Capitolo 2 Le leggi del decadimento radioattivo

(1)

Capitolo 2

Le leggi del decadimento radioattivo

2.1 Stabiltà e instabilità nucleare

Se analizziamo attentamente la carta dei nuclidi, vediamo che in essa sono rappresentati, oltre ai nuclei stabili, anche vari nuclei instabili. Con il termine instabile si intende definire un nucleo che spontaneamente subisce una trasformazione per raggiungere uno stato stabile (o più stabile). Così nuclei che nel piano N-Z hanno un eccesso di protoni rispetto a quanto previsto dalla curva di stabilità, tenderanno a “trasformare” un protone in un neutrone, e viceversa tenderanno a fare i nuclei con un eccesso di neutroni. Le trasformazioni spontanee più comuni sono:

• decadimento α

il nucleo emette una particella α, cioè un nucleo di Elio4. L’Elio è infatti molto stabile, avendo un valore B/A=7.07 MeV, molto alto rispetto a tutti gli altri nuclei leggeri.

• decadimento β^- n → p + e^- + ν

• decadimento β⁺ p → n + e⁺ + ν

• cattura elettronica ε p + e^- → n + ν

Le reazioni indicate sopra riguardano trasformazioni di singoli protoni e neutroni all’interno del nucleo: l’elettrone negativo o positivo (positrone) emesso si chiamano particelle beta, ma a parte l’origine nucleare, sono del tutto identici all’elettrone o positrone atomico. Nella cattura elettronica, un elettrone atomico (generalmente della shell K, più interna) avente una funzione d’onda sensibilmente diversa da zero nel volume del nucleo, viene catturato da un protone nucleare: le particelle si trasformano in un neutrone nucleare. La particella che si accompagna all’elettrone è il neutrino o l’anti-neutrino. Vedremo nel seguito in dettaglio questi decadimenti:

per ora vogliamo solo analizzarli dal punto di vista energetico, stabilire cioè mediante l’utilizzo delle tavole delle masse quali e quando sono possibili. Nei conti che seguono consideriamo nulla la massa del neutrino.

decadimento β^-: n → p + e^- + ^ν ν

+ β +

→ ₊Y ⁻ X _Z^A₁

ZA

Nel bilancio energetico vanno considerate le masse nucleari. Affinché la reazione avvenga deve ovviamente essere: m(Z,A) ≥ m(Z+1,A)+me

Tuttavia, nella maggior parte delle tabelle sono riportate le masse atomiche, non quelle nucleari. Risulta quindi utile ragionare in termini di masse atomiche.

Se aggiungiamo Zme ad entrambi i membri:

m(Z,A) + Zme ≥ m(Z+1,A) + (Z+1)me ossia: M(Z,A) ≥ M(Z+1,A)

Introducendo le masse atomiche abbiamo considerato legato anche lo (Z+1)-esimo elettrone (pochi eV).

(2)

decadimento β⁺: p → n + e⁺ + ν ν

+ β +

→ ₋Y ⁺ X _Z^A₁

ZA

Deve ovviamente essere: m(Z,A) ≥ m(Z-1,A)+me

m(Z,A) + Zme ≥ m(Z-1,A) + Zme + me = m(Z-1,A) + (Z-1)me +2me ossia: M(Z,A) ≥ M(Z-1,A) + 2me

Qui abbiamo invece considerato libero un elettrone che in effetti è legato (pochi eV).

cattura elettronica ε: p + e^- → n + ν ν

+

→ +e⁻ ₋Y

X _Z^A₁

ZA

Deve risultare: m(Z,A) + me ≥ m(Z-1,A)

Se aggiungiamo (Z-1)me ad entrambi i membri:

m(Z,A) + (Z-1)me + me = m(Z,A) + Zme ≥ m(Z-1,A) + (Z-1)me Ossia: M(Z,A) ≥ M(Z-1,A)

decadimento α

4 2 2 2 4 N AZ 2 A N

ZX → ⁻₋ Y ₋ + He

m(Z,A) ≥ m(Z-2,A-4) + m(⁴He)

m(Z,A) + Zme ≥ m(Z-2,A-4) +(Z-2)me + m(⁴He) + 2me

ossia: M(Z,A) ≥ M(Z-2,A-4) + M(⁴He)

trascurando la diversa energia di legame degli elettroni nei nuclei X,Y ed He

Riassumendo, e indicando al solito rispettivamente con M e m le masse atomiche e nucleari:

