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NOTE INTRODUTTIVE ALL’ ANALISI MATEMATICA Andrea Prevete, 2014

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Sia data la semplice funzione y=x ² -1. Dato un valore alla variabile indipendente, per esempio x=2, il valore della variabile dipendente si ottiene, come noto, sostituendo ad x il valore dato nel corpo della funzione e calcolando l’espressione corrispondente – quindi:

y(2) = 2 ² – 1 = 4 – 1 = 3

Nel linguaggio delle funzioni diciamo anche che la funzione assume in corrispondenza del punto x=2 (o semplicemente in x=2) il valore 3.

Se calcolassimo per ogni valore di x il corrispondente valore della funzione otterremmo tante coppie (x; y) che poste su un piano cartesiano determinano il noto grafico della funzione.

Consideriamo adesso l’espressione:

y(2  0 ⁺ )

ed interpretiamola come l’intenzione di calcolare il valore della funzione non proprio nel punto x=2 ma in due punti prossimi a 2, una volta a destra di 2 (quindi 2 + 0 ⁺ ), una volta a sinistra di 2 (quindi 2 - 0 ⁺ ).

Nelle espressioni precedenti compare un simbolo nuovo, 0 ⁺ (si legge zero più) che si intuisce voler significare un numero positivo molto piccolo (quasi zero ma non zero!). Per il momento accontentiamoci di questo significato intuitivo.

Proviamo ora a calcolare la funzione in questi punti procedendo come prima:

y(2  0 ⁺ ) = (2  0 ⁺ ) ² – 1 = 4 + (0 ⁺ ) ²  40 ⁺ -1 = 3  0 ⁺

Quindi, considerato che 2 è un punto di accumulazione (rivedere!) per il dominio della funzione posso scegliere punti prossimi a x=2 quanto voglio. Ciò significa che 0 ⁺ diventa sempre più piccolo e di conseguenza 3  0 ⁺ sempre più prossimo a 3 che è proprio il valore della funzione in x=2.

Nel linguaggio dei limiti quanto abbiamo appena detto si traduce così:

3

2 1

2  

 ( )

lim x

x

Si legge: il valore limite (o semplicemente il limite) della funzione x ² -1, quando x tende a 2, vale 3.

Riassumiamo. Abbiamo appena visto che per la funzione y=x ² -1 il valore in x=2 coincide con il valore limite in quello stesso punto. Quando questo accade si dice che la funzione è continua in quel punto. Se questa proprietà vale per tutti i valori che può assumere x, si dice che la funzione è continua dappertutto. Questo è il caso di tutte le funzioni razionali intere (o polinomiali). Una funzione continua è caratterizzata da un grafico costituito da una linea continua nel senso intutivo del termine, cioè senza buchi o salti.

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2 -1 0 1 2 3

Questo va via perché se faccio il quadrato di un numero piccolo, ad esempio 0.000001 diventa 0.000000000001 – quindi molto più piccolo!

Questo diventa semplicemente

0 ⁺ perché moltiplicando per 4

un numero piccolo, ad esempio

0.000001, ottengo 0.000004 che

continua ad essere un numero

piccolo!

NOTE INTRODUTTIVE ALL’ ANALISI MATEMATICA Andrea Prevete, 2014

2

Per comprendere meglio la potenza della nuova notazione, consideriamo la funzione razionale fratta

1 2

  y x

Proviamo a calcolarne il valore nel punto x=1:



 

 0

2 1 1 1) 2

y ( ?

La divisione per 0 è una operazione senza significato, quindi la funzione non ha valore nel punto x=1.

Ma cosa possiamo dire per il valore limite (o limite)?

Procediamo come prima:



 

 

 



0 2 1 0 1 0 2

1 )

y (

Attenzione, qui la sottile differenza sta nel fatto che non dividiamo per zero, ma per un numero piccolo a piacere comunque differente da 0. Considerato che dividendo per

numeri via via più piccoli si ottengono numeri sempre più grandi, il risultato della divisione potrà crescere a piacere (in valore assoluto!). Questo fatto si indica dicendo che la funzione diverge (positivamente o negativamente). Con + indicheremo, appunto, una divergenza positiva, con -

una divergenza negativa. Il grafico in figura mostra quanto appena descritto.

