f(x 0 + h) = f(x 0 ) + L[h] + R(h) si abbia R(h)

(1)

Richiami di calcolo differenziale locale

In quel che segue ”spazio vettoriale” significherà ”spazio vettoriale reale di dimensione finita”. In ogni tale spazio verrà utilizzata una norma scelta comunque tra quelle esistenti : tutto quanto verrà discusso non dipenderà dalla particolare norma utilizzata.

Gran parte dei risultati richiamati in questo paragrafo rimangono validi anche per per spazi vettoriali reali di dimensione infinita su cui sia stata fissata una norma rispetto alla quale essi siano completi: tali spazi vengono chiamati spazi di Banach e sono studiati solitamente nei corsi di Analisi; un esempio `e dato dallo spazio C⁰(T ) delle funzioni continue a valori reali su uno spazio compatto T , dotato della norma del sup. o da quelli analoghi delle funzioni derivabili con continuit`a, come ad esempio C¹([0, 1]). Per tale generalizzazione bisogna richiedere esplicitamente alcuni fatti che sono automaticamente verificati in dimensione finita; precisamente ogni applicazione lineare φ : E → F deve essere supposta continua e talvolta, come per i teoremi di inversione locale, si deve supporre che il suo nucleo abbia supplementare chiuso, che la sua immagine sia chiusa e sia dotata anch’essa di supplementare chiuso. Comunque nel seguito saremo interessati essenzialmente solo a spazi di dimensione finita.

Siano V, W spazi vettoriali, Ω ⊂ V un aperto, x0 ∈ V e f : Ω → W una applicazione. Ricordiamo che f `e detta differenziabile in x0se esiste L : V → W lineare tale che posto per h ∈ V con x0+ h ∈ Ω :

f (x0+ h) = f (x0) + L[h] + R(h) si abbia

lim

h→0

R(h)

||h|| = 0

Si dimostra che di tali L ne esiste al più uno; se esiste esso viene detto il differenziale di f in x0 ed è indicato con df (x0) (Si noti l’uso di parentesi tonde e quadre: in df (x0)[h] , x0 è il punto in cui si ”differenzia” ed è indicato en- tro parentesi tonde; in parentesi quadre indichiamo invece gli ”incrementi”, in questo caso h, in cui il differenziale è calcolato).

Se f `e differenziabile in ogni punto di Ω, si ha una applicazione df : Ω → L(V, W ) = Hom_R(V, W )

Se tale applicazione `e continua diremo che f `e di classe C¹ su Ω.

Induttivamente, per k intero ≥ 2, diremo che f è di classe C^k se è C¹ e df è C^k−1; diremo che f è C^∞ se essa è C^k per ogni k ∈ N.

D’ora in poi il termine ”differenziabile” significher`a di classe C^∞.

Teorema 1 (di inversione locale) Siano E, F spazi vettoriali, Ω un aperto in E, f : Ω → F differenziabile ed x ∈ Ω.

Se df (x) : E → F `e un isomorfismo, allora esiste un aperto U ⊂ E contenente x , tale che :

a. V = f (U ) `e aperto in F

b. f : U → V `e biunivoca con inversa differenziabile.

La dimostrazione sar`a supposta nota (corsi di Analisi).

(2)

Def. Siano U ⊂ E e V ⊂ F aperti in spazi vettoriali. Una applicazione f : U → V è detta un diffeomorfismo se è biunivoca e differenziabile insieme alla sua inversa. Nelle notazioni ed ipotesi del teorema pecedente diremo che f è un diffeomorfismo locale in x ∈ Ω od anche che essa è localmente invertibile.

Un diffeomorfismo sar`a talvolta chiamato anche cambiamento di coordinate.

Corollari del teorema di inversione locale

Siano E, F spazi vettoriali, Ω ⊂ E un aperto, f : Ω → F una applicazione differenziabile e sia 0 ∈ Ω, f (0) = 0.

1. supponiamo che df (0) : E → F sia surgettiva.

Sia p : E → K = ker(df (0)) una proiezione (associata alla scelta di un supplementare H di K in E). Allora l’applicazione g : Ω → F ⊕ H definita da g(x) = (f (x), p(x)), `e localmente invertibile in 0. Essa rappresenta quindi un cambiamento di coordinate in un intorno di 0; in tali coordinate la f diviene lineare (precisamente la proiezione sul fattore F ).

2. supponiamo che df (x₀) : E → F sia iniettiva.

Sia H un supplementare in F dell’immagine di df (x0). Allora l’applicazione g : E ⊕ H → F definita da g(x, h) = f (x) + h `e localmente invertibile in 0.

Essa definisce quindi un cambiamento di coordinate nell’origine di F ; in tali coordinate la f diviene lineare (precisamente l’inclusione di E in E ⊕ H).

Integrali contenenti un parametro

Siano E uno spazio vettoriale e f : [a, b] → E continua. Esiste un unico I ∈ E detto integrale di f su [a, b] (e che verr`a indicato conRb

af (t)dt ) tale che per ogni

> 0 , esista δ > 0 tale che per ogni successione a = x₀ ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b con | x_i−1, x_i|≤ δ per i = 1, . . . n, sia

|

n

X

1

f (x_i) · (x_i− x_i−1) − I |<

Se b < a definiamoRb

a f (t)dt = −Ra b f (t)dt.

Proposizione 2 f →Rb

a f (t)dt `e una applicazione lineare continua di C⁰([a, b]) in R la cui norma `e |b − a| (ossia kRb

a f (t)dtk ≤ |(b − a)| · sup_x∈[a,b] kf (x)k) Siano E, F spazi vettoriali, Ω ⊂ E un aperto, T uno spazio topologico. Le applicazioni f : Ω × T → F possono essere pensate come famiglie di applicazioni da Ω in F parametrizzate da T . Useremo in tal caso la notazione f (x, t) = ft(x) per (x, t) ∈ Ω × T. La notazione dft(x) indicher`a quindi il differenziale della funzione ft: Ω → F nel punto x ∈ Ω.

Def. C_T¹(Ω, F ) `e l’insieme delle f : Ω × T → F che sono continue, tali che per ogni t ∈ T, ft : Ω → F sia differenziabile e tali che dft : Ω × T → L(E, F ) sia continua. Analogamente si definiscono le C_T^k(Ω, F ) per k ≥ 2 o k = ∞.

Teorema 3 Siano a < b e f ∈ C_[a,b]¹ (Ω, F ). Allora la funzione g : Ω → F definita da g(x) = Rb

af (x, t)dt `e di classe C¹ ed il suo differenziale `e dg = Rb

a df_t(x)dt (l’integrale al secondo membro `e fatto in L(E, F )).

(3)

Corollario 4 Se nel teorema precedente si suppone f ∈ C_[a,b]^k (Ω, F ), k ≥ 1 allora g ∈ C^k(Ω, F ).

dim. (del teorema: non nel programma di esame)

Continuit`a di g : siano x0∈ Ω e > 0. Vogliamo trovare un intorno U di x0in Ω tale che per x ∈ U sia |g(x) − g(x0)| < . Essendo f continua su Ω × [a, b],per ogni t ∈ [a, b] esiste un intorno A_tdi (x₀, t) in Ω × [a, b] tale che per (y, s) ∈ A_t sia |f (y, s) − f (x₀, t)| < _b−a .

Ora tale intorno pu`o supporsi del tipo U_t× Itcon U_t, I_taperti negli spazi Ω e [a, b]. Per compattezza di [a, b], esistono t₁, · · · , t_r tali che I₁∪ · · · ∪ I_r= [a, b].

Allora per x ∈ U = U_t₁∩ · · · ∩ U_t_r e qualsiasi t ∈ [a, b] si ha :

|g(x) − g(xo)| =Rb

a |f (x, t) − f (x0, t) < (b − a)· b − a = .

