Corso di Analisi Matematica II. Spazi euclidei di dimensione finita

a.a. 2021/2022 Laurea triennale in Fisica

Corso di Analisi Matematica II Spazi euclidei di dimensione finita

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Al termine della lezione queste pagine verranno rese disponibili online;

non `e quindi necessario copiarne il contenuto.

Lo spazio vettoriale euclideo R

Sia n ∈ N,n ≥ 2.

Denoteremo gli elementi di Rⁿcon una lettera in grassetto e le loro componenti con la stessa lettera in chiaro, con un pedice che ne indica la posizione.

Per esempio: x `e un elemento di R<sup>n</sup>, il numero reale x3`e la terza componente di x.

Cominciamo con alcuni richiami dai corsi di Geometria e di Fisica Generale I.

• L’insiemeRⁿ`e unospazio vettoriale realedidimensione n. Gi`a richiamato!

Le operazioni di addizionee diprodotto esterno sono definite come segue:

se x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) e λ ∈ R, allora

x + y := (x1+ y1, . . . , xn+ yn), λ x:= (λ x1, . . . , λ xn).

Labase canonica di Rⁿ`e costituita dai vettori e1, . . . , en, doveei`e l’elemento di Rⁿ avente lai -esima componente uguale a 1 e tutte le altre uguali a 0.

Ogni x ∈ Rⁿsi pu`o rappresentare nella formax =

n

X

i =1

x_ie_i.

1

• L’insiemeRⁿ`e unospazio vettoriale euclideo.

Ilprodotto scalare standardsi definisce ponendo x · y:=

n

X

i =1

x_iy_i per ogni x, y ∈ Rⁿ; esso induce lanorma euclidea

kxk:=√ x · x =

v u u t

n

X

i =1

x_i², che soddisfa le seguenti propriet`a:

1 per ogni x ∈ Rⁿ: kxk ≥ 0; inoltre,kxk = 0se e solo se x = 0;

2 per ogni λ ∈ R e x ∈ Rⁿ: kλ xk = |λ| kxk;

3 per ogni x, y ∈ Rⁿ: |x · y| ≤ kxk kyk; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

4 per ogni x, y ∈ Rⁿ: kx + yk ≤ kxk + kyk; disuguaglianza triangolare

5 per ogni x, y ∈ Rⁿ: 

kxk − kyk

≤ kx − yk; 2^a disuguaglianza triangolare

6 per ogni x ∈ Rⁿ: |xk| ≤ kxk ≤

n

X

i =1

|xi|, per k ∈ {1, . . . , n}.

2

• InR³si definisce ilprodotto vettorialeponendo

x × y := (x₂y₃− x₃y₂, x₃y₁− x₁y₃, x₁y₂− x₂y₁)

per ogni x, y ∈ R³. Notazione alternativa: x ∧ y Nota: x × y si ottiene formalmente sviluppando rispetto alla prima riga il determinante simbolico

e1 e2 e3

x1 x2 x3

y₁ y₂ y₃        .

Il prodotto vettoriale soddisfa le seguenti propriet`a:

1 x × y = − y × x

2 x × y = 0 se e solo se x e y sono linearmente dipendenti

3 (x × y ) · x = (x × y ) · y = 0 ← x × y `e ortogonale . . .

4 kx × yk `e uguale all’area del parallelogramma costruito sui vettori x e y

3

Elementi di topologia in R

Per ogni x, y ∈ Rⁿ, definiamo ladistanza euclideadi x e y ponendo

d (x, y ):= kx − y k



=

v u u t

n

X

i =1

(xi− yi)²



.

L’applicazioned : Rⁿ× Rⁿ→ R+cos`ı definita si chiamametrica(o distanza) euclidea; la coppia(Rⁿ, d )si chiamaspazio metrico euclideo. La nozione di

spazio metrico sar`a approfondita nel corso di AM III Siano x₀∈ Rⁿ e r ∈ R^∗+. L’insieme

B_r(x₀):=x ∈ Rⁿ| d(x, x₀) < r = x ∈ Rⁿ| kx − x₀k < r si chiama intorno sferico (o palla)di centro x₀ e raggio r .

