Capitolo 8 Forme quadratiche e loro applicazioni Marco Robutti

Capitolo 8

Forme quadratiche e loro applicazioni

Marco Robutti

Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia

Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare

Marco Robutti Capitolo 8

Definizione (Forma quadratica)

Un’applicazione Q : Rⁿ−→ R è detta forma quadratica reale su Rⁿ se Q (X ) è un polinomio omogeneo di secondo grado a coefficienti reali nelle componenti x₁, x₂, . . . , x_n del vettore X di Rⁿ.

Esempio

Q (X ) = q₁₁x₁²+ q₁₂x₁x₂+ q₂₂x₂²

Definizione (Forma quadratica)

Una qualsiasi forma quadratica può essere scritta nella forma:

Q (X ) =

n

X

j=1 j

X

i =1

qijxixj, qij ∈ R, ∀1 ≤ i ≤ j ≤ n.

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Definizione (Forma quadratica in forma matriciale) Qualsiasi forma quadratica può essere scritta in forma matriciale nel seguente modo:

Q (X ) = hX , AX i = X^TAX A ∈ M_R(n) simmetrica;

i coefficienti della matrice si trovano nel seguente modo:

aii = qii ∀i = 1, . . . , n aij = aji = 1

2qij ∀i 6= j, i , j = 1, . . . , n

Definizione (Forma canonica di una forma quadratica) Qualsiasi forma quadratica può essere scritta in una forma detta canonica. Infatti, siccome la matrice A ∈ M_R(n) è

simmetrica, per il Teorema spettrale è diagonalizzabile. Quindi, data la forma quadratica:

Q (X ) = X^TAX ,

è possibile determinare una base ortogonale di Rⁿcostituita da autovettori di A e quindi ∃ una matrice M tale che:

X = MX⁰,

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Definizione (Forma canonica di una forma quadratica) quindi si può riscrivere:

Q X⁰
= MX^0
TA MX⁰
= X^0TM^TAM

| {z }



∆

X⁰ = X^0T∆X⁰;

la forma Q (X⁰) = X^0T∆X⁰ è detta forma canonica in quanto in tale base Q (X ) è scritta come:

Q X⁰
= a₁₁x₁⁰²+ a₂₂x₂⁰²+ · · · + a_nnx⁰_n²,

grazie al fatto che ∆ è una matrice diagonale.

Definizione (Definizione di una forma quadratica) Sia Q (X ) : Rⁿ−→ R una forma quadratica reale.

1) Q è detta definita positiva se:

Q (X ) > 0, ∀X 6= 0_Rⁿ;

2) Q è detta definita negativa se:

Q (X ) < 0, ∀X 6= 0_Rⁿ;

3) Q è detta semidefinita positiva se:

Q (X ) ≥ 0, ∀X ∈ Rⁿ, ∃X 6= 0_Rⁿ | Q (X ) = 0;

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Definizione (Definizione di una forma quadratica) 4) Q è detta semidefinita negativa se:

Q (X ) ≤ 0, ∀X ∈ Rⁿ, ∃X 6= 0_Rⁿ | Q (X ) = 0;

5) Q è detta non definita se non si verifica nessuno dei casi precedenti. Ovvero se esistono X e Y in Rⁿ per cui si abbia:

Q (X ) > 0 e Q (Y ) < 0.

Definizione (Definizione di una forma quadratica (scritta in forma canonica))

Sia X^TAX una forma quadratica su Rⁿ, e sia, inoltre, Spec (A) = {α1, α2, . . . , αn}.

1) Q è detta definita positiva ⇐⇒ α_i > 0, ∀i;

2) Q è detta semidefinita positiva

⇐⇒ α_i ≥ 0, ∀i, ed esiste j tale che α_j = 0;

3) Q è detta definita negativa ⇐⇒ α_i < 0, ∀i;

4) Q è detta semidefinita negativa

⇐⇒ α_i ≤ 0, ∀i, ed esiste j tale che α_j = 0;

5) Q è non definita ⇐⇒ esistono un indice i e un indice j tali che α_i > 0 e αj < 0;

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Definizione (C.N.N.S per verificare se una forma quadratica è definita positiva)

Sia Q (X ) = X^TAX una forma quadratica su Rⁿ definita dalla matrice A. Se Q è definita positiva allora:

• det (A) > 0 (C.N.N.S) ;

• tr (A) > 0 (C.N.N.S) ;

Definizione (Teorema si Sylvester, o Criterio dei minori incapsulati)

Sia Q (X ) = X^TAX una forma quadratica su Rⁿ. Per ogni i = 1, . . . , n, si indichi con ∆_i il determinante della sottomatrice di ordine i di A ottenuto incrociando le prime i righe e le prime i colonne di A.

Q è definita positiva se e solo se ∆i > 0, per ogni i = 1, . . . , n.

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