Differenziabilità di g : bisogna mostrare che g è differenziabile nel punto x0∈ Ω e che il suo differenziale èRb

a df (x0, t)dt. Ci`o significa che : lim

x0+h∈Ω

h→0

Rb

a(f (x0+ h, t) − f (x0, t))dt − (Rb

adft(x0)dt)[h]

khk = 0

Ora si ha :

( Z b

a

dft(x0)dt)[h] = Z b

a

dft(x0)[h]dt

(si noti che l’integrale nel membro di sinistra `e fatto in L(E, F ) mentre quello a destra `e fatto in F ).

Quindi si deve mostrare che va a zero l’integrale Z b

a

(f (x0+ h, t) − f (x0, t) − dft(x0)[h]

khk )

Consideriamo la funzione σ : [0, 1] → U definita da σ(t) = x0+ th. Allora (teorema di Torricelli) si ha :

f (x₀+ h) − f (x₀) = f ◦ σ(1) − f ◦ σ(0) = Z 1

0

d(f ◦ σ) =

= Z 1

0

dft(x0+ sh) · σ⁰(s)ds = Z 1

0

dft(x0+ sh)[h]ds

Sostituendo nell’espressione precedente ci si riduce a mostrare che va a zero l’espressione:

1

||h||

Z b a

( Z 1

0

(dft(x0+ sh) − dft(x0))ds)dt[h]

Essendo df_t(x) continua su Ω × [a, b] , lo stesso ragionamento utilizzato per mostrare la continuità di g , mostra che la norma di df_t(x₀+ sh) − df_t(x₀) è maggiorata da una qualsiasi prefissata costante positiva per h in qualche intorno dell’origine e da ciò segue facilmente che tutto l’integrale va a zero.

Teorema di divisione elementare

Siano E, F spazi vettoriali ; un aperto Ω in E × F `e detto stellato rispetto ad E se per ogni (x0, y0) ∈ Ω, tutto il segmento [(x0, 0), (x0, y0)] `e contenuto in Ω.

(4)

Teorema 5 (divisione elementare) Siano Ω ⊂ E × F un aperto stellato rispetto a E ed f : Ω → G una applicazione differenziabile nulla su Ω ∩ E × {0};

(ossia tale che f (x0, 0) = 0 per ogni (x0, 0) ∈ Ω). Esiste allora una applicazione differenziabile g : Ω → L(F, G) tale che per (x, y) ∈ Ω sia f (x, y) = g(x, y)[y]

dim. Sia (x0, y0) ∈ Ω fissato. Consideriamo la funzione ˜f : [0, 1] → G definita da ˜f (t) = f (x0, ty0). Per il teorema di Torricelli, si ha:

f (x₀, y₀) = ˜f (1) − ˜f (0) = Z 1

0

d ˜f = Z 1

0

(df_x(x₀, ty₀)[y₀]) =

= ( Z 1

0

dfx(x0, ty0))[y0] = g(x0, y0)[y0]

ove df_x dipende differenziabilmente da x_o, y₀, t; i risultati del paragrafo precedente assicurano quindi che g `e differenziabile.

Applicazioni polinomiali e sviluppi di Taylor

Siano E, F spazi vettoriali. Una applicazione φ : E → F è detta un polinomio omogeneo di grado p se esiste una b : E^p → F p−lineare tale che per ogni x ∈ E sia φ(x) = b(x, · · · , x). Diremo che φ è la contrazione di b. Si verifica facilmente (facendo una media su permutazioni delle variabili) che se φ è un tale polinomio, fra tutte le p−lineari di cui esso è contrazione, ve ne è esattamente una che sia simmetrica : essa verrà detta la polarizzazione di φ

Ne segue che Lp(E, F ) ={polinomi omogenei di grado p da E a F } `e uno spazio vettoriale (`e in corrispondenza biunivoca con le applicazioni p−lineari simmetriche da E ad F ).

Una applicazione φ : E → F `e detta un polinomio di grado ≤ n se φ = φ₀+ φ₁+ · · · + φ_move φ_i: E → F `e un polinimio omogeneo di grado i.

Se Ω è un aperto in E × F e g : Ω → L_p(F, G) è differenziabile, allora (x, y) → g(x, y)[y] (che è ovviamente differenziabile) sarà detta un polinomio omogeneo di grado p in y a coefficienti funzioni C^∞su Ω.

Siano Ω un aperto in E × F stellato rispetto ad E, Ω0 = Ω ∩ E × {0} e sia f : Ω → G differenziabile. Allora f (x, y) − f (x, o) : Ω → G `e nulla su Ω0; quindi per il teorema precedente, esiste R0: Ω → L1(F, G) tale che f (x, y) − f (x, 0) = R0(x, y)[y]. Posto f (x, 0) = φ0(x) questa relazione si scrive:

(1) f (x, y) = φ0(x) + R0(x, y)[y]

che verr`a chiamata sviluppo di Taylor d’ordine 0 di f rispetto a y. Svilup- pando d’ordine zero R0, si ottiene una relazione del tipo R0(x, y) = φ1(x, y) + R₀(x, y)[y] ove φ₁: Ω₀→ L1(F, G), ˜R₀: Ω → L₁(F, L₁(F, G)). Quindi ˜R₀ asso- cia ad ogni punto (x₀, y₀) di Ω, una applicazione bilineare su F a valori in G la cui contrazione `e un polinomio omogeneo di grado due da F a G che indicheremo con R₁(x, y). sostituendo nella (1) si ottiene ;

f (x, y) = φ₀(x) + φ₁(x)[y] + R₁(x, y)[y]

che è lo sviluppo di Taylor d’ordine 1: dice che f è un polinomio di grado uno in y a coefficienti C^∞ in x più un resto che è un polinomio omogeneo di grado due in y a coefficienti funzioni C^∞in x, y.

Proseguendo cos`ı si ottiene il seguente :

(5)

Teorema 6 (Sviluppo di Taylor) Se Ω e f sono come sopra, esistono applicazioni differenziabili φ_p : Ω₀ → L_p(F, G) e R_p : Ω → L_p(F, G) per p ∈ N tali che per n ∈ N sia :

(2) f (x, y) =

n

X

h=0

φ_h(x)[y] + R_n+1(x, y)[y].

Nota. Derivando successivamente ambo i membri di (2) e calcolando per y = 0 si ottiene che φ_p(x) = _p!¹d^pf_x(0) (attenzione alle notazioni che possono trarre in inganno: si ricordi che f_x(y) è per definizione f (x, y)). Ne segue che le φ_hin (2) sono univocamente determinate. Per quanto riguarda i resti R_n+1(x, y)[y], essi non sono univocamente determinati dalle richieste fatte (lo sarebbero se si chiedesse una proprietà supplettiva che qui non esplicitiamo perchè non avremo necessità di avvalercene). Ciò accade perché un polinomio omogeneo a coefficienti C^∞ non (formalmente) nullo può rappresentare la funzione identicamente nulla, a differenza di quel che accade per polinomi a coefficienti costanti (ad esempio h1(x1, x2)x1+ h2(x1, x2)x2 ove h1(x1, x2) = x2 e h2(x1, x2) = −x1).

Quel che spesso `e sufficiente sapere dei resti Rn`e precisato dalla seguente:

Proposizione 7

Se Ω, f sono come sopra, ogni (x0, 0) ∈ Ω ha un intorno aperto U = A × B ⊂ Ω, con A, B aperti in E, F , tale che

lim

y→0

R_n+1(x, y)[y]

kykⁿ = 0 uniformemente per x ∈ A.

Dim. Siano infatti U un aperto in Ω ed M un numero reale tali che kR_n+1(x, y)k ≤ M per (x, y) ∈ U . Allora, essendo R_n+1un polinomio omogeneo di grado n + 1, si ha che:

Rn+1(x, y)[y]

kykⁿ = kykRn+1(x, y)[ y kyk] avr`a norma ≤ kykM .

