P

₂

Accelerazione in P

₁

= P

Velocità da P

₁ a

P

₂

Moto rettilineo uniforme

L’accelerazione è nulla. Questa è la definizione !

La velocità è costante. E’ uguale al valore all’istante iniziale t=0 (ovvero v₀):

Lo spostamento è dato da una semplice formula, in cui s₀ è lo spostamento a t=0:

E’ un caso particolare delle formule precedenti. Disegnare le leggi orarie !

Moto uniformemente accelerato: leggi orarie

L’accelerazione è costante

Velocità:

Spostamento:

Esempio numerico

Una Ferrari arriva da ferma alla velocità di 100 km/ora in 3 secondi.

Supponendo che l’accelerazione sia costante, determinare:

– Il valore dell’accelerazione

– La velocità raggiunta dopo 2 secondi

Svolgimento:

– Se

a = cost = < a > = a

_o si ha:

– Sappiamo che

v

(3 s) = 100 km/ora = 10⁵ [m] /3600 [s] = 27.8 m/s – Quindi

a

_o = cost =

v

(3s)[ms^-1] / 3[s] = 27.8/3 = 9.27 [ms^-2]

– La velocità dopo 2 secondi è:

v(2s) = a_o t = cost t = 9.27[ms^-2] 2[s] = 18.5 [m/s] = 18.5(3600/10³) [km/ora] →

v(2s)
68 km/ora

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

¹

[ ] [

²

] [

²

]

2

2 1

2 1

2 1

2

) ) (

) ( ( : verifica

) ) (

) ( (

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

⋅

=

=

⋅

=

→

∆ =

= ∆

〉

〈

=

=

ms a t ms s a

dt d s

dt ms t ms dv

t a

t ms a ms

t v ms

s a t ms ms v

s a dt

ms t ms dv

t a

o o

o o

a

_o

= 9.27 [ms

^-2

]

v (2s) = 18.5 [ms

^-1

] = 68 [km/h]

Moto circolare uniforme - 1

Il moto circolare è un modo in due dimensioni che, se trattato in coordinate polari, appare come un moto in una dimensione, θ = θ( t ) ,

poiché l’altra coordinata, r, è costante. E’ detto uniforme se la frequenza angolare d θ (t)/dt = ω (t) = ω

₀

= costante. ω

₀

è detta pulsazione

θ = θ(t) = ω_o t r = r(t) = r_o

In coordinate cartesiane si ha invece:

x = x(t) = r_o cos(ω_o t) y = y(t) = r_o sin(ω_o t) Definizioni:

θ(t) = spostamento angolare

ω(t) = dθ(t)/dt = ω_o = velocità angolare

ω’(t) = dω(t)/dt = 0 accelerazione angolare

Ma anche, rispetto alla coordinata curvilinea

s

v(t) = ds/dt = r_o dθ/dt = r_o ω_o = velocità tangenziale a(t) = d²s/dt² = r_o d²θ/dt² = 0 = acc. tangenziale

E rispetto alle coordinate cartesiane x(t) e y(t)

v_x(t) = dx(t)/dt = r_o d(cos(ω_ot)/dt = - r_o ω_osin(ω₀ t) a_x(t) = dv_x(t)/dt = - r_o ω_o² cos(ω₀ t) v_y(t) = dy(t)/dt = r_o d(sin(ω_ot)/dt = r_o ω_ocos(ω_ot) a_y(t) = dv_y(t)/dt = - r_o ω_o² sin(ω₀ t)

x y

r

θ

P(t) v(t)

a_c(t) s

accelerazione centripeta

Nota: l’accelerazione a = a = a i + a j è diretta verso il centro ed è detta centripeta

Alcune considerazioni sul moto circolare uniforme

Se lo esprimiamo in coordinate polari (o con la coordinata curvilinea s ) otteniamo una legge del moto, ma in termini scalari e ci manca

l’informazione vettoriale

θ(t) = ω_o t r(t) = r_o v(t) = r_o ω_o

a_t(t) = 0 (accelerazione tangenziale)

Se lo esprimiamo in coordinate cartesiane l’informazione è completa e scopriamo che l’accelerazione c’è, ma è ortogonale a v

r(t) = x(t) i + y(t) j = r_o cos(ω_ot) i + r_o sin(ω_ot) j |r(t)| = x² + y² = r₀ v(t) = v_x(t) i + v_y(t) j = - r_o ω_osin(ω_ot) i + r_o ω_ocos(ω_ot) j |v(t)| = v_x² + v_y² = r_oω_o a(t) = a_x(t) i + a_y(t) j = - r_o ω²_o cos(ω_ot) i - r_o ω²_o sin(ω_ot) j |a(t)| = a_x² + a_y² = r_oω²_o

|r(t)| = r_o = cost

|v(t)| = r_o ω_o = cost e anche

|a(t)| = |a_c(t)| = r_o ω²_o = cost

Moto circolare uniforme - 2

x y

r

θ P(t) v(t)

a_c(t) s

v(t) r(t) v(t) a(t) r(t)