M(Z,A) –M(Z+1,A) > 0 m(Z,A) –m(Z+1,A) > me

decadimento β^- possibile M(Z,A) –M(Z-1,A) > 0

m(Z,A) + me ≥ m(Z-1,A)

cattura elettronica ε possibile M(Z,A) –M(Z-1,A) > 2me

m(Z,A) –m(Z-1,A) > me

decadimento β⁺ e cattura elettronica possibili M(Z,A) – M(Z-2,A-4) > M(⁴He)

m(Z,A) – m(Z-2,A-4) > m(⁴He)

decadimento α possibile

Vediamo qualche esempio.

Il neutrone è instabile per decadimento beta?

Dalle tavole ricaviamo che: mn > mp + me

e precisamente: mn = 939.5054 MeV, mp = 938.213 MeV, me = 0.511 MeV

(3)

pertanto il decadimento beta del neutrone isolato è possibile. In effetti si osserva sperimentalmente: la massima energia dell’elettrone emesso (per una trattazione più estesa si rimanda al capitolo che descrive in maggior dettaglio il decadimento beta) è appunto pari a: Temax = mn - mp - me = 0.781 MeV

23 12 11Na

Può avvenire qualche decadimento?

β^- : ²³₁₁Na₁₂ →₁₂²³Mg₁₁ +e⁻ +ν β⁺ : ²³₁₁Na₁₂ →²³₁₀Ne₁₃ +e⁺ +ν α : ²³₁₁Na₁₂ →¹⁹₉F₁₀ +α

Le masse dei nuclidi eventualmente coinvolti sono:

M(²³₁₁Na) = 21413.53 MeV M(²³₁₂Mg ) = 21417.59 MeV M(²³₁₀Ne ) = 21417.91 MeV M(¹⁹₉F) = 17695.82 MeV M(₂⁴He) = 3728.17 MeV

M(¹⁹₉F) + M(₂⁴He) = 21423.99 MeV

Facendo i conti, si vede che nessuno dei decadimenti è energeticamente possibile.

Pertanto, come c’era da aspettarsi, il nucleo Na²³₁₁ è stabile

Vediamo ora con un altro isotopo del sodio.

Na

22 11

Può avvenire qualche decadimento?

β^-: ²²₁₁Na →²²₁₂Mg+e⁻ +ν β⁺ : ²²₁₁Na →²²₁₀Ne+e⁺ +ν α : ²²₁₁Na →¹⁸₉F+α

Le masse dei nuclidi eventualmente coinvolti sono:

M(²²₁₁Na) = 20486.41 MeV M(²²₁₂Mg) = 20492.49 MeV M(²²₁₀Ne) = 20483.57 MeV M(¹⁸₉F) = 16766.73 MeV M(₂⁴He) = 3728.17 MeV

M(¹⁸₉F) + M(₂⁴He) = 20494.9 MeV

Facendo i conti, si vede che sono energeticamente possibili il decadimento β⁺ e di conseguenza la cattura elettronica ε.

Terzo esempio:

C

146

(4)

Dai conti sulle masse si ricava che il nucleo Carbonio 14 è instabile per decadimento β^- : ¹⁴₆C →¹⁴₇N+e⁻ +ν

La differenza delle masse vale:

M(¹⁴₆C) - M(¹⁴₇N) = 13043.132 - 13042.976 = 0.156 MeV

Pertanto la massima energia cinetica dell’elettrone emesso potrà valere 156 keV (vedi nel seguito le teoria del decadimento beta).

Ultimo esempio.

40K

β^- : ⁴⁰₁₉K→₂₀⁴⁰Ca+e⁻ +ν β⁺ : ⁴⁰₁₉K→⁴⁰₁₈A+e⁺ +ν ε : ⁴⁰₁₉K+e⁻ → ⁴⁰₁₈A+ν

I valori della masse atomiche sono i seguenti:

M(⁴⁰K) = 37223.95 M(⁴⁰Ca) = 37222.58 M(⁴⁰A) = 37222.41

Dai valori riportati si verifica che sono possibili sia il decadimento β^- che la cattura elettronica, che si osservano sperimentalmente. Per la verità è energeticamente possibile anche il decadimento β⁺, che però non si osserva (vedi il capitolo 5 sul decadimento beta per maggiori dettagli).

