Lezione 3
Regole inferenziali
Dominanza dei connettivi
Convenzione:
‘’ ha la precedenza su '' e '', che hanno la precedenza su ‘↔' e ‘’. P.es.
p q r come p (q r) p q ↔ r come (p q)) ↔ r
Restano ambigui p.es.: p q r ; p q ↔ r
Esempio
Togliendo le parentesi inutili da
((p ↔ ((q) (r (p)))) ↔ (p p)) si ottiene
(p ↔ (q (r p))) ↔ (p p)
Ordinamento completo
Talora, per eliminare ogni ambiguità, si accetta il seguente ordinamento completo, con priorità a sinistra fra connettivi uguali:
‘’ '' '' ‘’ ‘↔'
Esempio
Usando l’ordinamento completo, si possono aggiungere le parentesi (inutili!) a significato invariato:
p ↔ q r p ↔ p p ottenendo
(p ↔ ((q) (r (p)) ↔ (p p))
Valutazione di forme enunciative
(p ↔ (q (r p)) ↔ (p p) p q r (
p ↔ (
q
(r p)) ↔ (p p)
V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Tautologia
(p q ((q r (p r
p q r (p
q ((q r (p r
V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
Contraddizione
[(p q ((q r (p r
Dire di più e dire di meno
Mettere in ordine di implicazione:
p, p p, p p, p q, p q
p q p p p p p p q p q V V
V F F V F F
p q p p p q p p q p p
V V V V V V F
V F V V V F F
F V V V F F F
F F V F F F F
Poniamo: ξ φ. Ossia se ξ è vera, allora anche φ è vera.
Quale dice di più?
Equivalenza fra forme enunciative
p (q r e (p q) (p r
p q r p (q r p q r (p q)
(p r
V V V V V V
V V F V V F
V F V V F V
V F F V F F
F V V F V V
F V F F V F
F F V F F V
F F F F F F
Che dire di: p (q r ↔ (p q) (p r)?
Regola generale di sostituzione
Se p ↔ q è una tautologia, allora:
p ↔ q p ↔ q
p q
_______ _______
q p
Regola generale di introduzione
Se p1 p2 … pn q è una tautologia, allora:
p1
p2
… pn
_______
q
Proprietà della congiunzione e della disgiunzione
p (q r ↔ (p q) (p r p (q r ↔ (p q) (p r
p (q r ↔ (p q) r p (q r ↔ (p q) r p q↔ q p
p q↔ q p
Legge di contrapposizione
(p q) ↔ (q p) p q p
q
q
p
q
p
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
e dunque:
(p q) (q p) _________ _________
(q p) (p q)
(p q) _______
(q p) ?
p q p q
q p
V V V V
V F F V
F V V F
F F V V
Leggi di de Morgan
Si confrontino i valori di verità di (p q ) e p q p q (p q
)
p q p
q
V V V V
V F V F
F V F V
F F F F
Si confrontino i valori di verità di (p q ) e p q p q (p q
)
p q p
q
e V V V
V F V F
F V F V
F F F F
I)
(p q ) ↔ p q,
o, in modo equivalente: p q ↔ (p q) II)
(p q ) ↔ p q,
o, in modo equivalente: p q ↔ (p q)
Modus (ponendo) ponens o regola del distacco
p q) p q p q
p
_______
q
Modus (tollendo) tollens
p q) q p p q
q
_______
p
Modus tollendo ponens o sillogismo disgiuntivo
p q) q p è una tautologia.
Dunque:
p q
q
_______
p
Elenco delle tautologie – regole inferenziali più interessanti
legge di identità p p p ↔ p legge della doppia negazione
p ↔ p
legge di idempotenza (p p) ↔ p (p p) ↔ p legge del terzo escluso p p
legge di non contraddizione
(p p)
leggi associative p (q r ↔ (p q) r p (q r ↔ (p q) r leggi commutative p q↔ q p
p q↔ q p
leggi distributive p (q r ↔ (p q) (p r p (q r ↔ (p q) (p r
legge I di De Morgan (p q ) ↔ p q, p q ↔ (p q) legge II di De Morgan (p q ) ↔ p q
p q ↔ (p q)
legge di negazione dell’implicazione
(p q) ↔ q p legge di contrapposizione
(p q) ↔ (q p)
legge di importazione (p [q r]) (p q r) legge di esportazione (p q r) (p [q r]) ex falso quodlibet sequitur
p (p q) p p q consequentia mirabilis (p p) p legge del sillogismo ipotetico
((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r)
Esercizi
Togliere parentesi inutili (ord. completo)
((p ↔ ((q) (r (p)))) ↔ (p p)) (((p) q) ↔ (r (s q)))
(((p) q) (r q))
Esprimere usando solo i connettivi e
p q p q p ↔ q
(p q) p p (q p)
Deduzioni
Cosa puoi dedurre da “ibis, redibis, non morieris in bello”?
a) se non tornerai, allora morirai in guerra b) o non tornerai o morirai in guerra.
c) andrai e non tornerai
d) se non andrai, non morirai in guerra e) andrai
Fai la negazione di “ibis, redibis, non morieris in bello”. Puoi dedurre la negazione di a) – e) ?
Questi sistema di enunciati possono essere veri?
I)
p) q r q) p → r r) p s s) p II)
p) p s q) s → p r) p ↔ q s) q
III)
p) r q) r → s r) q ↔ s s) p q IV)
p) q
q) r r) s s) p V)
p) q
q) r r) s s) p
Trovare equivalenze
1) q → p A) p → q
2) p → q B) (p ↔ q)
3) p q C) p q
4) p ↔ q D) (p → q)
5) (p q) E) p q
6) p q F) (p q) (q p) 7) (p q) (q p) G) (p → q)
Costruire dal nulla
Se ipotizzo che non esista nulla, allora esiste la mia ipotesi che non esiste nulla, quindi ………?
Supponiamo che non esista alcuna verità, quindi
………?
In base a quale principio logico?
