2.2 Spazi Metrici La nozione di continuità di una funzione, che conosciamo fin dalla scuola superiore, è data con la famosa definizione ✏

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2.2 Spazi Metrici

La nozione di continuità di una funzione, che conosciamo fin dalla scuola superiore, è data con la famosa definizione ✏ di Weierstrass . Cerchiamo ora di ricordare quella definizione in un contesto leggermente più generale quello degli spazi metrici e fare alcune importanti considerazioni.

Distanza o Metrica

Definizione 2.2.1. Sia X un insieme. Una distanza (o metrica) d su X `e un’applicazione d : X⇥ X ! R

tale che per ogni x, y, z 2 X

1. d(x, y) 0 e d(x, y) = 0, x = y;

2. d(x, y) = d(y, x) (Simmetria);

3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (Disuguaglianza Triangolare).

Osserviamo che possiamo definire una distanza su un qualunque insieme X defindendo d(x, y) =

⇢ 0 se x = y 1 se x6= y Spazio Metrico

Definizione 2.2.2. Uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d è una metrica su X. Gli elementi di X sono detti punti

2.2.1 Esempi di spazi metrici

Esempio 1 Si consideri X =R e d(x, y) = |x y|. Verifichiamo che d `e una metrica su R. Osserviamo che le propriet`a 1. e 2. sono facilmente verificate. Verifichiamo 3. Siano x, y, z2 R dobbiamo verificare

d(x, y) d(x, z) + d(z, y) , |x y|  |x z| + |z y|.

Definiamo a := x z e b := z y, allora dobbiamo verificare che|a + b|  |a| + |b|. Eleviamo al quadrato ambo i membri dell’ultima disuguaglianza e otteniamo ab |a||b|, che `e verificata.

Esempio 2 [Metrica Euclidea] Pi`u in generale si consideri X =Rⁿ e come distanza la seguente:

d(x, y) =||x y|| = vu ut

Xn i=1

|xⁱ yi|²,

Dove x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn). In questo caso d `e detta la distanza euclidea la coppia (X, d) `e detta spazio euclideo. Verifichiamo che d definisce una metrica suRⁿ. Osserviamo che per come definita d valgono ovviamente 1. e 2. verifichiamo 3.

Siano x, y, z2 Rⁿ dobbiamo verificare

d(x, y) d(x, z) + d(z, y) , vu ut

Xn i=1

|xⁱ yi|² vu ut

Xn i=1

|xⁱ zi|²+ vu ut

Xn i=1

|zⁱ yi|².

(2)

Siano ai:= xi zi e bi:= zi yi, allora dobbiamo dimostrare che

⇣vuutXⁿ

i=1

|aⁱ+ bi|²⌘2

⇣vuutXⁿ

i=1

|aⁱ|²+ vu utXⁿ

i=1

|bⁱ|²⌘2

,

che `e equivalente a dimostrare la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz Xn

i=1

aibi vu ut

Xn i=1

|aⁱ|² vu ut

Xn i=1

|bⁱ|² ,

Xn i=1

aibi 2

Xn i=1

a²_i Xn i=1

a²_i.

Dimostriamo Cauchy–Schwarz. Introduciamo una funzione ausiliaria f : R ! R tale che f(u) :=

Pn

i=1(ai + ubi)² = Pn

i=1a²_i + 2uPn

i=1aibi + u²Pn

i=1b²_i. Questa è una parabola in u che non è mai negativa, quindi il suo discriminante  0, cioè

4 Xn i=1

aibi 2 4

Xn i=1

a²_i Xn

i=1

b²_i.

Esempio 3 Sia X =Rⁿ e definiamo la distanza d₁nel seguente modo d₁(x, y) = max

i=1,...,n{|xⁱ yi|}

Osserviamo che valgono le propriet`a 1. e 2. di una metrica. Per quanto riguarda 3. al solito definiamo ai:= xi zi e bi = zi yi. Dobbiamo dimostrare che

i=1,...,nmax |aⁱ+ bi|  max

i=1,...,n|aⁱ| + max

i=1,...,n|bⁱ|.

Osserviamo che vale|aⁱ+ bi|  |aⁱ| + |bⁱ| per ogni i e quindi in particolare per il massimo.

