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Universit`a di Pavia Facolt`a di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Edile/Architettura

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(1)

Universit` a di Pavia Facolt` a di Ingegneria

Corso di Laurea in Ingegneria Edile/Architettura Correzione prova scritta

14 luglio 2011

1. Determinare le coordinate (x, z) del punto di intersezione con il piano y = 0 dell’asse centrale del seguente sistema di vettori applicati:

v 1 = 2e x + 2e y − 3e z applicato in P 1 − O ≡ (2, 0, 0), v 2 = −e x + e y + 2e z applicato in P 2 − O ≡ (1, −1, 2), v 3 = 2e x − 4e y + 3e z applicato in P 3 − O ≡ (0, 3, 0).

Il risultante di questo sistema `e R = 3e x − e y + 2e z ed il momento risultante rispetto ad O `e M O = 5e x + 2e y − 2e z per cui i punti Q del tipo Q − O = xe x + ye y + ze z stanno sull’asse centrale se e solo se soddisfano l’equazione

Q − O = 1

|R| 2 R ∧ M O + λR

ovvero, essendo R ∧ M O = −2e x + 16e y + 11e z , se e solo se verificano il sistema

 

 

 

 

x = − 1 7 + 3λ y = 8 7 − λ z = 11 14 + 2λ.

Posto y = 0, dalla seconda equazione del sistema si ottiene il corrispondente valore di λ = 8 7 che, sostituito nelle altre due equazioni fornisce le coordinate (x, z) del punto di intersezione richiesto:

x = 23

7 z = 43

14 . 2. Trovare il versore binormale della curva

p(t) − O = sin te x + e t e y + 4te z

nel punto corrispondente a t = 0.

Il versore binormale b `e definito da b = | ˙p∧¨ p ˙ ∧¨ p p | ed in questo caso dove

˙p(t) = cos te x + e t e y + 4e z e p(t) = − sin te ¨ x + e t e y , ponendo t = 0 si ha

˙p(0) = e x + e y + 4e z e p(0) = e ¨ y ,

(2)

per cui

b = −4e x + e z

√ 17 .

3. Un corpo rigido piano `e formato da un semidisco di massa 4m e raggio R e da una semicirconferenza di massa 7m e raggio R, disposti come in figura. Determinare il momento centrale di inerzia del corpo della direzione e x .

e x

e y

Rispetto all’asse centrale diretto come e x , sia il semidisco che la semicirconferenza contribuiscono come la met` a di un disco e di una circonferenza di masse doppie di quelle di partenza. Dunque

I G, e

x

= mR 2 + 7

2 mR 2 = 9 2 mR 2 .

4. In un piano verticale, un’asta AB di massa trascurabile e lunghezza 2ℓ reca due punti materiali fissati in A e B di masse, rispettivamente, 2m e 3m. Sull’asta `e mobile un altro punto materiale P di massa m, attirato verso il punto medio M di AB da una molla ideale di costante 3mg/ℓ. L’asta AB ha gli estremi vincolati ad altre due aste senza massa e di ugual lunghezza ℓ, incernierate a loro volta a due punti fissi O e Q, posti alla stessa quota e distanti 2ℓ tra loro. Introdotte le coordinate generalizzate ϑ ed s indicate in figura, determinare: l’energia cinetica del sistema; l’energia potenziale del sistema; i valori di ¨ ϑ(0) e ¨ s(0) se le condizioni iniziali sono ϑ(0) = π 6 , s(0) = 2 , ˙ ϑ(0) = p g

, ˙s(0) = 0.

b

A B

O Q

P

ϑ M

s e x

e y

g

I punti materiali concentrati in A e B si muovono lungo circonferenze di raggio ℓ centrate, rispettivamente in O e Q, con velcoit`a angolare ω = ˙ ϑe z . Introdotti i versori solidali ad OA: e 1 , diretto lungo A − O; e 2 , ortogonale ad e 1 e tale che e 1 ∧ e 2 = e z , possiamo scrivere il vettore posizione del punto P come

P − O = ℓe 1 + (ℓ + s)e x

da cui otteniamo

v P = ℓ ˙ ϑe 2 + ˙se x .

(3)

Se osserviamo che e x · e 2 = cos ϑ abbiamo che l’energia cinetica di tutto il sistema `e T = mℓ 2 ϑ ˙ 2 + 3

2 mℓ 2 ϑ ˙ 2 + 1

2 m[ℓ 2 ϑ ˙ 2 + ˙s 2 + 2ℓ ˙ ϑ ˙s cos ϑ] = 3mℓ 2 ϑ ˙ 2 + m

2 [ ˙s 2 + 2ℓ ˙s ˙ ϑ cos ϑ].