Scritture in termini di coordinate

Se x1, . . . , xn sono le coordinate su E = Rⁿ, un polinomio omogeneo φ : E → R di grado d si scrive ordinariamente nel seguente modo:

φ(x) = X

|I|=d

aI · x^I

ove per le usuali convenzioni di multiindici: se x = (x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ e I = (i1, . . . , in) ∈ Nⁿ , si pone |I| = i1+ · · · + in e x^I = xⁱ₁¹· · · xⁱ_nⁿ.

Nello sviluppo di Taylor di una funzione differenziabile f : Rⁿ → R, si ha una somma di tali polinomi omogenei pi`u un ultimo termine Rn+1, il ”resto”, che

`

e ancora espresso da una scrittura dello stesso tipo con la sola differenza che i

”coefficienti” aI invece che costanti sono funzioni differenziabili:

Rn+1= X

|I|=d

aI(x) · x^I

Comportamento qualitativo locale: il lemma di Morse

Siano f : U → R e f⁰ : U⁰→ R due funzioni differenziabili definite su aperti di

(6)

uno spazio euclideo contenente l’origine. Diremo che (U, f ) , (U⁰, f⁰) hanno in 0 lo stesso comportamento qualitativo se esistono intorni aperti V ⊂ U , V⁰ ⊂ U⁰ di 0 ed un diffeomorfismo h di V su V⁰ tali che f ”(x) = f (h(x)) per ogni x ∈ V . Proposizione 8 Sia f una funzione differenziabile in un intorno U di 0 ∈ R.

Se essa si annulla in 0 assieme a tutte le sue derivate di ordine inferiore ad n ma la sua derivata d’ordine n `e positiva in 0, allora essa ha lo stesso comportamento qualitativo della funzione t 7→ tⁿ

Dim. Per la formula di Taylor, in un intorno di 0 si ha f (t) = tⁿh(t) con h differenziabile (per ipotesi lo sviluppo di ordine n − 1 è nullo e quindi f coincide col ”resto”). La condizione f⁽ⁿ⁾(0) > 0 equivale a h(0) > 0; esiste quindi in un intorno di 0 una funzione differenziabile k tale che h = kⁿ. Si ha quindi f = (t · k(t))ⁿ. resta da dimostrare che t · k(t) può essere presa come coordinata di centro 0 e ciò è vero perché ha derivata non nulla in 0.

Proposizione 9 (Lemma di Morse) Sia f una funzione differenziabile in un intorno di 0 ∈ Rⁿ nulla in 0 assieme a tutte le sue derivate prime e supponiamo che la matrice H i cui elementi sono le derivate seconde di f calcolate in 0 abbia determinante non nullo. Allora, se a `e il numero di autovalori positivi di H, la f ha in 0 lo stesso comportamento qualitativo della funzione

x²₁+ ... + x²_a− (x²_a+1+ ... + x²_n)

Dim. La dimostrazione `e molto simile a quella del teorema di diagonalizzazione delle forme quadratiche reali. Si parte dallo sviluppo di Taylor di ordine 1 che d`a :

f (x) =

n

X

ij+1

hij(x)xixj

Cambiando eventualmente le coordinate (in modo lineare) si pu`o supporre che h₁₁(0) 6= 0. Sia B la somma degli addendi del tipo h_ij(x)x_ix_j con i, j > 1 ed A la somma degli altri. Aggiungendo ad A dei termini del tipo h_i(x)x²_i, e sottraendoli contemporaneamente a B si scrive f come somma di un termine A = h˜ 11(x)(x1+ a2x2+ ... + anxn)² ed uno ˜B = P

ij>1bij(x)xixj. A questo punto si prendono come nuove coordinate le funzionip|h11(x), x2, ..., xn; la Ã diviene ±x²₁ e si può riapplicare la procedura a ˜B, che è espressa come un polinomio omogeneo di grado due nelle x2, ..., xna coefficienti funzioni differenziabili elle x1, ..., xn. Iterando questa procedura si arriva alla ”diagonalizzazione” di f . Che il numero di quadrati positivi che si ottengono coincide col numero di autovalori positivi della matrice H, può essere dedotto dall’analogo fatto per la diagonalizzazione delle forme quadratiche, osservando che per una f che in un punto ha nulle tutte le derivate prime, ogni cambiamento di coordinate locali trasforma la matrice delle derivate seconde come si trasformano le forme quadratiche. Questo fatto sarà analizzato meglio nel seguito quando parleremo dell’Hessiano.

Variet`a immerse

Sia H ⊂ R^N un sottoinsieme qualsiasi (non necessariamente aperto). Una funzione f : H → R `e detta differenziabile se per ogni x⁰ ∈ H esistono un suo

(7)

intorno aperto U ed una F : U → R differenziabile (in senso ordinario) tali che per ogni x ∈ U ∩ H sia f (x) = F (x).

Se H ⊂ R^N e K ⊂ R^M , una f : H → K `e detta differenziabile se tali sono le sue M componenti in quanto funzioni di H in R.

Diremo che f : H → K `e un diffeomorfismo se f `e biunivoca e differenziabile assieme alla sua inversa.

Siano H ⊂ R^N e x0∈ H; lo spazio tangente ad H in x0 `e l’insieme T (H)x₀ dei v ∈ R^N tali che per ogni aperto U in R^N che contiene x0 e funzione differenziabile h : U → R che sia nulla su U ∩ H si abbia dh(x⁰)[v] = 0. E’ chiaro che T (H)x₀ `e un sottospazio vettoriale di R^N.

Siano H ⊂ R^N , K ⊂ R^M , f : H → K differenziabile e x0∈ H.

Per definizione esistono un aperto U in R^N contenente x0 ed una F : U → R^M differenziabile che coincide con f su U ∩ H. Si verifichi per esercizio che dF (x₀) applica T (H)_x₀ ⊂ R^N in T (K)_{f (x}₀₎ ⊂ R^M ed induce quindi una applicazione lineare σ : T (H)_x₀ → T (K)_{f (x}₀₎. Inoltre tale σ non dipende dalla particolare estensione F scelta; ossia se U⁰ `e un altro aperto in R^N contenente x₀ e F⁰ : U⁰ → R^M `e differenziabile e tale che per x ∈ U⁰∩ H sia F⁰(x) = f (x) , allora per v ∈ T (H)x₀ si ha dF (x0)[v] = dF⁰(x0)[v].

Si ottiene cos`ı una ben definita applicazione lineare df (x0) : T (H)x₀ → T (K)_{f (x}₀₎ che sar`a detta il differenziale di f in x0.

Def. Un sottoinsieme H ⊂ R^N è detto una varietà differenziabile di dimensione n se ogni suo punto ha un intorno aperto diffeomorfo ad un aperto di Rⁿ. Diremo invece che H è una varietà differenziabile a bordo di dimensione n se ogni suo punto ha un intorno aperto diffeomorfo ad un aperto di [0, +∞[×Rⁿ⁻¹⊂ Rⁿ. Una carta su una varietà differenziabile X ⊂ R^N di dimensione n è una coppia (U, f ) ove U ⊂ X è un aperto ed f : U → V è un diffeomerfismo tra U ed un aperto V di Rⁿ. Se x ∈ U ed è f (x) = 0 diremo che (U, f ) è una carta di centro x; in tal caso l’inversa f⁻¹ : V → U sarà detta una parametrizzazione di X all’intorno di x.

Esempi (definizioni,esercizi,complementi)

1. Consideriamo la variet`a a bordo X = [0, +∞[×Rⁿ⁻¹e poniamo

∂X = {0} × Rⁿ⁻¹. Si verifichi che ogni diffeomorfismo f : U → V tra aperti di X applica U ∩ ∂X in V ∩ ∂X. Ciò permette di definire il bordo ∂X per ogni varietà a bordo X di dimensione n e di dimostrare che esso è una varietà (senza bordo) di dimensione n − 1. Ad esempio Dⁿ = {x ∈ Rⁿ : ||x|| ≤ 1} è una varietà compatta a bordo (detta il disco di dimensione n) il cui bordo è Sⁿ⁻¹ (la sfera di dimensione n − 1).

