y = ln f ( x ) f ( x ) ev )0 ;(

Copyright © Zanichelli MATutor 2010 (6163) ANNO SCOLASTICO 2009 – 10

SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL’ESAME DI STATO INDIRIZZO: SCIENTIFICO CORSI SPERIMENTALI

Il candidato risolva uno dei problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1

Si consideri la funzione:

  

≥ +

+

<

<

−

= + ₋

0 se )

(

0

se ) ) ln(

( ₂

x a

e bx x

x e e

x x

f _x

a) Si calcoli il valore di a e di b in modo che la funzione risulti continua nel suo dominio e che il grafico di f(x) passi per il punto P(2; 1).

b) Si studi e si rappresenti il grafico della funzione che si ottiene per i valori di a e b determinati.

c) Si calcoli l’area della regione illimitata compresa tra il grafico di f(x), il suo asintoto e la retta di equazione x = 2.

d) Si calcoli il volume del solido che si ottiene facendo ruotare di un giro completo intorno all’asse x la regione finita di piano del secondo quadrante compresa tra il grafico di f (x) e gli assi cartesiani.

e) Si esegua una traslazione di vettore v (e ; 0 ) della funzione y = ln( x + e ) e, applicando uno dei metodi di integrazione numerica, si calcoli un valore approssimato dell’area della regione compresa tra il grafico della funzione ottenuta e l’asse x nell’intervallo [1; 3] e lo si confronti con il valore esatto dell’integrale.

PROBLEMA 2

Data la funzione di equazione f (x) = ax + 4 x ² + x :

a) si determini il valore di a per cui f (x) ammette un flesso F di ascissa − 1 2 .

b) si studi e si rappresenti il grafico γ della funzione che si ottiene per il valore di a trovato e si dimostri che F è il centro di simmetria di γ ^.

c) Considerata la parabola con l’asse parallelo all’asse y, con il vertice nell’origine del sistema di riferimento e passante per il punto P del primo quadrante in cui γ ha come tangente la retta di equazione 5x + y −11 = 0, si calcoli l’area della regione finita di piano delimitata dalla parabola, dal grafico γ e dalle rette di equazione y = 0 e x = 2.

d) La parte di piano delimitata dalla parabola, dall’asse x e dalla retta di equazione x = 1 è la base di un solido S le cui sezioni su piani perpendicolari all’asse x sono triangoli equilateri.

Si determini il volume di S.

e) Si rappresenti il grafico di y = ln f (x) .

Copyright © Zanichelli MATutor 2010 (6163) QUESTIONARIO

1. Si deve formare una delegazione di 5 rappresentanti scelti in un gruppo di 12 ragazzi. Lisa e Valentina vogliono farne parte insieme oppure essere escluse entrambe. Enrico e Davide, invece, non vogliono parteciparvi insieme. In quanti modi si può scegliere la delegazione?

2. Una sfera e un cono equilatero hanno la stessa superficie. Trova il rapporto tra i loro volumi.

3. Si determini, se esiste, il limite: lim

x→ 0

4 x + cos tdt

0 2x

∫

ln(x +1) .

4. Si dimostri che la funzione f ( x ) = x ⁵ + x ³ + x è invertibile. Detta g (x ) la funzione inversa, si determini l’equazione della tangente a g(x) nel suo punto di ascissa 3.

5. Da un’urna contenente 10 sferette uguali ma numerate da 1 a 10 se ne estraggono

simultaneamente tre. Si esprima la probabilità P (n ) che il maggiore dei tre numeri estratti sia uguale a n con 3 ≤ n ≤ 10 . Qual è la probabilità che tale numero sia 5 oppure 8?

6. E’ data la funzione: ^{F x =} ∫ ^x ₊ ^dz _z

1

1 3

)

( , x ∈ [ 1 ; + ∞ [ .

Si stabilisca se ammette flessi e se è biunivoca. Si determini l’equazione dell’eventuale tangente nel punto di ascissa x = 1 .

7. In un riferimento cartesiano ortogonale si rappresenti l’insieme Σ dei punti ( x ; y ) per i quali risulta ² 0

1

>

− y

e ^x .

8. Si dimostri che l’equazione

x x 1

ln = ha una sola soluzione. Utilizzando una procedura di calcolo numerico si trovi un valore approssimato con tre cifre decimali certe.

9. Si dimostri che la curva di equazione y = x ² − 2x − 1

6x − 3x ² presenta un asse di simmetria r

parallelo all’asse y. Effettuata una traslazione che porti r a sovrapporsi all’asse y, si verifichi che la funzione ottenuta è pari.

10. Si considerino la curva γ di equazione y = x −1

x − 2 e la retta r di equazione y = k(x − 1) .

Determinati i punti A e B di intersezione di γ e r, si scriva l’equazione del luogo geometrico

descritto dal punto medio M del segmento AB al variare di k e si rappresenti il grafico

corrispondente.