All’energia potenziale contribuiscono la forza peso e la forza elastica, quest’ultima pari a 3 2 mg

ℓ s 2 : V = −6mgℓ cos ϑ + 3

2 mg

ℓ s 2 . Possiamo ora scrivere la lagrangiana L = T − V

L = 3mℓ 2 ϑ ˙ 2 + m

2 [ ˙s 2 + 2ℓ ˙s ˙ ϑ cos ϑ] + 6mgℓ cos ϑ − 3 2

mg ℓ s 2 da cui ricaviamo le equazioni di moto di Lagrange

m¨ s + mℓ( ¨ ϑ cos ϑ − ˙ϑ 2 sin ϑ) = −3 mg ℓ s e

6mℓ 2 ϑ + mℓ(¨ ¨ s cos ϑ − ˙s ˙ϑ sin ϑ) = −mℓ ˙s ˙ϑ sin ϑ − 6mgℓ sin ϑ.

Inserendo le condizioni iniziali abbiamo il sistema

 

 

¨

s(0) + 2 3 ϑ(0) = −g ¨

√ 3

2 ¨ s(0) + 6ℓ ¨ ϑ(0) = −3g.

Se moltiplichiamo la prima equazione per 2 3 e le sottraiamo la seconda ricaviamo ϑ(0) = − ¨ 2g

ℓ 6 − √

3 21

che sostituita nella prima equazione del sistema permette di ricavare

¨ s(0) = g

7

 2 √ 3 − 8) 

.

5. In un piano che ruota attorno ad un asse fisso r con velocit`a angolare costante ω = 3 p g

R e y un filo omogeneo AB di densit` a lineare di massa 4m/R e lunghezza π 2 R `e appoggiato senza attrito su una semicir- conferenza di raggio R, simmetrica rispetto ad r (vedi figura). Sia ϑ l’angolo che l’orizzontale forma con il raggio del generico punto P del filo. Determinare, trascurando la gravit`a ed in condizioni di equilibrio rela- tivo, il valore della tensione nel punto generico P del filo, in funzione di ϑ. Supponiamo ora che sull’estremo B agisca una forza f di intensit` a γmg, tangente in B al supporto e sia ϑ A il valore di ϑ in A nella nuova configurazione di equilibrio. Trovare il valore di γ per cui ϑ A = π 6 ; trovare il massimo valore di γ per cui il filo pu`o stare in equilibrio giacendo tutto sul supporto.

In assenza della forza f , la tensione in A e B deve essere nulla. Poich´e l’unica forza attiva agente

sul filo nel riferimento non ineraizle `e quella centrifuga, che ha energia potenziale per unit`a di lunghezza

(4)

4

A B

P

f

ω

ϑ r

e x e y

v = − 1 2 λω 2 d 2 dove λ `e la densit` a lineare di massa del filo e d la distanza del generico punto del filo dall’asse r, la tensione in P risulta essere

τ (ϑ) = −18mg cos 2 ϑ + c (1)

con c costante di integrazione. I valori ϑ A e ϑ B = ϑ A + π 2 di ϑ nei punti A e B si ottengono imponendo τ (ϑ A ) = τ (ϑ B ) = 0 e questo richiede

cos 2 ϑ A = sin 2 ϑ A

cio`e che ϑ A = π 4 che significa che il filo si dispone simmetricamente rispetto ad r. Per determinare c imponiamo allora τ (ϑ A ) = τ ( π 4 ) = 0 ottenendo c = 9mg e dunque

τ (ϑ) = 9mg(1 − 2 cos 2 ϑ).

L’introduzione della forza f rompe la simmetria della configurazione di equilibrio del filo. Ora si riparte dalla (1), con le condizioni al contorno

τ (ϑ A ) = 0 τ (ϑ B ) = τ (ϑ A + π

2 ) = γmg.

Abbiamo allora il sistema 

−18mg cos 2 ϑ A + c = 0

−18mg sin 2 ϑ A + c = γmg

(2)

e sottratta la prima dalla seconda equazione, inserendo ϑ A = π 6 ricaviamo γ = 9.

Infine, il massimo valore di γ compatibile con l’equilibrio del filo all’interno del supporto si ottiene riprendendo il sistema (2) ma lasciando libero ϑ A . Sottraendo ancora la prima dalla seconda equazione di (2) si ottiene

γ = 18(cos 2 ϑ A − sin 2 ϑ A ) = 18 cos 2ϑ A ≤ 18

e dunque γ max = 18. Il massimo corrisponde dunque alla configurazione in cui ϑ A = 0.

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