Matematica Discreta
Lezione del giorno 14 ottobre 2009
Se conveniamo che il simbolo 1 rappresentii “vero”e il simbolo 0 rappresenti “falso”, i possibili valori di verità della congiunzione PQ, in funzione di quelli di P e Q, sono schematicamente rappresentati dalle seguenti eguaglianze:
11=1 10=0 01=0 00=0
e si possono raccogliere in una tavola della verità come la seguente:
P Q PQ
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
oppure come la seguente (in cui alle righe si fanno corrispondere i valori di P, alle colonne i valori di Q, e nelle caselle all’incrocio fra righe e colonne i valori di PQ):
1 0 1
0
2) Disgiunzione logica
Dati due predicati P, Q, si chiama disgiunzione logica di P, Q il predicato che:
- ha come nome PvQ (si legge P or Q oppure P o Q)
- ha come testo i testi di P e Q separati dalla congiunzione “o” (quindi ha come variabili le variabili di P e quelle di Q)
- è falso solo per i valori delle variabili che rendono falsi sia P che Q, ed è vero per tutti gli altri valori delle variabili (quindi è vero per i valori delle variabili che rendono vero uno dei 2 predicati P, Q o entrambi)
Esempio:
Dati i 2 predicati (con campo di variabilità = numeri interi positivi):
P(x) = “x>10”
Q(y) = “y è pari”
la loro congiunzione logica è il predicato [PvQ](x,y)=”x >10 o y è pari”.
Tale nuovo predicato è falso solo per i valori di x che rendono falso P e i valori di y che rendono falso Q.
Per esempio
[PvQ](11,3)=”11>10 o 3 è pari” è una proposizione vera in quanto P(11)= “11>10”
è una proposizione vera, pur essendo Q(3) = “3 è pari”
una proposizione falsa.
Invece
[PvQ](9,5)=”9>10 o 5 è pari” è una proposizione falsa in quanto entrambe le proposizioni P(9), Q(5) sono false.
1 0
0 0
I possibili valori di verità della disgiunzione PvQ, in funzione di quelli di P e Q, sono schematizzati come segue:
1v1=1 1v0=1 0v1=1 0v0=0
La tavola di verità della disgiunzione logica PvQ è la seguente:
P Q PvQ
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
oppure:
1 0 1
0
3) Negazione logica
Dati un predicato P si chiama negazione logica di P il predicato che:
- ha come nome
P(si legge not P o non P)
- ha un testo che è opposto di quello di P da un punto di vista logico (quindi ha le stesse variabili di P)
- è vero per tutti i valori delle variabili per cui è falso P, ed è falso per tutti i valori delle variabili per cui è vero P
Per esempio dato il predicato:
P(x) = “x>6” (con campo di variabilità x=numero intero positivo) la sua negazione logica può essere
P
(x)=”non è vero che x>6”
oppure, più elegantemente:
P
(x)=”x≤6”.
I possibili valori di verità della negazione logica
P, in funzione di quelli di P, sono i seguenti:
1