Esempio 4 [Metrica del Taxi] Sia X =Rⁿ e definiamo la distanza d1 nel seguente modo

d1(x, y) = Xn i=1

|xⁱ yi|

La dimostrazione del fatto che di sia una metrica si riduce all’esempio 1.

Metrica del Taxi

Esempio 5 [Post Office Metric] Sia X :=R²si fissi un punto p2 R²la posta. Definiamo dp: X⇥ X ! R, d(x, y) = d(x, p) + d(p, y).

Chiaramente d soddisfa tutte e tre le propriet`a di una metrica.

Lemma 2.2.3. Sia X =Rⁿ e si considerino le distanze definite su X negli esempi precedenti allora per ogni x, y2 Rⁿ vale

d₁(x, y) d(x, y)  d¹(x, y) n · d1(x, y).

(3)

Proof. La prima disuguaglianza si ottiene osservando che la somma nella distanza euclidea `e una somma di numeri positivi ed elevando al quadrato. La seconda si ottiene ricordando che se a e b sono due numeri reali positivi

(a + b)² a²+ b²,

quindi elevando al quadrato d(x, y) e d1(x, y) otteniamo la disuguaglianza. La terza disuguaglianza `e ovvia.

Pi`u in genrale ancora si ha.

Lemma 2.2.4 (Disuguaglianza di Minkowski). Siano a1, . . . , an, b1, . . . , bn numeri reali. Allora se p2 R, p 1, si ha

⇣Xⁿ

i=1

|aⁱ+ bi|^p⌘1/p

⇣Xⁿ

i=1

|aⁱ|^p⌘1/p

+⇣Xⁿ

i=1

|bⁱ|^p⌘1/p

.

Proof. Se p = 1 la tesi è immediata. Sia p > 1, la funzione f (x) = x^p soddisfa f⁰⁰(x) 0 su [0, +1), quindi è convessa, cioè soddisfa

f ( a + [1 ]b) f(a) + [1 ]f (b), a, b 0, 0  1. (2.1) Posto, per

A =⇣Xⁿ

i=1

|aⁱ|^p⌘1/p

, B =⇣Xⁿ

i=1

|bⁱ|^p⌘1/p

, e

a =|aⁱ|

A , b = |bⁱ|

B , = A

A + B, avremo, per i = 1, . . . , n,

|aⁱ+ bi| A + B

p |aⁱ| + |bⁱ| A + B

p

= f ( a + [1 ]b)

 f(a) + [1 ]f (b)

= A

A + B

|aⁱ| A

p+ B

A + B

|bⁱ| B

p.

La prima diseguaglianza segue dalla crescenza della funzione f (x) = x^p in [0, +1), la terza da (2.1).

Sommando queste n diseguaglianze otterremo 1

(A + B)^p Xn i=1

|aⁱ+ bi|^p A A^p(A + B)

Xn i=1

|aⁱ|^p+ B B^p(A + B)

Xn i=1

|bⁱ|^p

cio`e, essendo A^p= Pn

i=1|aⁱ|^pe B^p= Pn i=1|bⁱ|^p, 1

(A + B)^p Xn i=1

|aⁱ+ bi|^p 1 =) Xn i=1

|aⁱ+ bi|^p (A + B)^p

da cui

⇣Xⁿ

i=1

|aⁱ+ bi|^p⌘1/p

 A + B =⇣Xⁿ

i=1

|aⁱ|^p⌘1/p

+⇣Xⁿ

i=1

|bⁱ|^p⌘1/p

per la crescenza della funzione g(x) = x^1/p su [0, +1).

Osservazione 2.2.5. Se 0 < p < 1 la diseguaglianza di Minkowski non sussiste pi`u: si prenda p = 1 2, n = 2, a1= 1, a2= 2, b1= 3, b2= 4.

(4)

Definizione 2.2.6. Sia p2 [1, 1] := [1, +1) [ {1}. La mappa d^p:Rⁿ⇥ Rⁿ! R definita da

dp(x, y) = 8>

><

>>

: Xn i=1

|xⁱ yi|^p

!1/p

se 1 p < +1, max{|xⁱ yi|, 1  i  n} se p = 1,

dove x = (x1, . . . , xn)2 Rⁿ e y = (y1, . . . , yn)2 Rⁿ, `e una metrica suRⁿ. La diseguaglianza triangolare dp(x, z) d^p(x, y) + dp(y, z)

segue dalla diseguaglianza di Minkowski (cfr.Lemma 2.2.4).

