8. Trasporto convettivo di una quantità scalare: equazioni alle derivate parziali del primo ordine

(1)

8. Trasporto convettivo di una quantità scalare: equazioni alle derivate parziali del primo ordine

Una grandezza scalare u - ad esempio, la concentrazione di una specie chimica - sia trasportata in un flusso unidimensionale incomprimibile di velocità a , ed il trasporto diffusivo sia trascurabile.

L'equazione di governo è:



 u

t a u

  x

(8.1)

Il problema si chiude con la assegnazione della funzione u lungo una curva  qualunque (purché non “caratteristica”) del piano x t, , ad esempio:

( ,0) 0( ) u x u x

.

Esso ammette una soluzione analitica:

0( ) 0( )

uu z u x at

dove l'espressione x è sostituita nella dipendenza funzionale di uat ₀ da x. L'equazione (8.1) ammette dunque soluzioni del tipo u ( )u z con z  . Difatti: x at



 u

t u z

z

t a u

   z ; 



 u

x u z

z x

u

  z

che, sostituite nella (8.1), la soddisfano identicamente. L’equazione (8.1) è stata scelta perché si presta ad illustrare questioni inerenti il trattamento dei termini convettivi nelle equazioni di bilancio, e perché permette di confrontare i risultati numerici con la soluzione esatta (Fig. 8.1).

(2)

x u

t=t₀ t=t >t₁ ₀

Figura 8.1 - Schema di soluzione esatta della equazione (8.1) per due istanti di tempo successivi

Come si vede, la soluzione esatta rappresenta una traslazione lungo l'asse x con perfetta conservazione del profilo spaziale di u. Si discretizzi ora la (8.1) con schemi alle differenze finite, ad esempio:

u u

t au u

x

i n

i

 n

 

 



1

1 0

  (8.2)

da cui

 

1

1 0

n n n n

i i i i

u u a t u u

x





    



Questo schema, accurato al primo ordine in x e t, è uno schema esplicito FTBS (Forward-Time, Backward-Space) ed è appropriato se la convezione avviene nel verso positivo dell'asse delle x (a  0). In caso contrario si adopererà lo schema seguente FTFS (Forward-Time, Forward-Space):

u u

t au u

x

i n

i

 n

    

1

1 0

  (8.2’)

Si può dimostrare che gli schemi considerati sono stabili per C  1 dove C   . I a t x corrispondenti schemi impliciti

1 1 1

1 0

n n n n

i i i i

u u u u

t a x

  

  

 

 

(8.3)

1 1 1

1 0

n n n n

i i i i

u u u u

t a x

  

    

 

(3)

si adoperano quando occorre una maggiore stabilità numerica. Il problema più fastidioso per questo tipo di equazioni riguarda però la cosiddetta diffusione numerica, che come si vedrà è introdotta dagli errori di troncamento.

Diffusione numerica: l'analisi di Hirt.

Con riferimento allo schema esplicito FTBS, dalla formula di Taylor si ottiene:

2 2

1

2 2!

2 2

1 2 2!

n n

u u t

n n

u u t

i i t i t i

n n

u u x

n n

ui ui xi x x i

 

      

      

cioè, riarrangiando:

u u

t

u t

t

u u

x

u x

x

i n





   

    

1 2

2

1

2 2

2





! ( )

!



Sostituendo queste espressioni nella (8.2) ci si convince facilmente che essa risolve esattamente non già l'equazione (8.1), bensì la seguente equazione alle derivate parziali:

1 1

2

( ) ( )

! !

k k k k

k k k

u u u t u x

a a

t x t k x k

   

 





   

     

 



(8.4)

detta equazione modificata. Poiché è noto che la soluzione della (8.1) è del tipo u ( )u z con z  , si trova che: x at



k k

k

k k

k

k k

k

u x

z x

u z

u z u

t

z t

u

z a u

z

  

 

  

  ( )

da cui



k k

k

u

t a u

 ( ) x .