2.2 Le leggi del decadimento radioattivo

Già nel 1900 era nota la radioattività naturale e Rutherford e Solvay, studiando quantitativamente la variazione temporale di attività del Radio224. Crookes ottenne lo stesso andamento studiando la variazione di attività del Thorio234 (UX) riportato in figura 2.1

Le curve riportate nelle figure rappresentano degli esponenziali del tipo:

( )

O^X ^t

X t A e

A = ⁻^λ per il ThX o per l’ UX

( )

t AO

(

1 e ^t

)

A = − ⁻^λ per il Th o per l’U

Queste osservazioni portarono a formulare una teoria sul decadimento radioattivo:

la radioattività rappresenta un cambiamento dell’atomo individuale. Si tratta di un processo puramente statistico. nel senso che è impossibile prevedere in quale istante un certo nucleo si trasformerà, ma è possibile prevedere quanti nuclei saranno decaduti in media dopo un certo intervallo di tempo.

Sia NP(t) il numero di atomi “parents” radioattivi presente nel campione al tempo t.

Se i decadimenti sono indipendenti (nel senso che il decadimento di un atomo non influenza i decadimenti degli altri atomi della sorgente), il numero di atomi che decadranno in un intervallo di tempo dt è dato da:

( )

tdt N dN_P = −λ _P

(5)

dove

λ

, caratteristica di ogni nuclide radioattivo, è detta costante di decadimento, ed il segno meno sta a indicare che NP(t) decresce con il tempo.

Separando le variabili: dt N

dN

P P = −λ

che integrata dà appunto: NP

( )

t =NOe⁻^λ^t

NP(t) rappresenta il numero di nuclei radioattivi “parents” presenti al tempo t (non ancora decaduti), essendo NO il numero di atomi presenti al tempo t=0.

Si definisce attività di un campione il numero di decadimenti subiti nell’unità di tempo. Essa risulta quindi:

( ) ( )

dt t t dN

a = , dove il valore assoluto è necessario perché l’attività è definita positiva.

Risulta pertanto: a

( )

t = λNOe⁻^λ^tdt = λ⋅N_P

( )

t , cioè l’attività è proporzionale al numero di nuclei radioattivi presenti nel campione ed alla probabilità di decadimento per unità di tempo λ.

Allo stesso modo per quanto riguarda la formazione del nuovo elemento “daughter”, la variazione nel tempo dND/dt è la stessa ma di segno opposto:

( )

tdt N

dN_D = λ _P (infatti deve ovviamente essere: dNp+dND=0) Allora:

( )

tdt N e dt N

dN_D = λ _P = λ _O ⁻^λ^t

che risolta con la condizione che per t=0 era ND=0, dà:

( )

O

(

^t

)

D t N 1 e

N = − ⁻^λ

Fig. 2.1 andamento temporale delle quantità di Uranio (U) e Thorio (UX) in un campione radioattivo

(6)

Ovviamente ad ogni istante risulta: NP

( )

t +ND

( )

t =NO

λ è detta costante di decadimento ed ha le dimensioni dell’inverso di un tempo:

rappresenta la probabilità di decadimento per unità di tempo di ogni singolo atomo del campione τ = 1/λ è la vita media, il cui significato fisico è il seguente:

per t=τ risulta N

( )

τ = NOe⁻¹,e quindi:

( )

e 1 N N

O

τ = ; in un intervallo di tempo τ, il numero di atomi radioattivi, e quindi l’attività del campione si riduce di un fattore 1/e, circa 3.

τ è detta vita media: infatti, per trovare la media dei tempi di vita di tutti gli atomi, si deve calcolare:

∫

^∞ ⁻^λ

∞

τ λ =

= λ

=

>

<

0 O t 0 O

O

dt 1 e N N t

dN 1 N t

t 1

Si definisce tempo di dimezzamento T₁_/₂ il tempo nel quale il numero di atomi radioattivi, e quindi l’attività si dimezza.