• Osserviamo che la metrica euclidea standard `e la metrica d².

• Facilmente si vede che, per ogni p 2 [1, +1),

d₁(x, y) d^p(x, y) n^1/pd₁(x, y). (2.2) Da (2.2) segue subito che

p!+1lim dp(x, y) = d₁(x, y) che giustifica la notazione d₁.

Aperti in spazi metrici

Definizione 2.2.7. Sia (X, d) uno spazio metrico, un insieme U ⇢ X si dice aperto se per ogni x 2 U esiste un numero reale positivo ✏x e per ogni y2 X tale che d(x, y) < ✏^x allora y2 U.

Se consideriamo lo spazio metrico (R, d) dell’esempio 1. allora gli intervalli aperti (a, b) con a, b 2 R e le loro unioni sono degli insiemi aperti.

✏-Bolle

Definizione 2.2.8. Si consideri (X, d) uno spazio metrico. Sia x 2 X e ✏ un numero reale positivo.

L’insieme

B✏(x) :={y 2 X|d(x, y) < ✏}

`e detta la ✏-bolla di centro x e raggio ✏.

Osservazione 2.2.9. Osserviamo le relazioni tra ✏-bolle e aperti di uno spazio metrico (X, d).

1. Le ✏-bolle sono aperti per (X, d). Infatti sia B := B✏(x)⇢ X una ✏-bolla, preso un qualsiasi punto y2 B diverso da x, e sia ✏⁰ := d(x, y), allora si ha ✏⁰ ✏ e B^{✏ ✏}⁰(y)⇢ B. Infatti sia z 2 B^{✏ ✏}⁰(y), allora d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < ✏⁰+ ✏ ✏⁰= ✏.

2. Gli aperti non sono necessariamente palle aperte. Vale tuttavia il seguente lemma.

Lemma 2.2.10. Gli aperti di uno spazio metrico (X, d) sono unioni di ✏-bolle.

Proof. Sia A un aperto, per ogni x2 A esiste un numero reale positivo ✏ tale che B^✏(x)⇢ A. Quindi [

x2A

B✏(x) = A.

(5)

• Nel caso dell’esempio 1. le ✏-bolle B^✏(x) sono proprio gli intervalli aperti (x ✏, x + ✏).

• Nel caso dell’esempio 2 le ✏-bolle sono le sfere di raggio ✏ e centro x. Nella figura rappresentiamo il caso inR².

x

✏ B✏(x)

• Nell’esempio 4 in R²le ✏-bolle B✏(x) sono del tipo:

x

✏ ✏

Esercizio 2.2.11. SiaF la famiglia di aperti di uno spazio metrico (X, d), si dimostri che 1. X 2 F e ; 2 F;

2. l’intersezione di due aperti `e un aperto;

3. l’unione arbitraria di aperti `e un aperto.

Proof. Osserviamo che 1. e 3. sono ovvie. Dimostriamo 3. Siano A e B in F, dobbiamo dimostrare che A\ B 2 F. Dato che A e B sono aperti per ogni x 2 A e y 2 B esistono due numeri reali positivi

✏ e ✏⁰ tali che B✏(x) ⇢ A e B^✏⁰(y) ⇢ B. Sia ora zinA \ B allora B^✏(z) ⇢ A e B^✏⁰(z) ⇢ B. Sia ora := min{✏, ✏⁰}. Si ha che B (z) ⇢ A \ B.

Definizione 2.2.12. Due metriche d e d⁰ su un insieme X si dicono topologicamente equivalenti se gli aperti di (X, d) sono anche aperti per (X, d⁰) e viceversa. Cio`e se ogni ✏-bolla rispetto alla metrica d `e contenuta in una ✏-bolla rispetto alla metrica d⁰.

Definizione 2.2.13. Due metriche d e d⁰ su un insieme X si dicono equivalenti se esistono due numeri reali positivi m e M tali che valgano le seguenti disuguaglianze.

m· d(x, y)  d⁰(x, y) M · d(x, y) 8x, y 2 X.

Lemma 2.2.14. Sia X un insieme e d e d⁰ due metriche su X Se d e d⁰ sono equivalenti allora sono topologicamente equivelenti.

