Cambiamento parametri orbita ??

5.71. CAMBIAMENTO PARAMETRI ORBITA??

PROBLEMA 5.71

Cambiamento parametri orbita ??

Un pianeta di massa m é in orbita circolare (raggio R0) attorno ad una stella di massa M. Ad un certo istante la stella espelle verso l’esterno una parte∆M della sua mas- sa, concentrandola in un guscio sferico di raggio r(t)crescente. Supponendo di poter trascurare l’effetto dell’urto del materiale sul pianeta calcolare l’eccentricità dell’orbita quando r(t) >R₀. Si assuma M−^∆Mm.

Soluzione

Figura 5.54.: Il valore dell’energia totale in unità k/R₀(retta orizzontale tratteggiata) e del potenziale efficace (curva continua) dopo l’espulsione della massa in funzione di r/R₀. Le differenti curve si riferiscono a∆M/M=0 (nessuna espulsione, nero)∆M/M=1/4 (rosso)∆M/M=1/2 (verde)∆M/M=1 (massa completamente espulsa,blu). Notare che una intersezione è sempre a r= R₀.

212 versione del 22 marzo 2018

5.71. CAMBIAMENTO PARAMETRI ORBITA??

Per semplicità poniamo k=GMm e k⁰ =k−∆k con ∆k=G∆Mm. Possiamo scrivere l’energia del pianeta nella forma

E= ¹

2m˙r²+ ^L2 2mr²− ^k

r

Se la particella si trova in un’orbita circolare di raggio R₀allora

∂U_{e f f}

∂r (R₀) =− ^L2 mR³₀ + ^k

R²₀ =0 cioè

L² =kmR₀

Al momento in cui il guscio sferico di massa supera l’orbita il momento angolare non cambia, e la velocità radiale rimane nulla. Quindi l’energia vale

E⁰ = ^L

2

2mR²₀ − ^k0 R₀ = ^k

2R₀ − ^k0 R₀ e il nuovo potenziale efficace

U_{e f f}⁰ = ^L

2

2mr² − ^k_r⁰ = ^kR0 2r² −^k_r⁰

Il raggio massimo e minimo saranno determinati dalle soluzioni di E⁰ =U_{e f f}⁰ cioè k

2R0 − ^k0 R0

= ^kR0 2r² − ^k0

r Riordinando i termini abbiamo

kR₀ 2

 1 R²₀ − ¹

R²



=k⁰

 1 R₀ − ¹

R



Eliminando la soluzione banale R= R₀troviamo infine 1

R =

2k⁰ k −¹

 1 R₀ =



1−^2∆k_k

 1 R₀

Notiamo che è la variazione relativa della massa della stella. Se∆k/k < 1/2 ottenia- mo una nuova orbita ellittica, in caso contrario la nuova orbita è illimitata. Possiamo calcolare direttamente l’eccentricità usando la formula

e = r

1+^2E0L2 mk⁰² =

s

1+ ^2R0 k

 k 2R₀ − ^k0

R₀



= ^∆M M−^∆M

La formula conferma che abbiamo un ellisse per ∆M/M < 1/2, una parabola per

∆M/M= 1/2 ed un’iperbole per 1/2 <∆M/M< 1. Il caso∆M/M= 1 corrisponde ad una traiettoria rettilinea, dato che tutta la massa è stata espulsa e non vi sono più forze gravitazionali, che possiamo interpretare anche come iperbole degenere.

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