Variazione di una funzione

Variazione di una funzione

x y

x₁ Δx x₂ Δf

In questo caso a una variazione

di x, Δx, corrisponde una “piccola”

variazione di f, Δf

Variazione di x: Δx=x₂-x₁

Variazione di f: Δf=y₂-y₁=f(x₂)-f(x₁)

In questo caso a una variazione di x, Δx, corrisponde una “grande”

variazione di f, Δf

Il rapporto incrementale esprime la variazione di f in corrispondenza alla variazione di x

 f

 x x

y

x₁ Δx x₂ Δf

a)

b)

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Significato geometrico del rapporto incrementale

x y

x₁ Δx x₂ Δf

A A

B

θ C

 f = x tan   f

 x =tan 

Il rapporto incrementale e' uguale alla tangente trigonometrica dello angolo θ che la retta passante per i punti A e B forma con l'asse x.

Con riferimento alle figure precedenti:

Piccola variazione piccolo → θ piccola tg→ θ Grande variazione grande θ grande tgθ→ →

In generale in tratti diversi della curva f, il rapporto incrementale varia, quindi abbiamo diversi tgθ

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Derivata di una funzione in un punto

x y

x₀ x₀+h Δf

A A

B

θ₀ C

h

f(x₀+h)-f(x₀)

Il rapporto incrementale

 f

 x = f  x₀h− f  x₀ h

Se facciamo tendere B verso A allora la retta congiungente A e B tende alla retta tangen- te alla curva in A, e il rapporto incrementale tende al coefficiente angolare della retta tangente m=lim

h 0

f  x₀h− f  x₀

h =tan ₀

Il limite m, uguale alla , risulta diverso da un punto

all'altro della curva, e percio' dipende dall'ascissa x₀: m e' una funzione di x₀ e viene indicata con o in x₀, e viene chiamata derivata della funzione f(x) nel punto x₀

tan ₀

f '  x₀ df  x  dx

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Il limite per h 0, quando esiste ed e' finito, del rapporto →

incrementale, rappresenta il coefficiente angolare della tangente nel punto (x₀,f(x₀)).

Osservazione:

La retta tangente a una curva in un punto e', in generale, unica e pertanto e' unico il limite del rapporto incrementale per h 0 indipendentemente dal segno, cioe' sia da sinistra che →

destra. Sono quindi uguali derivata destra e derivata sinistra f '  x₀

derivata sinistra derivata destra

limh 0

f  x₀h− f  x₀

- h ^limh 0

f  x₀h− f  x₀ + h

Fanno eccezione i punti angolosi

x y

x₀

Derivata di una funzione in un punto - seguito

Prescindendo dal significato geometrico si puo' definire in generale la derivata di una funzione y=f(x).

Definizione:

Si dice derivata di una funzione y=f(x) nel punto x₀ є D, il limite se esiste ed e' finito, del rapporto incrementale calcolato per x=x₀ al tendere comunque a zero dell'incremento

attribuito alla variabile indipendente x in corrispondenza di x₀

 y

 x

 x

f '  x₀= lim

x 0

 y

 x =lim

h 0

f  x₀h− f  x₀ h

Calcolo della derivata in un punto:

1. determinare l'incremento Δy

2. calcolare il rapporto incrementale Δy/Δx 3. determinare il limite per Δx 0 di → Δy/Δx

Derivata di una funzione in un punto- seguito

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Derivata di una funzione in un punto- seguito

Vediamo come si applica la definizione con un esempio.

y= f  x= x²

lim

x 0

 y

 x =lim

h 0

2x₀h=2x₀

 y= f  x₀h− f  x₀=x₀h²−x₀²=2hx₀h²=h2x₀h

 y

 x =h2x₀h

h =2x₀h

La funzione derivata e le derivate successive

Data una funzione f(x) derivabile in ciascun punto di un intervallo A appartenente al dominio di f(x) si dice che f(x) e' derivabile nell'intervallo A dando origine a un'altra funzione y'=f'(x)

chiamata funzione derivata di f(x).

La funzione f'(x) definita in un proprio campo di esistenza E' puo' essere a sua volta una funzione continua e derivabile in un inter- vallo A' dando origine alla derivata della derivata di f(x) chiamata derivata seconda di f(x), f”(x) o ^{df 2 x}

dx²

Allo stesso modo si definisce la derivata terza, quarta, … n-esima di una funzione.