(

^T

)

^N ^e ^N ²

N ₁_/₂ = _O ⁻^λ^T¹^/² = _O /

1

T 2

e⁻^λ ¹^/² = ⁻ , e quindi = τ

= λ

= λ2 0693 0693

T₁ ₂ ln . .

/

2.3 Decadimenti successivi. Famiglie radioattive

Supponiamo che anche i nuclei formati siano radioattivi, e quindi essi stessi decadano. Si potrà avere un decadimento a cascata del tipo:

X1 → X2 → X3 → ……→ XN

Vediamo un caso più semplice: X1 → X2 , con X2 stabile.

Bisogna risolvere il sistema di equazioni differenziali seguente:

( )

N

( )

t dt

t dN

1 1 = −λ1

( )

N

( )

t dt

t dN

1 2 = λ1

Dalla prima si ottiene subito:

( )

10 ^t

1 t N e ¹

N = ⁻^λ

che inserito nella seconda, dà:

( )

t N

( )

tdt N e dt dN₂ = λ₁ ₁ =λ₁ ₁₀ ⁻^λ¹^t integrando ambo i membri:

( ) ∫

∫

⁼ ^t^λ ⁻^λ

0 10 t 1 t

0

2 t N e dt

dN ¹

( )

20 10

(

^t

)

2 t N N 1 e ¹

N = + − ⁻^λ

Vediamo ora il caso: X1 → X2 → X3 , con X3 stabile.

Le equazioni differenziali da risolvere sono ora tre:

( )

N

( )

t dt

t dN

1 1 = −λ1

(7)

( )

N

( )

t N

( )

t dt

t dN

2 2 1

2 = λ1 −λ

( )

N

( )

t dt

t dN

2 3 = λ2

( )

10 ^t

1 t N e ¹

N = ⁻^λ

( )

N e N

( )

t

dt t dN

2 t 2

10

2 = λ1 ⁻^λ₁ −λ

( )

2 2

( )

1 10 ^t

2 N t N e ₁

dt t

dN ₋_λ

λ

= λ

+

moltiplicando per e^λ²^t:

( )

t 2

( )

1 10 ⁽ ⁾^t

2 2

t ₂ ₁ ₂

2 e N t N e

dt t

e^λ dN +λ ^λ =λ ⁻^λ ⁺^λ che si può riscrivere come:

( ( )

t

)

1 10 ⁽ ⁾^t

2 te ² N e ¹ ²

dt N

d λ =λ −λ +λ

Integrando:

( )

te N e⁽ ⁾ C

N ₁₀ ^t

1 2

1

2 ²t ¹ ² +

λ

− λ

= λ ⁻^λ ⁺^λ

λ

( )

10 ^t ^t

1 2

1

2 t N e ¹ Ce ²

N ⁻^λ + ⁻^λ

λ

− λ

= λ

Il valore della costante C si ricava sapendo che per t=0, N2 = N20:

20 10 1 2

1 N N

C +

λ

− λ

=

( )

10

(

^t ^t

)

1 2

1 20 t

2 t N e ² N e ¹ e ²

N ⁻^λ ⁻^λ − ⁻^λ

λ

− λ + λ

=

ricaviamo ora N3(t):

( )

^t ^N

( )

^t^dt ^N ^e ^dt ^N

(

^e ^e

)

^dt

dN ₁₀ ^t ^t

1 2

2 1 20 t

2 2

2

3 −λ² −λ¹ − −λ²

λ

− λ

λ + λ λ

= λ

=

( ) [ ]

^t

0 10 t

1 2

1 t

0 10 t

1 2 t 2

0 20 t 30

3 t N N e ² N e ¹ N e ²

N 



 



 λ

− λ + λ



 





λ

− λ

− λ +

− +

= ⁻^λ ⁻^λ ⁻^λ

Ossia:

( ) ( )

_



 





λ

− λ

− λ λ

− λ + λ +

− +

= ⁻^λ ⁻^λ ⁻^λ^t

1 2

2 t

1 2

1 10

t 20

30

3 t N N 1 e ² N 1 e ² e ¹

N

Nel caso particolare che per t=0 sia N20 = N30 = 0:

( )

10 ^t

1 t N e ¹

N = ⁻^λ

( )

10

(

^t ^t

)

1 2

2 t 1 N e ¹ e ²

N ⁻^λ − ⁻^λ

λ

− λ

= λ

( )

_



 





λ

− λ

− λ λ

− λ + λ

= ⁻^λ ⁻^λ^t

1 2

2 t

1 2 10 1

3 t N 1 e ² e ¹

N

Naturalmente risulta N3(0) = 0 per qualsiasi valore di N10.