(4)

Per piccoli valori di ( t, x questa relazione può considerarsi valida anche per la soluzione della ) (8.4). Tale equazione può quindi scriversi come

 



 u

t a u

x

a x

k C u

x

k

k k

k

     k



 



 ⁽ ¹⁾ ⁽ _!⁾ ¹ ¹ ¹ 2

 (8.5)

Dalla (8.5) si nota che, per C  1, la soluzione numerica soddisfa un'equazione che contiene un termine diffusivo (il primo della sommatoria) con diffusività pari ad a x (1C) /2 più termini di ordine superiore, in luogo dell'equazione di pura convezione. Si nota altresì che, per C  1 , la sommatoria diviene identicamente nulla, e la soluzione numerica è uguale a quella esatta. Un identico risultato vale per l'altro schema esplicito. Si può invece vedere che per gli schemi impliciti non è mai possibile annullare la sommatoria, e perciò essi non sono, di norma, preferibili a quelli espliciti.

La 8.2 si trasforma con passaggi elementari nella formula esplicita:

 

1

1 1

n n n

i i i

u ^  C u Cu_

Soluzione calcolata con N=100, schema esplicito, C=0.9. La linea tratteggiata rappresenta il dato iniziale.

La prima delle 8.3 si trasforma con passaggi elementari nella formula implicita:

1C u _iⁿ^¹Cu_iⁿ_^1¹u_iⁿ

che va scritta per tutti i nodi, da 1 a N:

i=1

1C u 1ⁿ^¹u1ⁿCu0

i=2,…,N

(5)

1C u _iⁿ^¹Cu_iⁿ_^1¹u_iⁿ

Il sistema risultante è bidiagonale e la soluzione si calcola immediatamente trattando in modo sequenziale le equazioni alle differenze finite.

Soluzione calcolata con N=100, schema implicito, C=0.9. La linea tratteggiata rappresenta il dato iniziale.

Si nota il carattere molto più accentuato assunto dalla diffusione numerica con la formula implicita.

Trasporto convettivo di una quantità scalare soggetta a reazione di consumo

Supponiamo che nel sistema avvenga una reazione del primo ordine che consuma il reagente u.

L'equazione di governo è:

u u

a ku

t x

    

  (8.6)

Applicando gli schemi alle differenze finite dell’equazione (8.2) si scrive:

1

1 0

n n n n

i i i i n

i

u u u u

a ku

t x



  

  

  (8.7)

che si trasforma con passaggi elementari nella formula esplicita:

 

1

1 1

n n n n

i i i i

u ^  C u Cu_ ku t (8.8)

Se si osserva la soluzione numerica ottenuta per k  e C =1, si vede però che qualcosa non va: 1

(6)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Si può ritenere che il problema sia collegato al fatto che il termine sorgente viene valutato con riferimento alla concentrazione in corrispondenza del nodo i mentre in realtà, avendo adottato uno schema “upwind” per il termine convettivo, l’evoluzione che porta al valore u_iⁿ^¹ dovrebbe risalire al valore di u esistente al tempo n nello stesso elemento di fluido che si ritrova in i al tempo n+1, che è effettivamente, per C=1, quello che al tempo n si trovava nel nodo i –1. Se proviamo a modificare lo schema in questo senso, e per un valore qualunque di C compreso fra 0 e 1, otteniamo:

   

1

1 1

n n n n n

i i i i i

u ^  C u Cu_ k C u Cu_ t (8.8’)

in cui il valore di uⁿ nel termine sorgente viene valutato come media pesata (secondo C) del valore nel nodo i –1 e nel nodo i . Per C=1 si trova la seguente soluzione:

(7)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

che si può dimostrare corrispondere perfettamente alla soluzione analitica. Per C=0.9 si osserva invece il seguente andamento:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

che contiene l’effetto della diffusione numerica dovuta all’adozione di un valore di C diverso da 1 nel termine convettivo. Ciò può essere necessario per motivi di stabilità legati ad un valore (alto) di k.

Una possibile alternativa, che conserva la qualità dello schema esplicito per il termine convettivo, con C=1, ma che introduce una formula implicita per il termine sorgente, è:

(8)

 

1 1

n n n n

i i i i

u ^  C u Cu_ ku ^t (8.8”)

da cui

  1

1 1

1

n n

i i

n i

C u Cu

u k t

   

   (8.8’’’)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

La figura riporta in blu la soluzione ottenuta con il metodo esplicito ed in rosso, praticamente sovrapposta, la soluzione ottenuta con lo schema implicito in relazione al termine sorgente. In questo caso non sarebbe appropriato, e non è neanche utile, esprimere il termine sorgente con riferimento al valore nel nodo i-1, poiché la valutazione del termine sorgente essendo implicita è riferita all’istante n+1 , istante in cui il fluido in cui avviene la reazione si viene a trovare nel nodo i.