Con il linguaggio dei limiti diremo che:



 



1

2

1 x

x lim (il limite della funzione

1 2

 

y x per x tendente ad 1 da destra diverge positivamente)



 



1

2

1 x

x lim (il limite della funzione

1 2

 

y x per x tendente ad 1 da sinistra diverge negativamente)

---

Riprendiamo in considerazione la funzione y=x ² -1 e consideriamo un punto qualsiasi del suo grafico P(w; w ² -1)

Volendo calcolare il tasso di variazione della funzione in quel punto potremmo pensare di calcolare la

pendenza del segmento di retta che unisce P ad un punto Q più in avanti nel grafico ( ricordiamo la

definizione di pendenza come rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse).

Ma questo misurebbe appunto la pendenza del

segmento, non del tratto di curva-grafico che unisce P e Q.

Facciamoci guidare ancora dall’intuizione ed

ammettiamo che a mano a mano che avviciniamo Q a P

il tratto di curva che unisce i due punti somiglierà sempre più ad un segmento.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-0,5 0 0,5 1 1,5 2

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

-2 -1 0 1 2 w 3

w

-1 P

Q

NOTE INTRODUTTIVE ALL’ ANALISI MATEMATICA Andrea Prevete, 2014

3

Se, quindi, w è l’ascissa di P, l’ascissa di Q quando questo sarà molto vicino a P sarà w+0 ⁺ . E l’ordinata di Q sarà (w+0 ⁺ ) ² -1.

Possiamo quindi calcolare la pendenza:

pendenza=

ascisse differenza

ordinate differenza

=    





  

 0

1 1

0

w

w )

( =    







   



0

1 1

0 2

0

2

w w

w ( )

=

=





   



0

1 1

0 2

0

2

w w

w ( )

=







0 0 2 0 )

w

( = 0

 2 w  2 w

Il penultimo passaggio è una semplice ed ordinaria semplificazione fra fattori comuni al numeratore ed al denominatore. L’ultimo passaggio è invece un’operazione al limite: essendo 0 ⁺ un numero piccolo a piacere il suo contributo alla somma è trascurabile quanto vogliamo, quindi la somma stessa tende, nel liguaggio dei limiti, a 2w.

Il risultato ottenuto è ancora più straordinario se si riflette sul fatto che è stato conseguito per un valore qualsiasi di x, che abbiamo indicato con w. Ma se w sta per un x qualsiasi possiamo rimettere al suo posto x! Abbiamo così ottenuto che la pendenza in un punto qualsiasi della funzione y=x ² -1 vale 2x. Cioè abbiamo ricavato una seconda funzione che fornisce i valori della pendenza della prima in qualsiasi punto del suo grafico. Chiameremo quella ottenuta funzione derivata (o semplicemente derivata) e la indicheremo con y’=2x.

Nel rigoroso linguaggio dei limiti, data la funzione y=x ² -1:

x x y y

x 2

0 



 



 lim

'

Per le funzioni razionali intere (polinomiali) è possibile calcolare la derivata con pochi e semplici passaggi.

Sia data infatti la funzione y= 3x ³ – 5x ² + 7x - 8

La derivata si ottiene semplicemente sostituendo, in ogni monomio, alla potenza di x una potenza con esponente decrementato di 1 e preceduta da un coefficiente numerico dato dal vecchio

esponente. I monomi che non hanno una parte letterale si annullano.

Quindi:

y’= 3(3x ² ) – 5(2x ¹ ) + 7(x ⁰ ) + 0

Semplificando e ricordando che x ⁰ =1:

y’ = 9x ² – 10x + 7

Per quanto detto prima se volessimo, ad esempio, conoscere la pendenza del grafico di y= 3x ³ – 5x ² + 7x - 8 in corrispondenza del punto di ascissa x=1, basterebbe calcolare il valore della derivata in quel punto:

y’(1)= 9(1) ² – 10(1) + 7 = 91 - 101 + 7 = 9 – 10 + 7 = 6