(8)

In generale, per una catena di decadimenti, si scrivono le seguenti equazioni differenziali:

( )

N

( )

t dt

t dN

1 1 = −λ1

( )

N

( )

t N

( )

t dt

t dN

2 2 1

2 = λ1 −λ

( )

N

( )

t N

( )

t dt

t dN

3 3 2

2

3 = λ −λ

...

( )

N

( )

t

dt t dN

1 N 1 N N

−

λ −

=

Se per t=0 si ha: N20 = N30 = ….. = NN0 = 0, si può scrivere:

( )

i t iⁱ ^t

2 t i

i t C1e ¹ C e ² Ce ⁱ

N = ⁻^λ + ⁻^λ +....+ ⁻^λ dove:

(

2 1

)(

3 1

) (

i 1

)

1 i 2 i 1

C1

λ

− λ λ

− λ

λ λ

= λ ⁻

...

(

1 2

)(

3 2

) (

i 2

)

1 i 2 i 1

C2

λ

− λ λ

− λ

λ λ

= λ ⁻

...

(

1 i

)(

2 i

) (

i1 i

)

1 i 2 i 1

Ci

λ

− λ λ

− λ

λ λ

= λ

−

...−

...

ovviamente essendo λN = 0 (nucleo stabile).

Consideriamo di nuovo il caso: : X1 → X2 → X3 , con X3 stabile.

e supponiamo che sia: λ₁ <<λ₂ (ossia τ₁ >>τ₂). Allora:

( )

^t ^N

(

^e ^e

)

^N ^e ^N

^{( )}

^t

N ₁

2 1 10 t

2 1 t 10 t

1 2

2 1 ¹ ² ¹ λ

= λ λ

≈ λ λ −

− λ

= λ ⁻^λ ⁻^λ ⁻^λ

Ossia:

( )

t N

( )

t

N₁ ₂ ₂

1 = λ

λ e quindi: a₁

( )

t = a₂

( )

t Se in generale nella catena radioattiva risulta:

λi << λi+1 , λi+2 , …λN-1

per tutti i nuclei che seguono l’i-esimo decadimento vale la relazione:

ai(t) = ai+1(t ) = ….. = aN-1(t )

e si dice che i nuclidi si trovano in condizioni di “equilibrio secolare”.

Naturalmente, se la condizione è vera a partire dal capostipite, cioè se:

λ1 << λi, per ogni “i”

tutta la catena radioattiva si trova in equilibrio secolare. Per gli elementi naturali (vedi Uranio, Torio, Radio, ..) è vera quest’ultima condizione perché gli eventuali capostipiti a vita media breve, dal momento della loro formazione sarebbero ormai decaduti.

(9)

2.4 Esercizi sui decadimenti radioattivi

L’unità di misura dell’attività è il Bequerel (Bq), pari a un decadimento al secondo.

molto usata tutt’oggi è la vecchia unità, il Curie (Ci)

1 Ci = 3.7 10¹⁰ disintegrazioni al secondo. L’origine storica di questo valore è dovuta al fatto che il Curie è l’attività di un grammo di ²²⁶Ra

1 Bq = 2,7 10^-11 Ci 1 Ci = 3.7 10¹⁰ Bq Abbiamo visto che l’attività è data da:

dt N a = dN =λ

Il numero di atomi N in un campione di massa W e peso atomico A, si ricava dal relazione: W : N = A : NAv dove NAv è il numero di Avogadro.

Pertanto:

NAv

A

N= W e:

A T

N W 693 0 A N N W

A N W a

2 1

Av Av Av

/

= .

= τ λ

= λ

=

Vediamo ora alcuni esempi.