Un aperto Ω ⊂ Rⁿsar`a detto a frontiera differenziabile se ogni x0∈ ∂Ω possiede un intorno aperto U ed una funzione differenziabile f : U → X tali che:

- f (x0) = 0 e U ∪ Ω = {x ∈ U : f (x) < 0}

- df (x₀) `e non nullo

Ciò equivale a dire che Ω è la parte interna di una sottovarieà a bordo di Rⁿ avente dimensione n. Una tale f verrà detta una equazione locale per Ω in x₀. 2. Siano Ω ⊂ Rⁿ un aperto ed f : Ω → R^p una applicazione differenziabile.

Allora X = {(x, y) ∈ Rⁿ× R^p : x ∈ Ω , y = f (x)} è una varietà differenziabile di dimensione n (infatti x 7→ (x, f (x)) è un diffeomorfismo tra Ω ed X).

(8)

3. Siano X ⊂ Rⁿ , Y ⊂ R^m varietà differenziabili di dimensioni p e q; allora X × Y ⊂ R^n+m è una varietà differenziabile di dimensione p + q. Se una delle due è a bordo anche il prodotto lo è. Se entrambi hanno il bordo non vuoto, X × Y non è una varietà a bordo.

4. Sia f : X → Y una applicazione differenziabile tra varietà. Diremo che x ∈ X è un punto critico per f se df (x) : T (X)x→ T (Y (_{f (x)} non è surgettiva;

altrimenti diremo che x `e un punto regolare.

Diremo che y ∈ Y è un valore critico per f se è immagine di qualche punto critico. Altrimenti esso sarà detto un valore regolare.

Si dimostri che l’insieme dei punti critici `e un chiuso in X e che l’insieme dei valori critici pu`o non essere un chiuso in Y.

5. Sia f : X → Y differenziabile tra variet`a di dimensione n + p e p.

Si dimostri che se y ∈ Y è un valore regolare allora X₀= f⁻¹(y) è una sottova- rietà di X di dimensine n. Se ciò accade ed è Y = R^p e y = 0 , diremo che f è una equazione (globale) di definizione per X₀ in X.

Si dimostri che se X0è una sottovarietà di X , ogni x ∈ X0ha un intorno aperto U sul quale esiste una equazione di definizione h per X0∩ U .Una coppia del tipo (U, h) sarà detta una equazione locale di definizione per X0in X.

6. Una applicazione differenziabile f : X → Y tra varietà è detta un prodotto se esistono una varietà F ed un diffeomorfismo h : X → F × Y tale che detta p : F × Y → Y la proiezione canonica si abbia p ◦ h = f . Necessariamente una tale f è priva di punti critici.

Viceversa se f : X → Y è differenziabile ed x ∈ X è regolare, allora x ha un intorno aperto U in X tale che f (U ) è aperto in Y e la restrizione di f da U in f (U ) è un prodotto.

7. Sia 0 un valore regolare per f : X → R; allora M = {x ∈ X : f (x) ≥ 0}

`

e una varietà a bordo con ∂M = f⁻¹(0). Si dimostri inoltre che in tal caso {(x, y) ∈ X × Rⁿ : ||y||² = f (x)} è una ipersuperficie (ossia una sottovarietà di dimensione uno meno di quella dell’ambiente) in X × Rⁿ.

8. Una applicazione differenziabile φ : X → Y tra varietà è detta una immersion se il suo differenziale dφ(x) è iniettivo per ogni x ∈ X. Diremo invece che è un embedding se è un diffeomorfismo tra X e la sua immagine; ciò equivale a dire che è una immersion ed è un omeomorfismo con la propria immagine. Diremo che una varietà X di dimensione n ha codimensione di embedding p se esiste un suo embedding in R^n+p. Ad esempio la sfera Sⁿ ha codimensione di embedding uno. Analoga definizione per la nozione di immersion.

E’ facile dimostrare che per S¹ non esiste alcuna immersion in R.

Si dimostri pi`u in generale che una variet`a compatta non vuota di dimensione n non ha alcuna immersion (e quindi neppure un embedding) in Rⁿ.

9. Sia φ una applicazione differenziabile di una varietà a bordo X in una varietà (senza bordo) Y . Un punto x₀∈ X è detto regolare per φ se o x₀∈ ∂X ed x/ ₀è un punto regolare per la restrizione di φ a X − ∂X, oppure x0 ∈ ∂X ed allora x0è regolare per la restrizione di φ a ∂X.

Si dimostri che se x0∈ ∂X `e regolare per φ : X → Rⁿ, allora esiste un intorno

(9)

aperto U di x₀in X ed un diffeomorfismo h (un sistema di coordinate locali) tra U e D⁺= {x ∈ R^n+p : ||x|| ≤ 1 , x_n+p≥ 0} per cui h(0) = 0 e l’applicazione φ diviene (x1, . . . , xn+p) 7→ (x1, . . . , xn).

Ciò può essere riformulato come segue: sia X una sottovarietà a bordo di una varietà a bordo Y ; diremo che X è ben messa in Y se si ha:

∂X = X ∩ ∂Y e se per ogni x ∈ ∂X si ha:

T_x(∂X) = T_x(X) ∩ T_x(∂Y )

Da quanto sopra detto si ottiene che se φ : M → N è una applicazione differenziabile di una varietà a bordo M in una varietà (senza bordo) N , allora la fibra X di φ su un valore regolare, è una sottovarietà a bordo ben messa in M . Equazioni locali e globali per sottovarietà

Sia Y un sottoinsieme di una varieà differenziabile X. Diremo che una sottova- rietà Y di X ha codimensione p se p + dim(Y ) = dim(X); per p = 1 diremo anche che Y è una ipersuperficie. Ad esempio se f : X → R è differenziable e 0 è un suo valore regolare, allora Y = f⁻¹(0) è una ipersuperficie di X. Più in generale se f : X → Z è una applicazione differenziabile tra varietà e z ∈ Z è un suo valore regolare, allora Y = f⁻¹(z) è una sottovarietà di X avente per codimensione la dimensione di Z; nel caso sia Z = R^p e z = 0 diremo che f è una equazione globale per Y in X. Una equazione locale per Y in X in un punto x ∈ X è il dato di un intorno aperto U di x in X e di una equazione globale f : U → R^p per Y ∩ U in U . E’ facile verificare che ogni sottovarietà Y di X ha equazioni locali in tutti i punti di Y e che le ha anche in tutti i punti di X se e solo se è un sottoinsieme chiuso. La questione dell’esistenza di equazioni globali è più complicata. Nel seguito esamineremo questo problema per p = 1 e parzialmente per il caso p = 2. Il tipo di argomenti che utilizzeremo, sono già indicati nella trattazione del caso abbastanza elementare in cui X = R^N ed Y

`

e compatta.

Proposizione 10

Ogni ipersuperficie compatta in R^N ha una equazione globale.

Dim. Come gi`a osservato Y ha equazioni locali in ogni punto. Esistono cio`e un ricoprimento aperto U = (Ui)i∈I di R^N e equazioni fi per X ∩ Ui in Ui

per ogni i ∈ I. Sia (φi)i∈I una partizione dell’unit`a subordinata; la funzione f =P

i∈Iφifiè differenziabile su tutto X, e si annulla su Y ; comunque può non essere una equazione per Y perché può annullarsi in altri punti oltre quelli di Y e nei punti di Y non è detto che abbia differenziale non nullo. Ma supponiamo che sia soddisfatta la condizione seguente:

- per ogni i, j ∈ I le funzioni f_i ed f_j hanno in ogni punto di U_i∩ Uj lo stesso segno.

Allora chiaramente f si annulla solo su X. Inoltre essa ha differenziale non nullo in ogni x ∈ X; infatti, se x ∈ U_i, scelto un sistema di coordinate di centro x in modo che fi divenga la prima coordinata x1, per ogni altro j con x ∈ Uj si ha che ∂fj/∂x1 è strettamente positiva in 0; quindi ∂f /∂x1 essendo una combinazione baricentrica di quantità positive sarà anch’essa strettamente positiva.

