• Non ci sono risultati.

"#$%&' Ω [] [] cos b AB f 1;3 − 0; ( ≠ 1;1 x − 0 = ) 233 = = x #$%&% 55 − x bx 2 + 2 ln x + x a se se x x > ≤ 0. 0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi ""#$%&' Ω [] [] cos b AB f 1;3 − 0; ( ≠ 1;1 x − 0 = ) 233 = = x #$%&% 55 − x bx 2 + 2 ln x + x a se se x x > ≤ 0. 0"

Copied!
2
0
0

Testo completo

(1)

ANNO SCOLASTICO 2011 - 12

SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL’ESAME DI STATO INDIRIZZO: SCIENTIFICO CORSO PNI

Il candidato risolva uno dei problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.  

 

PROBLEMA 1

Sia ABC un triangolo con il lato BC di lunghezza unitaria e l’angolo A ˆBC di ampiezza 60°.

a) Posto AB = x, si determini il rapporto f(x) tra la misura del lato AC e il seno dell’angolo B ˆCA.

Indipendentemente dai vincoli geometrici del problema, si studi f(x) e se ne rappresenti il grafico g.

b) Si verifichi che il punto P di coordinate 0;−2 3 3

"

#

$ %

&

' è centro di simmetria per g.

c) Si determini l’equazione della retta tangente a g nel suo punto di ascissa t; al variare di t nell’intervallo ]0; 1[, considerati i triangoli che tale retta forma intersecando gli assi cartesiani, si trovi per quale valore di t si ottiene il triangolo di area minima.

d) Dopo aver individuato la retta r inclinata di un angolo di 60° rispetto alla direzione positiva dell’asse x e secante g nel suo punto di ascissa 3 −1, si calcoli l’area della regione di piano compresa tra la curva g, la retta r, l’asse delle ascisse e la retta di equazione x = 1.

e) Si determini l’intervallo di valori che può assumere il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.

PROBLEMA 2 È data la funzione

f (x) = −x2+ x + a se x ≤ 0 bx2ln x se x > 0.

#

$%

&%

a) Trovare i valori dei parametri reali a e b (con b ≠ 0) in modo che f(x) sia continua per ogni x di R e in modo che la tangente nel punto di ascissa 1 formi con la direzione positiva dell’asse x un angolo α tale che cosα = 5

5 .

b) Indicare se per i valori trovati di a e b, f(x) è anche ovunque derivabile, classificando gli eventuali punti di non derivabilità.

c) Studiare la funzione e disegnare il suo grafico γ.

d) Calcolare, utilizzando un metodo di integrazione numerica, un valore approssimato dell’area della regione compresa, nell’intervallo [ ]1;3 dell’asse delle ascisse, tra il grafico γ e l’asse x. Confrontare quanto ottenuto con il risultato del calcolo esatto.

e) Calcolare il volume del solido Ω che si ottiene dalla rotazione completa della parte di curva corrispondente all’intervallo [−1;1] dell’asse delle ascisse, attorno all’asse x.

(2)

QUESTIONARIO

1. 15 squadre partecipanti a un torneo devono essere distribuite in tre gironi A, B e C, ciascuno composto da cinque squadre. Le tre squadre classificatesi al primo posto l’anno precedente devono necessariamente essere collocate in gironi distinti. Calcola il numero complessivo di composizioni possibili dei tre gironi.

2. Dopo aver dato la definizione di cono e di cilindro equilateri, considerare una figura solida costituita dal cilindro equilatero inscritto in un cono equilatero assegnato.

Scelto a caso un punto P appartenente a una delle due superfici totali, calcolare la probabilità che P si trovi sulla superficie laterale del cono.

3. E’ data la funzione definita dall’integrale: F x( )= t

arcsen t2

( )2+1

x

2 2

dt.

Si individui il dominio della funzione integranda e si dimostri che tale funzione è dispari. Si determini inoltre l’equazione della retta tangente al grafico di F(x) nel punto di ascissa

2

= 2

x .

4. In un sistema di riferimento cartesiano xOy, si consideri la parabola di equazione y = x2− 4x + 4 che interseca gli assi cartesiani nei punti A e B. Si tracci la retta tangente in un qualunque punto dell’arco AB e, considerato il triangolo che tale retta forma con gli assi cartesiani, si trovi il volume massimo del solido che il triangolo genera in una rotazione completa attorno all’asse x.

5. Determinare il volume del solido avente come base la regione di piano sottesa nell’intervallo [1; 2]

dalla curva di equazione ( )

x x

f 1

= , e le cui sezioni, ottenute con piani perpendicolari all’asse x, siano semicerchi di diametro f(x).

6. Stabilire per quale insieme di punti del piano cartesiano l’espressione e2x y2 esiste e fornirne la rappresentazione grafica.

7. Per giungere a un appuntamento con un’amica, Veronica sceglie in modo del tutto casuale tra una bicicletta, con cui percorre il tragitto in 30 minuti e ha una probabilità di ritardo pari al 15%, e un’automobile, con cui percorre il tragitto in 10 minuti e ha una probabilità di ritardo pari al 25%.

Supponendo che, indipendentemente dal mezzo scelto, Veronica sia uscita con l’intenzione di arrivare a destinazione puntuale ma non ci sia riuscita, qual è la probabilità che abbia scelto l’automobile?

8. Determinare il numero degli zeri della funzione: ( )

2

2 1

=e e x

x

f x .

Scelto il più piccolo, trovare un suo valore approssimato attraverso uno dei metodi numerici studiati, con un errore inferiore a 0,01.

9. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse y del cerchio avente come perimetro la circonferenza di equazione x2 +y2 2x=0.

10. Determinare il valore di a]1 ;3[ per il quale la funzione:

f x( )=

ea-x se x < a x2+ 1

1+ x se x ≥ a

"

#$

%$

soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo [-1;3].

Riferimenti