Definizioni importanti ω_o = pulsazione ν =ω_o/2π = frequenza

T = 1/ν = periodo

Riepilogo della Cinematica

Con la cinematica descriviamo il moto dei corpi attraverso una equazione del moto, detta anche legge, o equazione, oraria

Cartesiano Polare

P = P (x(t) , y(t) , z(t) ) P = P (r(t) , θ (t) , φ (t) ) r = r (x(t) , y(t) , z(t) ) r = r (|r(t)| , θ (t) , φ (t) )

Nota la legge oraria, la matematica ci permette di ricavare la traiettoria del moto e le altre grandezze caratteristiche: velocità e accelerazione

– L’equazione che descrive la traiettoria si ricava, se possibile, dalla legge oraria eliminando, per sostituzione, la variabile t

– La velocità, istantanea, in ogni punto P(t) = r (x(t), y(t), z(t)) = r (t) è data dalla derivata della legge oraria nel punto stesso: v = d/dt r(t) [m s^-1]

– L’accelerazione, istantanea, in ogni punto P(t) = r (x(t), y(t), z(t)) = r (t) è data dalla derivata della velocità nel punto stesso: a = d/dt v(t) = d²/dt² r(t) [m s^-2]

Analogamente, attraverso l’integrazione, che è l’operazione inversa della derivazione, note la velocità o l’accelerazione, in funzione del tempo possiamo ricavare la legge oraria, e quindi la traiettoria:

r(t) = ∫ v(t) dt v(t) = ∫ a(t) dt r(t) = ∬ a(t) dt

Nota:

in questo caso è però necessario che venga fornita la posizione del corpo e la sua velocità all’istante iniziale t = 0 (ovvero t = t_o)

Riassunto su derivate e integrali

La derivata di una funzione x =x(t) rispetto alla variabile di cui è funzione è il passaggio al limite del rapporto ∆x/∆t per ∆t che tende a 0

Derivate più comuni

L’integrale, che ne è l’operazione inversa, è la somma finita di quantità

infinitesime. L’integrale tra t=0 e t della funzione v(t) lo possiamo pensate come l’ “area” sottesa dalla funzione v(t) tra t=0 e il punto generico t

Integrali più comuni

Nota: le costanti, dette di integrazione e indicate genericamente tutte con C, sono necessarie perché l’

”area” dipende dal valore della funzione x(t) a t = t₀. Questo valore va fornito separatamente, come condizione iniziale, non essendo l’informazione contenuta nella derivata

) lim ( ) lim ( ) ) (

(

) ( lim

)) ( ) ( ( lim

) ( ) ( ) (

' '

' '

' '

' '

t t

∆x t

t

∆x t

dt x d dt

t dx

t t dx

t t t t

x t x dx

t x t x t x

t t x

x

t t x

x

= ∆

= ∆

=

−

=

−

=

∆

−

=

−

=

∆

→

→

→

→

α(t) dt α(t) d α(t)

dtc α(t) d dt α(t) d α(t)

dt d

t C t dt C t d C t dt C C d t dt C C d

dt d

) ( sin ) os(

)

( cos ) ( sin

3 ) ( 2 ) ( ) (

0 ^{2 3 2}

−

=

=

=

=

=

=

0 , 0 2 ,

0 2 0

, 0 0

0

, 0

0 0 0

, 0 0

0

, 0 ,

0 0

, 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

2 ) 1 ( anche o 2

) 1 ( ) ( )

(

)

( cos )

( se ) ) ( ( ) ( )

(

) ( cos )

( se ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

) ( (

) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

) ( (

x t v t a t x t

v t a dt v t a dt t a x t x

v t a t v t a t a dt v dt t a dt t v x t x dx

v t a t v t a t a v

dt t a t v v t v v t v t dv dt dt

t dt dv t a

x dt t v t x x t x x t x t dx dt dt

t dt dx t v

x x x

x t

x x t

x

x x x x

x

t t t

x t

x x

x x x x

x x

t x x x x x x t

x t

x t

x

t x t

t t

x

+ +

= +

= +

=

=

⇒ −

⇒ +

⇒ =

=

= +

=

=

−

=

+

=

=

⇒ = +

⇒ =

−

=

−

=

=

=

+

⇒ =

−

=

−

=

=

=

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ Nel caso unidimensionale

se a(t) = cost = a v(t) = a t + v₀

x(t) = ½ a t² + v_ot + x₀

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

+

−

= +

=

=

=

=

=

=

−

=

=

−

=

−

=

t

t t

t t

t t

t

t t

t

t t

t t

t

C dt t α dt α

t C α

dt t α dt α

t α

k kt

dt kt t

k dt k t

) -t k(t t k t dt t k dt kt t

t k t k t k dt k

0 0

0 0

0 0

0

) 1 cos(

) sin(

)

1 sin(

) cos(

cost 2

e

: ha si 0 se

2 2) ( 2

) (

2 0

0 0

2 0 2 2 0 2 0

0

Obiettivi esercizi Cap. 2 (RHW)

Saper ricavare velocità ed accelerazione, nota la legge oraria.

Saper svolgere problemi su: moto rettilineo uniforme,

uniformemente accelerato, circolare