(10)

Il problema è quindi di mettere a posto i segni delle f_i in modo che in ogni punto siano tutti concordi. Vedremo ora che questo è essenzialmente un problema di tipo combinatorio, che può essere risolto essendo R^N topologicamente abbastanza ”semplice”.

Asserzione: su Ui∩ Uj esiste una funzione differenziabile fij che `e priva di zeri e tale che fi = fijfj ( ossia: ”fij `e fj/fi”). Infatti si prenda fij = fj/fi

sul complementare di X in Ui∩ Uj; essendo X privo di parte interna, basterà mostrare che fj/fi si estende localmente ad una funzione differenziabile anche all’intorno di ogn x ∈ X. Ciò segue dal fatto che cambiando coordinate locali, si può supporre che fi sia la prima coordinata e di conseguenza l’affermazione fatta non è altro che il teorema di divisione elementare.

A questo punto abbiamo ancora due problemi da risolvere:

1. sarebbe comodo sapere che ogni U_i∩ Uj se non vuoto `e connesso: in tal caso cambiando eventualmente segni ad una tra le f_i e f_j si pu`o supporre che esse concordino in segno su tutto U_i∩ U_j

2. partendo da un U_i e lasciando f_i invariata, passare da un U_j ad un altro cambiando segno eventualmente alla equazione sul nuovo aperto se non coincide in segno con la precedente; affinch´e questo processo abbia termine facendo con- cordare tutti i segni occorre che in ogni percorso che parte da Ui e vi torna, il numero di inversioni di segno che si incontrano sia pari.

Il problema 1. è facilmente risolubile in Rⁿ passando eventualmente ad un raf- finamento di U fatto con aperti convessi: l’intersezione di due convessi essendo sicuramente o vuota o connessa; servirà un pò di lavoro per trovare qualcosa che funzioni in modo analogo su varietà qualsiasi.

Il problema due può essere risolto in R^N considerando ricoprimenti di tipo particolare: ad esempi quelli fatti ”quadrettando” R^N parallelamente agli assi ed allargando poi un poco tali ”quadrati” chiusi a ”quadrati” aperti. Allora è chiaro che si possono mettere a posto tra loro tutti quelli che appartengono ad una stessa fila parallela al primo asse, poi le file allineate nella direzione del secondo asse e cos`ı via: nel caso che invece che in R^N la ipersuperficie sia ambi- entata in una varietà M qualsiasi (connessa) vedremo che per essere sicuri che i segni possono essere messi a posto, occorre sapere qualcosa sul gruppo fondamentale π1(M ): troveremo anzi che ogni ipersuperficie di M ha una equazione globale se e solo se l’unico omomorfismo di π1(M ) a valori in Z/2Z è quello nullo.

Nota

Si può dimostrare che una varietà X di codimensione due in R^N ha una equazione globale (ossia esiste una f : R^N → R² differenziabile avente 0 come valore regolare ed il cui luogo di zeri è X) se e solo se essa è orientabile. Un esempio

”evidente” di non orientabile in codimensione due si costruisce con la bottiglia di Klein. In codimensione quattro, oltre alla orientabilità, l’esistenza di euazioni globali equivale al fatto che X verifichi due proprietà di tipo coomologico. In codimensione tre la questione sembra più complicata; ad esempio per l’unione di due sfere ordinarie di dimensione due in R⁵che siano allacciate (od anche una loro somma connessa fatta in R⁵ che è diffeomorfa ad una 2-sfera) non esiste una equazione globale.

Spazi paracompatti e partizioni dell’unit`a

Nel seguito ogni spazio topologico `e supposto (se non esplicitamente dichiarato)

(11)

separato ed a base numerabile.

Definizioni:

- Una famiglia F di sottoinsiemi di uno spazio topologico X `e detta puntualmente finita se ogni x ∈ X appartiene solo ad un numero finito di elementi di F ; `e detta localmente finita se ogni x ∈ X possiede un intorno che incontra solo un numero finito di elementi di F .

- Una famiglia F è più fine di una famiglia G se ogni elemento di F è contenuto in qualche elemento di G.

- Uno spazio topologico X `e detto localmente compatto se ogni punto possiede almeno un intorno compatto. E’ facile verificare che allora gli intorni compatti di un punto costituiscono un suo sistema fondamentale di intorni.

- Uno spazio topologico X è detto paracompatto se per ogni ogni ricoprimento aperto U di X esiste un ricoprimento aperto V di X che sia localmente finito e più fine di U (in generale V non è costruibile come una sottofamiglia di U ; si prenda ad esempio per U la famiglia delle palle di centro l’origine in Rⁿ).

- Uno spazio topologico X è detto numerabile all’infinito se è ricopribile con una successione (numerabile) di compatti ognuno contenuto nella parte interna del successivo; una tale successione di compatti verrà detta esaustiva .

Proposizione 11 Ogni spazio localmente compatto `e numerabile all’infinito Dim. Sia (Bn)_n∈N una base numerabile di X; possiamo supporre che ogni Bn

abbia chiusura compatta (infatti gli elementi della base originaria che hanno tale proprietà costituiscono ancora una base). Per ogni intero r sia Hr la chiusura di B0∪ · · · ∪ Br. Per ogni intero r esiste un intero s > r tale che Hrè contenuto nella parte interna di Hs e ciò dimostra che eliminando alcuni degli Hi resta una successione esaustiva di compatti per X.

Proposizione 12 Ogni spazio localmente compatto `e paracompatto

Sia (K_n)_n∈Nuna successione esaustiva di compatti per X. Per ogni intero n ≥ 1 sia Ω_n l’aperto ottenuto togliendo alla parte interna di K_n+2 il compatto K_n. La famiglia Ω_n)_n≥1`e un ricoprimento aperto di X che `e numerabile, localmente finito ed i cui elementi sono relativamente compatti.

Sia allora U = (Ui)i∈I un ricoprimento aperto qualsiasi di X; per ogni intero positivo n esiste In ⊂ I finito tale che Ωn sia contenuto nell’unione degli Ui

per i ∈ In; ne segue che la famiglia degli Ωn ∩ Ui per n intero positivo ed i ∈ In costituisce un ricoprimento aperto V localmente finito più fine di U . Si noti che tale V è inoltre numerabile ma d’altra parte si noti anche che in ogni ricoprimento aperto localmente finito di X gli aperti non vuoti sono al più una infinità numerabile.

Diremo che una funzione f a valori reali su uno spazio topologico X è localmente nulla in x ∈ X se essa è identicamente nulla su qualche intorno di x. L’insieme dei punti x ∈ X nei quali f non è localmente nulla costituisce un chiuso che viene detto il supporto di f . Una famiglia (f_i)_i∈I di funzioni su X è detta localmente finita se tale è la famiglia dei suoi supporti.

Una partizione dell’unit`a sullo spazio topologico X `e una famiglia localmente finita (fi)i∈I di funzioni continue su X tale cheP

i∈Ifi(x) = 1 per ogni x ∈ I.

Tale partizione è detta più fine di un ricoprimento U = (Uj)j∈J se cos`ı è la famiglia dei supporti delle fi. Se inoltre accade che I = J e per ogni i ∈ I il

(12)

supporto di f_i `e contenuto in U_i allora diremo che la partizione `e subordinata ad U .

Lemma 13 Sia U = (Ui)i∈I un ricoprimento aperto di X. Se esiste una partizione (fj)j∈J su X pi`u fine di U allora ne esiste anche una (Fi)i∈Isubordinata ad U

Dim. Per ipotesi esiste ν : J → I tale che per ogni j ∈ J il supporto di fj sia contenuto U_ν(j). Per ogni i ∈ I si definisca Fi=P

j∈ν⁻¹(i)fj; si verifica con un po(co) di lavoro che (Fi)i∈I è una partizione dell’unità subordinata ad U . Teorema 14 Su uno spazio localmente compatto ogni ricoprimento aperto ha partizioni dell’unità a lui subordinate

Dim.