Calcolare la massa di ²¹⁴Pb corrispondente all’attività di 1 Ci.

Il ²¹⁴Pb decade β^- con un tempo di dimezzamento T1/2 = 26.8 min (τ =38.7 min = 2.32 10³ sec; λ=4.32 10^-4 sec^-1 )

ng 30 g 10 05 0 3

31 4 10 02 6

214 10

7 3 N

A

W a ₂₃¹⁰ ₄ ⁸

Av

=

⋅ =

= ⋅

= λ ₋ . ⁻

. .

.

Vediamo ora nel caso di 1 Ci di ²³⁸U:

l’ U-238 decade α con un tempo di dimezzamento T1/2= 4.51 10⁵ y (pertanto risulta λ=4.9 10^-14 sec^-1 )

g 10 910 3

4 10 02 6

238 10

7 3 N

A

W a ₂₃¹⁰ ₁₄ ²

Av

⋅

⋅ =

= ⋅

= λ ₋

. .

.

Vediamo a che massa corrisponde 1 Ci di ²⁴Na T1/2= 14.8 h, λ=1.3 10^-5 sec^-1

W = 1.1 10^-7 g =0.1 µg

e a che massa corrisponde 1 Ci di ³²P:

T1/2= 14.5 d, λ =5.5 10^-7 sec^-1 W = 3.6 10^-6 g

Naturalmente, per 1 Ci di ²²⁶Ra otteniamo:

Il ²²⁶Ra decade α con un tempo di dimezzamento T1/2= 1620 y (pertanto risulta

λ=1.36 10^-11 sec^-1 ) 102g

3610 1 10 02 6

226 10

7 3 N

A

W a ₂₃¹⁰ ₁₁

Av

. .

. . ₌

⋅

= ⋅

= λ ₋

(10)

Determinare il peso in grammi di una sorgente di ⁶⁰Co da 5000 Ci, supponendo che sia costituita esclusivamente di atomi radioattivi.

Il ⁶⁰Co decade β^- con T1/2= 5.26 y (pertanto risulta: λ =4.2 10^-9 sec^-1 ) g

4 10 4

2 4 10 02 6

60 10 7 3 10 5 N

A

W a ³ ₂₃ ¹⁰ ₉

Av

. . .

. ₌

⋅

= ⋅

= λ ₋

Trovare la variazione oraria di massa di una sorgente di 1 Ci di ²¹⁰Po

Il ²¹⁰Po decade α in ²⁰⁶Pb con T1/2= 138.4 d (pertanto risulta λ =5.79 10^-8 sec^-1). Il

206Pb è stabile.

Dobbiamo calcolare quanti atomi di ²¹⁰Po decadono in un’ora.

Poichè l’intervallo di un’ora è molto breve rispetto a T1/2, possiamo con ottima approssimazione considerare costante l’attività della sorgente durante l’intervallo di un’ora e scrivere:

t N dt

a dN

∆

= ∆

= ∆N = a∆t = 3.7⋅10¹⁰⋅3600 = 1.33⋅10¹⁴

Ad ogni decadimento un nucleo di ²¹⁰Po si trasforma in un nucleo di ²⁰⁶Pb più una particella α. La variazione di massa è pari a:

m = Mfin-Miniz = M(α)+M(²⁰⁶Pb)-M(²¹⁰Po) = 4.00+206.04-210.05 = -0.01 amu = -1.67 10^-26 g

cioè circa 1/100 della massa di un protone ! (1 amu = 1.67 10^-24 g) la variazione totale di massa sarà allora:

∆M = m∆N= 1,67⋅10^-26⋅1,33⋅10¹⁴= 2.22⋅10^-12g =2.2 pg

Notiamo che una sorgente da 1Ci di ²¹⁰Po ha una massa pari a:

g 10 2 7910 2

5 10 02 6

210 10

7 3 N

A

W a ₂₃¹⁰ ₈ ⁴

Av

−

− =

⋅

= ⋅

= λ .

. .

.

la variazione di massa oraria è quindi di una parte su 100 milioni.

Misura di vita media (o di costante di decadimento).