Proof. Ricordiamo che per ipotesi esistono due numeri reali positivi m e M tali che m· d(x, y)  d⁰(x, y) M · d(x, y) 8x, y 2 X.

(6)

Consideriamo ora x 2 X e una ✏-bolla B^d✏(x) nella metrica d. Per la seconda disuguaglianza vele B_✏^d(x)⇢ BM ✏^d⁰ (x). Infatti sia y2 B✏^d(x) si ha che d(x, y) < ✏ e quindi dato che d⁰(x, y) < M ✏ si ha che y2 BM ✏^d⁰ (x).

Viceversa osserviamo che B_m✏^d⁰ (x)⇢ B^d✏(x). Infatti se y2 Bm✏^d⁰ (x) allora d⁰(x, y) < m✏ e quindi per la prima disuguaglianza md(x, y) < m✏ e quindi d(x, y) < ✏.

Concludiamo usando il Lemma 2.2.10. Infatti gli aperti nella della metrica d sono contenuti in quelli della metrica d⁰ e viceversa.

Osservazione 2.2.15. Non vale il viceversa. ConsideriamoR con le seguenti due metriche: la metrica euclidea d e la matrica d⁰(x, y) := min{1, d(x, y)}. Chiaramente si tratta di metriche. Osserviamo che le palle aperte in una metrica sono le stesse dell’altra. Peró la distanza tra due punti nella metrica d⁰ è sempre più piccola di 1, quindi non esiste M 2 R⁺ tale che M d⁰(x, y) d(x, y) per ogni x, y2 R.

Funzioni Continue

Definizione 2.2.16. Siano (X, d) e (Y, d⁰) due spazi metrici. Una funzione f : X ! Y `e detta continua in x02 X, se 8✏ > 0 esiste ^✏> 0 tale che d⁰(f (x0), f (x)) < ✏ per ogni x2 X tale che d(x⁰, x) < .

Continuit`a negli spazi metrici

Teorema 2.2.17. Siano (X, d) e (Y, d⁰) due spazi metrici, inoltre sia f : X ! Y una funzione. Le seguenti proposizioni sono equivalenti.

1. La funzione f `e continua;

2. Per ogni insieme aperto U ⇢ Y , l’insieme f ¹(U ) `e un aperto di X.

Proof. (1.) 2.) Sia U ⇢ Y un insieme aperto e x un punto arbitrario in f ¹(U ). Per definizione di aperto e dato che f (x) 2 U esiste un numero reale positivo ✏f (x) tale che per ogni y⁰ 2 Y con d⁰(f (x), y⁰)  ✏f (x) allora y⁰ 2 U. Per definizione di continuit`a di f per ogni numero reale positivo ✏ esiste un numero reale positivo tale che per ogni f (y)2 X con d(x, y)  allora d⁰(f (x), f (y)) ✏. In particolare

f B (x) ⇢ B^✏f (x)(f (x))⇢ U,

ci`o implica B (x)⇢ f ¹(U ). Dato che x era arbitrario in f ¹(U ) abbiamo che f ¹(U ) `e un aperto.

Dato che U era arbitrario abbiamo provato la prima implicazione.

(2.) 1.) Sia ✏ un numero reale positivo e sia x 2 X. Per ipotesi l’insieme f ¹ B✏(f (x)) è un aperto di X. Quindi esisterà un numero reale positivo tale che B (x)⇢ f ¹ B✏(f (x) . Ma questo equvale a dire che se d(x, y) allora d⁰(f (x, f (y))) ✏ che è proprio la definizione di continuità.

Questo teorema è fondamentale perchè mostra che non è la metrica o distanza a determinare se una funzione fra due spazi metrici è continua o meno, bens`ı la famiglia di aperti che la metrica individua.

Quindi dato un insieme X se scegliamo una famiglia di sottoinsiemiF di X che dichiariamo insiemi aperti abbiamo un oggetto (X,F) che consiste in una coppia: insieme X, famiglia di aperti F. La continuit`a di una funzione f fra due oggetti (X,F) e (Y, G) potr`a essere quindi definita chiedendo che per ogni U2 G deve accadere che f ¹(U )2 F.

Questa costruzione e del tutto generale e dato che siamo interessati alla continuit`a possiamo astrarre e definire dei nuovi oggetti del tipo (X,F) che si diranno spazi topologici e che tratteremo nel prossimo capitolo.