La dimostrazione si avvale del teorema di esistenza di funzioni continue detto lemma di Urisohn. Per evitarne l’uso e per trattare allo stesso tempo gli analoghi risultati nel caso differenziabile, si pu`o supporre che su X sia assegnata una famiglia F di funzioni continue che abbia la seguente propriet`a:

- dati comunque x ∈ X ed un intorno U di x esiste una f ∈ F non nulla in x ed avente supporto contenuto in U .

Se X è una varietà topologica (o differenziabile) si possono costruire famiglie siffatte trasportando tramite carte locali su X delle funzioni standard su Rⁿ; oppure se X è metrico si costruiscono facilmente funzioni continue con tale proprietà utilizzando la metrica stessa. Passando ai quadrati si può supporre che gli elementi di F siano funzioni positive.

Veniamo alla dimostrazione. Per quanto visto avanti si pu`o supporre che il ricoprimento dato sia numerabile, localmente finito e costituito da aperti relativamente compatti. Sia esso U = (Un)_n∈N . Vogliamo definire induttivamente funzioni continue gn : X → R ed aperti Vn ⊂ X per n ∈ N soddisfacenti le condizioni:

- il supporto di g_n contiene V_n ed `e contenuto in U_n - V₀, . . . , V_n assieme a tutti gli U_i per i > n ricoprono X operiamo cos`ı : sia F il complementare di S

n>0Un; esso `e un compatto contenuto in U0 ed utilizzando l’ esistenza di funzioni locali si pu`o costruire una funzione continua g0strettamente positiva su F ed il cui supporto sia contenuto in U0. Si scelga quindi per V0 un intorno aperto di F contenuto nel supporto di g0. Supposti costruiti g0, . . . gn e V0, . . . Vn si considera il complementare F dell’unione di V0, . . . Vn con gli Urper r > n + 1 e si ripete la costruzione precedente ottenendo una gn+1ed un Vn+1. Evidentemente la funzione g =P

n∈Ngn

`

e positiva strettamente e le fn= gn/g formano una partizione dell’unit`a subordinata al ricoprimento U .

Nota. E’ chiaro che se X è una varietà differenziabile tutta la costruzione può essere fatta utilizzando funzioni differenziabli su X.

(13)

Applicazioni proprie

In questa appendice ogni spazio topologico `e supposto oltre che separato ed a base numerabile anche localmente compatto.

Definizioni

- Una applicazione f : X → Y tra spazi topologici `e detta chiusa se trasforma chiusi di X in chiusi di Y . E’ detta propria se `e continua e se f⁻¹ trasforma compatti di Y in compatti di X.

- Diremo che una successione (xn)_n∈N in uno spazio topologico X diverge od anche che tende all’ ∞ se per ogni compatto K ⊂ X esiste n0 ∈ N tale che xn ∈ K per n ≥ n/ 0. Per le ipotesi fatte su X ci`o equivale al non possedere sottosuccessioni convergenti ossia a non avere punti aderenti.

Proposizione 15 Sia f : X → Y continua. Sono equivalenti le condizioni:

(a) f `e propria

(b) f `e chiusa ed f⁻¹(y) `e compatto per ogni y ∈ Y

(c) f trasforma successioni divergenti in X in successioni divergenti in Y Dim.(a)⇒ (b) : Evidentemente le fibre di f sono compatte. Mostriamo che se C `e chiuso in X allora f (C) `e chiuso in Y . Sia y in Y − f (C) e consideriamo la famiglia K degli intorni compatti di y. Essendo Y localmente compatto si ha T

K∈KK = y. AlloraT

K∈Kf⁻¹(K) ∩ C = ∅ ed essendo tali insiemi compatti in X , l’intersezione di un numero finito di essi è vuota. Si ottiene quindi l’esistenza di un K ∈ K per il quale f⁻¹(K) ∩ C = ∅ e ciò implica che K ∩ f (C) = ∅; Quindi f (C) è chiuso perché ogni punto che non gli appartiene possiede un intorno che non lo interseca.

(b)⇒(c) : Se (c) non è verificata esiste una successione (x_n) divergente in X e tale che f (xn) converge ad un y ∈ Y . Essendo (xn) divergente, l’insieme {xn : n ∈ N} è chiuso in X; per (b) quindi {f (xⁿ) : n ∈ N} è chiuso in Y . Se ne deduce che y deve essere uno degli f (xn); anzi, siccome ciò deve rimanere vero per ogni sottosuccessione deve esistere n0∈ N tale che f(xn) = y per ogni n ≥ n0. Quindi la successione (xn)n≥n₀ è contenuta in f⁻¹(y) che per ipotesi è compatto e non può essere divergente contrariamente all’ipotesi fatta.

(c)⇒ (a) : Sia K un compatto in Y . Se per assurdo f⁻¹(K) non fosse compatto in X, esso conterrebbe una successione (xn) divergente in f⁻¹(K) ma divergente anche in X perché esso è chiuso in X. Ma (f (xn)) è una successione nel compatto K e non può quindi essere divergente; si è cos`ı contraddetto la (c) e la dimostrazione è conclusa.

Proposizione 16 Sia f : X → Y una applicazione propria. Se y ∈ Y ed U `e un aperto di X che contiene f⁻¹(y) , esiste un intorno V di y in Y tale che f⁻¹(V ) ⊂ U .

In altri termini : le immagini inverse di intorni di y costituiscono un sistema fondamentale di intorni per la fibra f⁻¹(y)

Dim. Sia K la famiglia degli intorni compatti di y in Y ; si ha allora T

K∈Kf⁻¹(K) − U = ∅. Essendo questa una famiglia di compatti, chiusa per intersezioni finite, se ne deduce l’esistenza di un K ∈ K tale che f⁻¹(K) − U = ∅ ossia f⁻¹(K) ⊂ U .

(14)

Orientazioni

Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Sull’insieme delle basi di V poniamo la seguente relazione di equivalenza: due basi sono equivalenti se la matrice quadrata che esprime gli elementi dell’una come combinazione lineare di quelli dell’altra ha determinante positivo. Si hanno due classi di equivalenza:

orientare V significa scegliere una di tali classi; le basi della classe scelta saranno dette orientate positivamente o positive. Orientare una varie`a differenziabile significa fissare una orientazione per ciascuno dei suoi spazi tangenti, in modo tale che all’intorno di ogni punto esista un sistema di coordinate locali il cui differenziale trasformi le basi scelte come positive nelle basi di Rⁿ che sono equivalenti (stessa orientazione) della base canonica di Rⁿ.

Una variet`a sar`a detta orientabile se esistono sue orientazioni; nel caso che essa sia connessa o non possiede orientazioni (non orientabile) o ne ammette esattamente due.

Punti e valori critici

Sia f : X → Y una applicazione differenziabile tra variet`a.

Un x0 ∈ X `e detto un punto critico per f se il differenziale df (x0) : Tx₀(X) → T_{f (x}₀₎₎(Y ) non `e surgettivo. Scrivendo f localmente tramite coordinate locali in x0ed in f (x0), la condizione di essere critico equivale all’essere il rango della matrice jacobiana (∂fi/∂xj) inferiore alla dimensione di Y (ossia il numero delle sue righe). Tale condizione equivale poi all’annullarsi dei determinanti di certe matrici: precisamente dei minori della matrice jacobiana di ordine dim(Y ).

Ne segue che l’insieme ∆ dei punti critici `e chiuso in X. Un punto y0 ∈ Y

`

e detto un valore critico per f se proviene da qualche punto critico, ossia se f⁻¹(y₀) ∩ ∆ 6= ∅. In generale l’insieme f (∆) dei valori critici non `e un chiuso in Y ; ci`o sara comunque vero nell’ipotesi che f sia propria.

