La funzione h rappresenta il dato oggettivo, che lega le alternative alle conseguenze.

1 Modellizzazione di un problema di decisio- ne

X −→ E ^h −→ R ^u

L’insieme X ` e l’insieme delle alternative (scelte, decisioni, azioni...).

La funzione h rappresenta il dato oggettivo, che lega le alternative alle conseguenze.

Data l’alternativa x ∈ X, h(x) identifica la sua conseguenza.

La funzione u rappresenta la valutazione soggettiva che l’individuo d` a del risultato.

Data una conseguenza e ∈ E, u(e) identifica la valutazione che il decisore fa della conseguenza e

La composizione u(h(x)), che indicher` o con f (x), mappa direttamente la alternativa x nella sua valutazione.

Si noti. Stiamo considerando una situazione:

• DETERMINISTICA (non sono coinvolti elementi di rischio/incertezza)

• UNICO DECISORE (contrapposto al caso in cui siano presenti pi` u decisori)

• UNI-DIMENSIONALE (contrapposto ai problemi di decisione multi-

obiettivo)

Estensione. Considerare:

(X ₁ × X ₂ . . . × X _m ) × S −→ E ^h −→ (R × R . . . × R) ^u

X ₁ × X ₂ . . . × X _m ci permette di considerare pi` u decisori S ci consente di tenere presenti gli aspetti non deterministici

R × R . . . × R ci permette di considerare sia il caso di pi` u decisori che di

pi` u criteri

Cominciamo col caso delle decisioni in condizioni di rischio o incertezza.

Consideriamo:

(X × S) −→ E ^h

Gli elementi di S li interpretiamo come “stati di natura”

X \

\ S s ₁ . . . s _r

x ₁ . . .

. . .

x _m . . .

Riempiamo la tabella con le conseguenze:

X \

\ S s ₁ . . . s _r x ₁ e ₁₁ . . . e _1r . . .

x _m e _m1 . . . e _mr

e ij rappresenta la conseguenza della azione “i” e dello stato di natura “j”

Se vogliamo mettere in evidenza il legame esistente tra scelte e stati di natura da una parte e conseguenze dall’altra, possiamo usare la funzione h:

X \

\ S s ₁ . . . s _r

x ₁ h(x ₁ , s ₁ ) . . . h(x ₁ , s _r ) . . .

x _m h(x _m , s ₁ ) . . . h(x _m , s _r )

Introduciamo la valutazione del decisore, ovvero u : E −→ R:

X \

\ S s ₁ . . . s _r x ₁ u(e ₁₁ ) . . . u(e _1r ) . . .

x _m u(e _m1 ) . . . u(e _mr )

Possiamo sintetizzare, usando la funzione f : X × S −→ E ^h −→ R ^u

X × S −→ R ^f

X \

\ S s 1 . . . s r

x ₁ f (x ₁ , s ₁ ) . . . f (x ₁ , s _r ) . . .

x _m f (x _m , s ₁ ) . . . f (x _m , s _r )

Un primo esempio di aggregazione:

VALORE ATTESO

Ad ogni alternativa x ∈ X associamo:

r

X

k=1

p(s k )f (x, s k )

Il fattore p(s _k ) indica la probabilit` a che assegniamo allo stato s _k . Due casi:

- rischio (la probabilit` a ` e oggettiva)

- incertezza (la probabilit` a ` e soggettiva)

Vediamo ora il caso delle decisioni in cui vi siano pi` u criteri. Consideria- mo:

X −→ E ^h −→ (R × R . . . R) ^u

Riscriviamo la tabella “vuota”:

X \

\ S s ₁ . . . s _r

x ₁ . . .

. . .

x _m . . .

Riempiamo la tabella con le conseguenze:

X \

\ S s ₁ . . . s _r x ₁ e ₁₁ . . . e _1r . . .

x _m e _m1 . . . e _mr

Qui le varie colonne possono rappresentare:

- i vari soggetti (“stakeholders”)

- i vari criteri (decisione multi-obiettivo) - i vari “tempi” (decisioni finanziarie)

e _ij rappresenta la conseguenza della azione “i” per “j”

Se vogliamo mettere in evidenza il legame esistente tra scelte e stati di natura da una parte e conseguenze dall’altra, possiamo usare la funzione h:

X \

\ S s ₁ . . . s _r x ₁ h ₁ (x ₁ ) . . . h _r (x ₁ ) . . .

x m h 1 (x m ) . . . h r (x m )

Introduciamo le valutazione dei decisori, ovvero i vari criteri, ovvero le valu- tazioni ai vari tempi u _j : E −→ R:

X \

\ S s ₁ . . . s _r x 1 u 1 (e 11 ) . . . u r (e 1r ) . . .

x _m u ₁ (e _m1 ) . . . u _r (e _mr )

Possiamo sintetizzare, usando le funzioni f j : X −→ E ^h −→ R ^u

X × S −→ R ^f

X \

\ S s ₁ . . . s _r x ₁ f ₁ (x ₁ ) . . . f _r (x ₁ ) . . .

x m f 1 (x m ) . . . f r (x m )

Altri due esempi di aggregazione:

VALORE ATTUALE

Ad ogni alternativa x ∈ X associamo:

r

X

k=1

ν ^k f k (x)

ν indica il fattore di sconto, e pertanto il fattore ν ^k indica quanto vale “ora”

una somma monetaria in entrata o uscita al tempo (“anno”) k.

SCALARIZZAZIONE IN OTTIMIZZAZIONE MULTI-CRITERIO Ad ogni alternativa x ∈ X associamo:

r

X

k=1

α k f k (x)

α _k indica il “peso” che assegniamo allo “stakeholder” k, ovvero al criterio k.

X

- 6

asse 1 asse 2

s x

- - s

(f ₁ (x), f ₂ (x))

s

-

- s

s

-

- s

Vediamo i valori ottenuti:

- 6

asse 1 asse 2

s

(f ₁ (x), f ₂ (x))

s

s -

6

inefficiente!

Vediamo i valori ottenuti:

- 6

asse 1 asse 2

s s

H H H

H H H

H H H H

s D

D D

D DD D D D D DD

s q q

q q

qqqq

Vediamo in figura la scelta di due sistemi diversi di pesi. Naturalmente,

l’uso di sistemi di pesi diversi pu` o avere come effetto che vengano scelte delle

alternative diverse.