Per vite medie brevi è apprezzabile la variazione di attività della sorgente nel tempo. Si effettuano quindi più (almeno due) misure di attività della sorgente, distanziate tra loro di un certo intervallo di tempo. Indicando con ∆t la durata delle singole misure e con C1 e C2 i conteggi totali registrati in esse:

( ) ( )

0 ^t

(

^t

)

t t

1 atdt Ntdt N e 1 e

C ¹ ¹

1 1

1

∆ λ

− λ

∆ − +

∆ +

−

=

⋅ λ

=

∫ ∫

( ) ( )

0 ^t

(

^t

)

t t

2 at dt Nt dt N e 1 e

C ² ²

2 2

2

∆ λ

− λ

∆ − +

∆ +

−

=

⋅ λ

=

∫ ∫

dove t1 e t2 (ignoti) rappresentano il tempo trascorso tra un istante di riferimento e l’inizio delle due misure.

Facendo il rapporto:

(11)

(2 1)

2

1 t t

t t 2

1 e

e e C

C _λ ₋

λ

− λ

− =

= Ossia:

2 1 1

2 C

C t t

1 ln

= − λ

t2 -t1 rappresenta l’intervallo di tempo intercorso tra le due misure. S noti che, ai fini della determinazione della vita media, è sufficiente conoscere l’intervallo t2 -t1

e non i tempi assoluti.

Esempio. Una sorgente radioattiva viene misurata due volte per un tempo di misura

∆t=30 minuti a distanza di t2 -t1=24 ore. Si sono ricavati i seguenti valori:

C1 = 9800 e C2 = 7380. Calcolare il tempo di dimezzamento della sorgente.

1 6 2

1 1 2

s 10 28 7380 3

9800 86400

1 C

C t t

1 = = − −

= −

λ ln ln .

Pertanto: τ = 3.05⋅10⁵ s , e T1/2 = 2.11⋅10⁵ = 2.44 d.

Per vite medie lunghe, spesso non è apprezzabile la variazione di attività nel tempo.

Allora la misura della vita media, o della costante di decadimento, viene effettuata usando la relazione:

dt N

a= dN =λ N

= a λ

λ si determina allora da un’unica misura di attività e dalla conoscenza di N

Esempio: per trovare la vita media del ¹⁴⁷Sm si è usata una sorgente da 1.000±0.001 grammi e sono stati misurati a=680±4 decadimenti al secondo. Determinare la vita media del Samario con il suo errore

y 10 91 1 s 10 02 147 6

680

1 10 02 6 A a

W N a

N 23 18 11

Av . ₌ . ₌ .

⋅

= ⋅

=

= τ

L’indeterminazione relativa su τ è: ² ² ww aa



 



∆

 +



 



∆ τ =

τ

∆ = 6⋅10^-3

Quanto tempo è durata la misura ? Supponendo nullo l’errore sul tempo di misura, l’errore relativo sull’intensità di conteggi è dato proprio da ∆C/C = ∆a/a = 4/680 = 5.6⋅10^-3. E poiché l’errore assoluto di un conteggio è dato dal valore della radice quadrata del conteggio stesso (statistica di Poisson), avremo:

10 3

6 C 5 1 C

C C

C = = = ⋅ −

∆ . , ossia: C = 2.89⋅10⁴. E poiché C=a∆t, il tempo di misura risulta essere stato: ∆t = C/a = 42.5 s.

Avendo a disposizione 1 Ci di ²²⁶Ra (T1/2=1620 y), determinare quanto ²²²Rn (T1/2=8.32 d ) volatile si è formato in 5 anni. Valutare la quantità di Rn sia in grammi che in cm³ (in condizioni STP).

. ....

/

/ → →

 →

 ₌ Rn ₌ Po

Ra _T ₁₆₂₀_y ²²² _T ₈₃₂_d ²¹⁸

226

2 1 2

1

T1/2=1620 y λ1= 1.36⋅10^-11s

(12)

T1/2=8.32 d λ2= 9.64⋅10^-7s

( )

10

(

^t ^t

)

1 2

2 t 1 N e ¹ e ²

N ⁻^λ − ⁻^λ

λ

− λ

= λ

Ed essendo λ1 >> λ2:

( ) ( ) ( )

2 1 1

2 2 1

t t a

N t

N = λ

λ

= λ

W2 : N2(t) = A2 : NAv

( ) ( )

₁₄₂ ₁₀ _g

10 64 9 10 6

10 7 3 222 N

t a A N

t N

W A ₂₃ ¹⁰ ₇ ⁵

2 Av 1 2 Av

2

2 2 −

− = ⋅

⋅

= ⋅

= λ

= .