Sistemi di equazioni di definizione

Siano Ω ⊂ R^n+p un aperto ed f : Ω → R^p una applicazione differenziabile. Se 0 ∈ R^p è un valore regolare per f , ossia se il differenziale di f è surgettivo in ogni punto ove f si annulla, allora X = f⁻¹(0) è una sottovarietà chiusa in Ω di dimensione n. In tal caso f o meglio le sue componenti f1, ..., fp saranno dette un sistema di equazioni di definizione per X in Ω e si ha:

Proposizione 17 Per ogni g : Ω → R differenziabile e nulla su X esistono h1, ..., hp differenziabili su Ω e tali che g = h1· f1+ ... + hp· fp

Dim. L’esistenza locale all’intorno dei punti di X di tali h_i segue dal teorema di divisione locale, utilizzando il fatto che localmente f₁, ..., f_p possono essere prese come parte di un sistema di coordinate; nei punti di Ω non in X, almeno una delle f_i, diciamo f₁, è diversa da zero: preso un intorno U di x ove f₁6= 0 si ha che g = (gf⁻¹) · f₁+ 0 · f₂+ ... + 0 · f_p. Quindi l’enunciato è vero localmente in ogni punto di Ω. Si globalizza nel modo seguente: esiste un ricoprimento aperto U di Ω tale che per ogni i ∈ I la g ristretta ad Uipuò essere scritta come h⁽ⁱ⁾₁ f1+ ... + h⁽ⁱ⁾p fp; sia (φi)i∈I una partizione dell’unità subordinata ad U e per

(15)

j ∈ {1, ..., p} si definisca hj =P

i∈Iφih⁽ⁱ⁾_j . Allora su tutto Ω si ha g = h1f1+ ... + hpfp. Osservazioni

1. La proposizione precedente vale nel caso pi`u generale che Ω sia una qualsiasi variet`a differenziabile: identica dimostrazione

2. Sia ancora f : Ω → R^p come sopra e sia data inoltre una funzione differenziabile f₀ : Ω → R tale che in ogni punto x ∈ Ω in cui f0(x) = f₁(x) = ... = f_p(x) = 0 il differenziale df₀(x) sia linearmente indipendente dai differenziali df₁(x), ..., df_p(x); ossia supponiamo che 0 ∈ R^p+1 sia un valore regolare per l’applicazione Ω 3 x 7→ (f₀(x), ..., f_p(x)) ∈ R^p+1.

Allora ∆ = {x ∈ Ω : f1(x) = ... = fp(x) = 0 , f0(x) ≥ 0} è una varietà a bordo di dimensione n chiusa in Ω. Infatti nelle ipotesi fatte all’intorno di ogni punto di ∆ esiste un sistema di coordinate locali in cui f0, ..., fp sono le prime coordinate; in un tale sistema ∆ diventa un aperto della varietà a bordo definita in R^p+1 da x1= ... = xp= 0 e x0≥ 0.

Famiglie di spazi vettoriali

Sia X ⊂ R^N una variet`a differenziabile di dimensione n.

Un sottoinsieme F di X ⊂ R^M `e detto una famiglia differenziabile di spazi vettoriali di dimensione p (o anche pi`u tecnicamente un fibrato vettoriale di dimensione p su X) se per ogni x₀∈ X esistono un aperto U ⊂ X contenente x₀ ed una applicazione differenziabile A : U → {matrici a M righe e M − p colonne } ≡ R^{(M −p)M} tali che:

1. la matrice A(x) ha rango M − p per ogni x ∈ U

2. F ∩ (U × R^M = {(x, v) ∈ R^N× R^M : x ∈ U , A(x)[v] = 0}.

L’applicazione π : F → X, restrizione della proiezione X × R^M → X, è detta proiezione del fibrato. Ogni sua fibra φ⁻¹(x0) sarà identificata al sottospazio vettoriale di dimensione p in R^M dato dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo A(x0)[v] = 0 e sarà indicata con Fx₀.

Esercizio. Si controlli che una definizione equivalente di fibrato vettoriale di dimensione p `e la seguente:

per ogni x₀ ∈ X esistono un suo intorno aperto U in X ed una applicazione differenziabile C : U × R^p→ {matrici a p colonne ed M righe} tali che:

F ∩ (U × R^M) = {(x, C(x)[v] : x ∈ U , v ∈ R^p}

Proposizione 18 Una famiglia F come sopra `e una sottovariet`a differenziabile di R^N× R^M di dimensione n + p

Dim. Per x0 ∈ X sia U un suo intorno aperto in X sul quale sia definita A : U → R^{(M −p)M} con le proprietà richieste sopra. A meno di restringere U si può supporre che sia U = Ω ∩ X ove Ω è un aperto in R^N, l’applicazione A

`

e estendibile differenziabilmente ad Ω e su Ω esista un sistema di equazioni di

(16)

definizione f : Ω → R^{N −n} per X ∩ Ω. Allora la parte di F che st`a in Ω × R^M `e il luogo di zeri dell’applicazione:

Φ : Ω × R^M 3 (x, v) 7→ (f (x), A(x)[v]) ∈ R^{N −n}× R^{M −p}

Baster`a quindi mostrare che dΦ ha rango massimo in ogni punto ove Φ sia annulla.

Ed infatti in tali punti la restrizione di Φ a R^N × {0} va surgettivamente su R^{N −n}× {0} (è l’ipotesi che f è un sistema di equazioni di definizione) e la sua restrizione a {0} × R^M va surgettivamente su {0} × R^{M −p}(è l’ipotesi sul rango di A(x) ); quindi dΦ è surgettiva.

Proposizione 19 Siano X ⊂ R^N una variet`a differenziabile di dimensione n e F ⊂ X × R^M un fibrato differenziabile di dimensione p.

Allora {(x, v) ∈ X × R^M : x ∈ X , v ∈ F_x^⊥} `e un fibrato differenziabile di dimensione M − p che sar`a detto fibrato ortogonale ad F e indicato con F^⊥ Dim. Utilizziamo la descrizione locale di F data nell’esercizio precedente.

Quindi F ∩ (U × R^M) = {(x, C(x)[v]) : x ∈ U , v ∈ R^p}.

Con facili considerazioni di algebra lineare si verifica che:

F^⊥∩ (U × R^M) = {(−^tC(x)[w], w) : x ∈ U, w ∈ R^{M −p}

Esempi di fibrati vettoriali

Siano Y ⊂ X sottovariet`a differenziabili in un R^N di dimensioni risp. n ed n+p.

Allora:

T (Y ) = {(y, v) ∈ R^N × R^N : y ∈ Y , v ∈ Tx(Y )}

`

e un fibrato differenziabile su Y di dimensione n che viene detto fibrato tangente ad Y .

N (Y, X) = {(y, v) ∈ R^N × R^N : y ∈ Y , v ∈ T_y(X) ∩ T_y^⊥(Y )}

`

e un fibrato differenziable su Y di dimensione p che viene detto fibrato ortogonale ad Y in X. Se X = R^N esso sar`a indicato semplicemente con N (Y ).

Intorni tubolari

Sia X ⊂ R^N una sottovariet`a di dimensione n. Per > 0 poniamo

D(X) = {x ∈ R^N : d(x, X) ≤ } N(X) = {(x, v) ∈ N (X, R^N) : ||v|| ≤ }

e consideriamo l’applicazione differenziabile Φ : N (X, R^N) → R^N definita dalla formula Φ(x, v) = x + v.

Teorema 20 Se X `e compatta, esiste ₀ > 0 tale che per ogni 0 < < ₀ l’applicazione Φ induce un diffeomorfismo tra la variet`a a bordo N(X) e D(X);

in particolare anche quest’ultimo `e una variet`a a bordo.

