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Academic year: 2021

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(1)

EQUAZIONI

LEZIONI

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Definizione

Una equazione si dice di secondo grado se, e solo se, può essere scritta nella forma:

2

0

ax + bx + = c , con a ≠ 0

(1)

I coefficienti a, b, e c sono numeri reali e prendono il nome, nell’ordine, di coefficiente quadratico, coefficiente lineare e termine noto. E’ sempre possibile rendere positivo il coefficiente quadratico. Infatti, nel caso in cui a < 0 , basterà moltiplicare per -1 ciascun membro.

Le soluzioni di tale equazione sono date dalla formula:

2 1/ 2

4 2

b b ac

x a

− ± −

= .

Dimostrazione:

Per ipotesi il coefficiente a non può essere uguale a zero, pertanto, dividendo per a ciascun membro dell’equazione

(1)

si ottiene l’equazione equivalente:

2

bx c 0

x + a + = a

che può essere anche scritta nella forma:

2

bx c

x + a = − a

(2)

Aggiungendo in entrambi i membro della

(2)

il valore

2

2 b

a

 

 

  si ha:

2 2

2

2 2

bx b b c

x a a a a

   

+ +     =     −

che, essendo il termine bx

a uguale al doppio prodotto tra x e 2

b

a , può essere scritta nella forma:

2 2

2

( ) 4

2 4

b b ac

x a a

+ = − .

Nell’ipotesi che b

2

− 4 ac ≥ 0 , passando a radice quadrata entrambi i membri dell’equazione si ha (

1

):

(

1

) Ricordiamo che per ogni x ∈  : x

2

= x e l’equazione x = k ha come soluzioni x = ± k .

Prof. Salvatore Scialpi - www.numerica.altervista.org Pag. 1/2

(2)

EQUAZIONI

2

4

2 2

b b ac

x a a

+ = −

da cui segue:

2

4

2 2

b b ac

x a a

+ = ± −

pertanto:

2 1/ 2

4

2 2

b b ac

x a a

= − ± −

ossia:

2 1/ 2

4 2

b b ac

x a

− ± −

=

La suddetta formula può essere resa più snella ponendo ∆ = b

2

− 4 ac , per cui la (2) potrà essere scritta nella forma:

1/ 2

2

x b

a

− ± ∆

= .

Prof. Salvatore Scialpi - www.numerica.altervista.org Pag. 2/2

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