. .

In condizioni STP il volume occupato è dato da:

V0 : A = V : W

3 5 6

0 14310 l 143mm

222 10 42 41 A 22 V W

V . . ⋅ = . ⋅ = .

=

= ⁻ ⁻

Una sorgente pesa 20 g ed ha una attività di 4.72 10⁶ dis/minuto. Si ha il dubbio che tale sorgente sia:

a) ²³⁰Th T₁_/₂ =8⋅10⁴y λ =2.75⋅10⁻¹³s⁻¹ b) ²³²Th T₁_/₂ =1.39⋅10¹⁰y λ =1.58⋅10⁻¹⁸s⁻¹ c) ²²⁸Th T₁_/₂ =1.91y λ =1.15⋅10⁻⁸s⁻¹

ricavare il tipo di sorgente dai dati a disposizione.

Dalla solita relazione:

dt N

a= dN =λ N

= a λ

è possibile ricavare la costante di decadimento e confrontarla con i valori tabulati:

a = 4.72⋅10⁶ dis/min = 7.87⋅10⁴ dis/s

Se consideriamo peso atomico della sorgente sempre A=230 nei tre casi, commettiamo in ogni caso un errore inferiore all’1%

atomi 10

2 230 5

20 10 6 A

w

N N^Av ²³ ⋅ = . ²²

=

1 18 22

4 15110 s

10 2 5

10 87 7 N

a = = − −

=

λ .

. .

La sorgente è quindi ²³²Th

Se un certo materiale contiene 1 g di ⁴⁰K (T1/2 = 1.3⋅10⁹ y) e si sa che è vecchio di 2.6 milioni di anni, quale è il massimo numero di millilitri di Argon ( ⁴⁰K → β^- + ⁴⁰A ) che può essersi accumulato nel materiale (in condizioni STP) ?

Il numero di decadimenti avvenuti nel campione in un tempo ∆t (2.6 milioni di anni) è dato da:

( ) ( ) ( ) (

t

)

Av

(

^t

)

O t

O t t

t

e A 1 N w e

1 N dt e N dt t N dt t a t

n ⁻^λ^∆ ⁻^λ^∆

∆ λ

−

∆

−

=

−

= λ

=

∆

∫ ∫ ∫

(13)

ma poichè ∆t << T1/2 e quindi λ ∆t << 1 si può approssimare:

( )

[ ]

2 1 Av Av

Av T

t 2 A N w A t

N w t A 1

N w

/

exp −λ∆ = λ∆ ≈ ln ^⋅^∆

− pertanto:

( )

20810 atomi

T t 2 A N w t

n ¹⁹

2 1

Av ⋅∆ = ⋅

=

∆ ln .

/

che in condizioni STP occupano un volume dato dalla relazione:

V = 22.414

Nn = 7.76⋅10Av ^-4 l = 0.78 cm³

Una sorgente radioattiva è una mistura ⁶⁴Cu (T1/2 = 12.8 h) e rame stabile (circa 69% di ⁶³Cu e 31% di ⁶⁵Cu). La massa della sorgente e la sua attività sono rispettivamente 100 mg e 28 mCi. Ricavare il rapporto in peso tra gli atomi radioattivi e gli atomi stabili presenti nella sorgente.

s dis 10 04 1 10 7 3 10 28

a= ⋅ ⁻³⋅ . ⋅ ¹⁰ = . ⋅ ⁹ /

1 5s 10 51 3600 1

8 12

693

0 = − −

= ⋅

λ .

. . 1013

9 a 6

N = ⋅

= λ . atomi di ⁶⁴Cu g 10 34 7 10 64

6 10 9 A 6 N

w N ₂₃¹³ ⁹

Av

= −

⋅

= ⋅

= . . _di₆₄_Cu

9 8 stab

rad 73410

1 0

10 34 7 w

w ⁻ ₋

=

= .

. .