Per ogni x ∈ D(X) esiste uno ed un solo r(x) ∈ X tale che d(x, r(x)) = d(x, X) e l’applicazione r : D(X) → X ha la propriet`a seguente:

(17)

per ogni x₀ ∈ X esistono un suo intorno aperto U in X ed un diffeomorfismo h : r⁻¹(U ) → U × D (ove D `e il disco unitario in Rⁿ) che trasforma r nella proiezione di U × D in U . Le identificazioni tra r⁻¹(x) ed il disco D in due tali rappresentazioni locali sono date da trasformazioni lineari ortogonali dipendenti differenziabilmente da punto x

Dim. Per y ∈ R^N indichiamo con φy : R^N → R la funzione φy(x) =

||x − y||². Essendo X compatta, la sua restrizione ad X ha un minimo x0

e conseguentemente ha differenziale nullo in x0. Il differenziale di φy come funzione su R^N `e calcolabile con lo sviluppo:

φy(x0+ h) = ||x0+ h − y||²= ||x0− y||²+ 2 < x0− y, h > +||h||² che dà : dφ_y(x₀)[h] = 2 < x₀− y, h >. Quindi la restrizione di φy ad X ha un punto critico in x₀ se e solo se x₀− y = v è ortogonale a T_x₀(X); in tal caso (x₀, v) ∈ N (X, R^N) e Φ(x₀, v) = y. Se y ∈ D(X) allora ||v|| < e quindi si è mostrato che Φ : N(X) → D(X) è surgettiva per ogni > 0.

Vediamo ora che per sufficientemente piccolo, Φ ha differenziabile invertibile in ogni punto di D e quindi è una applicazione localmente invertibile. Basterà controllare che ciò è vero nei punti di X × {0} perché allora ciò sarà vero in qualche intorno di X × {0} e quindi su qualche N(X) perché questi ne costituiscono un sistema fondamentale di intorni. Avendo dominio e codominio la stessa dimensione basterà mostrare che per x ∈ X la Φ ha differenziale surgettivo nel punto (x, 0). Ciò segue immediatamente osservando che lo spazio tangente ad X in x è in tale immagine (perché Φ : X × {0} → X è un diffeomorfismo) ed anche il suo ortogonale (perché Φ applica {x} × Tx(X)^⊥ con un diffeomorfismo sul sottospazio affine ”ortogonale” ad X in x.

Resta quindi da mostrare che per sufficientemente piccolo, Φ è iniettiva su N(X). Ragioniamo per assurdo: per ogni n intero positivo, esistono quindi (x_n, u_n) 6= (y_n, v_n) in N_1/n(X) sui quali Φ assume gli stessi valori, ossia x_n+ u_n= y_n+ v_n. Per compattezza di X una sottosuccessione degli (x_n) con- vergerà ad un x₀∈ X; siccome u_n e v_n vanno a zero, anche gli y_n tenderanno ad x₀; quindi in ogni intorno di (x₀, 0) vi sono punti distinti (x_n, u_n) e (y_n, v_n) sui quali Φ assume gli stessi valori e ciò contrasta col fatto che in (x0, 0) la Φ è localmente invertibile.

Per 0 < < 0, chiameremo D(X) , l’intorno tubolare di raggio di X e r : D(X) → X sarà detta la proiezione ortogonale su X. Si noti inoltre che per tali , l’insieme S(X) = {x ∈ R^N : d(x, X) = } è una sottovarietà differenziabile di codimensione uno in R^N e r : S(X) → X è differenziabile e priva di punti critici (in termini tecnici si direbbe che è un fibrato differenziabile a fibra la sfera di dimensione N − n − 1 e gruppo strutturale il gruppo ortogonale).

Altra conseguenza: se X ⊂ R^N è una sottovarietà compatta (senza bordo), allora la funzione distanza da X è non solo continua su R^N ma il suo quadrato

`

e differenziabile in un intorno di X.

La nozione di intorno tubolare di una sottovarietà in R^N può essere esteso al caso di una sottovarietà X compatta in una varietà differenziabile M ⊂ R^N: si trova un intorno U di X in M diffeomorfo alla varietà compatta a bordo N

costituita dalle coppie (x, v) ove x ∈ X , ||v|| ≤ è un vettore che è tangente ad M in x ed è ortogonale allo spazio tangente ad Xin x; il diffeomorfismo

(18)

r : N→ U ⊂ M `e costruito associando prima ad (x, v) il vettore x + v ∈ R^N e proiettando poi questo nel punto di M a lui pi`u vicino.

Il teorema di fibrazione

Sia f : X → Y una applicazione differenziable tra varietà. Un punto x0∈ X è detto un punto critico per f se il suo differenziale df (x0) : Tx₀(X) → T_{f (x}₀₎(Y ) non è surgettivo. Scrivendo f in termini di coordinate locali scelte all’intorno di x0e di f (x0), i punti critici sono quelli in cui il rango della matrice jacobiana (∂fi/∂xjha rango inferiore alla dimensione di Y (quindi al numero delle righe di tale matrice). Ne segue che l’insieme deipunti critici, essendo localmente il luogo di zeri di certi determinati (i minori della matrice jacobiana di ordine dim(Y ))

`

e un sottoinsieme chiuso ∆ di X. La sua immagine f (∆), ossia l’insieme degli y ∈ Y tali che f⁻¹(y) contiene qualche punto critico, sono detti valori critici di f . In generale essi non costituiscono un chiuso di Y

Sia f : X → Y una applicazione differenziabile propria tra variet`a. Se y₀ ∈ Y

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e un valore regolare allora la fibra Xy₀ = f⁻¹(y0) è una varietà compatta, anzi siccome i valori regolari formano un aperto tutte le fibre Xy per y sufficientemente vicino ad y0 saranno varietà compatte. Mostreremo ora che tali varietà sono tutte diffeomorfe ad Xy₀.

Teorema 21 Sia f : X → Y una applicazione differenziabile propria e sia y0 ∈ Y un suo valore regolare. Esiste un intorno aperto U di y0 in Y ed un diffeomorfismo h : f⁻¹(U ) → U × Xy₀ tale che su f⁻¹(U ) si abbia p ◦ h = f essendo p : U × Xy₀→ U la proiezione canonica.

In altri termini l’applicazione f : f⁻¹(U ) → U `e diffeomorfa alla proiezione p : U × X_y₀ → U

Dim. Si può supporre Y = R^p e X ⊂ R^N. Fissiamo un intorno tubolare r : D(X₀) → X₀di X₀ in R^N e sia U ⊂ R^p un intorno aperto dell’origine tale che f⁻¹(U ) ⊂ D(X₀). Definiamo h : f⁻¹(U ) → X₀×U come l’applicazione che applica x in (r(x), f (x)). Per costruzione f = p ◦ h. Resta da mostrare che se U è sufficientemente piccolo, h è un diffeomorfismo. Ciò segue dalle asserzioni seguenti:

a. h induce un diffeomorfismo tra X0e X0× {0}

b. h è localmente invertibile nei punti x ∈ X0; basterà dimostrare che in tali punti il suo differenziale è surgettivo, perché dominio e codominio hanno la stessa dimensione.

Ed infatti in h(x) = (x, 0), lo spazio tangente ad X0× {0} `e nell’immagine per quanto detto in a. Considerando ora la proiezione di X0× U → U , l’immagine del differenziale di h contiene il nucleo del differenziale di p e viene applicato surgettivamente sullo spazio tangente in 0 ad U (infatti p ◦ h = f e x `e un punto regolare per f ).

Possiamo quindi supporre, rimpicciolendo eventualmente U che h sia localmente invertibile su tutto f⁻¹(U ). Ragionando per assurdo come si `e fatto per l’iniettivit`a nel teorema dell’intorno tubolare, si ottiene che:

c. si pu`o supporre che h sia iniettiva.

Resta da mostrare che per U opportuno, h è anche surgettiva. Si noti che h è propria; infatti essa è a valori in un prodotto ed una delle componenti (la f )

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e propria. Ne segue che Im(h) è un chiuso; ma Im(h) è anche aperto perché