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Regole di derivazione

Riassumiamo le derivate fondamentali che serviranno in seguito 1. derivata di una costante:

2. derivata di y=x : 3. derivata di y=x² :

4. caso generale, derivata della funzione y=xⁿ: 5. derivata y=e^±x:

6. derivata y=sin(x) : 7. derivata y=cos(x) :

dk

dx =0 dx

dx =1 dx²

dx =2x

dxⁿ

dx =nxⁿ⁻¹ de^±x

dx =±e^±x dsin x 

dx =cos x

dcos x

dx =−sin  x

Regole generali

a. derivata di una somma di funzioni: ^{f  x= f} 1x ± f ₂ x

df  x 

dx =df ₁x

dx ±df ₂ x

dx e' la somma delle derivate

Regole di derivazione - seguito

b. derivata di un prodotto di funzioni:

esempio:

c. derivata di un quoziente:

esempio:

f  x= f ₁x ⋅ f ₂x  df  x 

dx = df ₁ x

dx ⋅f ₂x  f ₁ x⋅df ₂ x

dx f  x=k⋅f ₂ x

df  x 

dx = dk

dx⋅f ₂x k⋅df ₂x 

dx =k df ₂ x

dx

f  x= f ₁x  f ₂ x

df  x 

dx =

df ₁x 

dx ⋅f ₂x − f ₁ x⋅df ₂x  dx f ₂²x 

f  x=tan  x = sin x

cos x  dtan x

dx =cos x⋅cos x −sin  x ⋅−sin  x 

cos² x =cos²x sin² x

cos² x = 1 cos²x

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Regole di derivazione - seguito

d. derivata di una funzione di funzione:

esempi:

f  x= f  g  x 

z=g  x df  x

dx = df  z

dz ⋅dg  x  dx

f  x=sin  kx

z=kx df  x

dx =k df  z

f  x= f kx  dz

z=kx df  x

dx =kcos kx

f  x=coskx  z=kx df  x

dx =−ksin kx

f  x=e^±kx z=±kx df  x

dx =±ke^±kx

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Relazione tra funzioni e derivate

x y

x₀-ε x₀ x₀+ε

Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo A si dice che essa e' crescente in un punto x₀ se in un intorno completo di x₀ si ha

si dimostra che f'(x₀)>0

f  x₀− f  x₀ f  x₀∀ 0

x y

x₀-ε x₀ x₀+ε

Data una funzione y=f(x) definita in un intervallo A si dice che essa e' decrescente in un punto x₀ se in un intorno completo di x₀ si ha

si dimostra che f'(x₀)<0

f  x₀− f  x₀ f  x₀∀ 0

Si dimostra che e' vero anche il viceversa

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Massimi e minimi di una funzione

x y

x₀-ε x₀ x₀+ε

[ x₀− , x₀] f '  x 0 f '  x₀=0

[ x_0, x₀] f '  x 0

f(x) crescente f(x) decrescente

X₀ punto di massimo per la funzione f '  x₀− f '  x₀ f '  x₀ f ' '  x₀0

x y

x₀-ε x₀ x₀+ε

[ x₀− , x₀] f '  x 0 f '  x₀=0

[ x_0, x₀] f '  x 0

f(x) decrescente f(x) crescente

X₀ punto di minimo per la funzione

f '  x₀− f '  x₀ f '  x₀ f ' '  x₀0

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Massimi e minimi di una funzione seguito

Condizione necessaria ma non sufficiente affinche' x₀ sia punto di massimo o di minimo e' f'(x₀)=0. Occorre inoltre f”(x₀)≠0

Volendo prescindere dal considerare f”(x₀), bisogna determinare i segni di f'(x) a sinistra e destra di x₀ e quindi occorre risolvere Oltre l'equazione f'(x)=0 le disequazioni f'(x)>0, f'(x)<0

Se f'(x)=0 e f”(x₀)=0 in punto x₀ non e' ne' di massimo ne' di minimo, ma si dice che la funzione ha un punto di flesso.

x y

x₀-ε x₀ x₀+ε

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