Esempi

• Per n = 1, Br(x0) `e un intervallo aperto;

• per n = 2, Br(x0) `e un cerchio (privato della circonferenza);

• per n = 3, B_r(x₀) `e una sfera (privata della superficie sferica). ₄

Sia E ⊆ Rⁿ. Sia x0∈ Rⁿ. Diciamo che x0`e

• punto internoa E seesiste un intorno sferico di x0contenuto in E;

• punto esternoa E se `e interno al complementare di E (denotato conE<sup>c</sup>), cio`e seesiste un intorno sferico di x₀ contenuto in E^c;

• punto di frontieraper E se non `e interno n´e esterno a E , cio`e seogni intorno sferico di x0contiene sia punti di E che punti di E^c.

Chiamiamo

• interioreointerno di E l’insieme dei punti interni a E , denotato conint(E ) (oppureE˚);

• frontiera di E l’insieme dei punti di frontiera per E , denotato con∂E;

• chiusura di E l’insiemeE ∪ ∂E, denotato conE.

Osservazioni

• ∂E = int(E ) ∪ int(E^c)
^c

• E e il suo complementare E^c hanno la stessa frontiera

• int(E ) ∩ ∂E = ∅

• int(E ) ⊆ E ⊆ E 5

Diciamo che E `e un insiemeapertose `e soddisfatta una qualsiasi delle seguenti propriet`a, tra loro equivalenti:

(a) int(E ) = E

(b) tutti gli elementi di E sono punti interni a E (c) E ∩ ∂E = ∅

Diciamo che E `e un insiemechiusose `e soddisfatta una qualsiasi delle seguenti propriet`a, tra loro equivalenti:

(a) E = E (b) ∂E ⊆ E

6

Esempi

• ]a, b[, [a, b], ]a, b], [a, b[

• (x, y ) ∈ R²| x ∈ [a, b], y = 0

• (x, y ) ∈ R²| x > 0 ∪ (0, y ) ∈ R²| y ≥ 0

• E = R²\ {(0, 0)}

• x ∈ Rⁿ| kx − x₀k < r , x ∈ Rⁿ| kx − x₀k > r

x ∈ Rⁿ| kx − x0k ≤ r , x ∈ Rⁿ| kx − x0k ≥ r , x ∈ Rⁿ| kx − x0k = r

• (x, y ) ∈ R²| x ∈ [0, 1] ∩ Q, y ∈ [0, 1] ∩ Q

7

Proposizione (operazioni insiemistiche con insiemi aperti e con insiemi chiusi)

1 Un insieme E `e aperto se e solo se il suo complementare `e chiuso.

Un insieme E `e chiuso se e solo se il suo complementare `e aperto.

2 L’unione di una arbitraria famiglia di insiemi aperti `e un insieme aperto.

L’intersezione di una arbitraria famiglia di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.

3 L’intersezione di una famigliafinitadi insiemi aperti `e un insieme aperto.

L’unione di una famigliafinitadi insiemi chiusi `e un insieme chiuso.

↑ senza questa condizione ³ non vale

Osservazioni

• La frontiera di un qualsiasi insieme `e un insieme chiuso.

• Esistono insiemi che sono sia aperti che chiusi, e insiemi che non sono n´e aperti n´e chiusi. Esempi . . .

8

Sia E ⊆ Rⁿ. Sia x0∈ Rⁿ.

Diciamo che x₀`epunto di accumulazioneper E seogni intorno di x₀ contiene almeno un elemento di E diverso da x0. ← Superfluo se x06∈ E .

Chiamiamoderivato di E l’insieme dei punti di accumulazione per E e lo denotiamo conDr (E ).

Osservazioni

• In generale, E e Dr (E ) non sono confrontabili per inclusione, cio`e esistono elementi di E che non sono punti di accumulazionedi E (punti isolati) e punti di accumulazione di E che non appartengono a E . Esempi?

• In generale, Dr (E ) e ∂E sono insieme diversi e non confrontabili per inclusione. Esempi?

Tuttavia: E ∪ Dr (E ) = E (=: E ∪ ∂E )

• E `echiusose e solo seDr (E ) ⊆ E, cio`e se contiene tutti i propri punti di accumulazione.

9

Insiemi limitati

Sia E ⊆ Rⁿ.

Diciamo cheE `e limitatoseesiste M ∈ R<sup>∗</sup>+tali che kxk ≤ M per ogni x ∈ E. Cio`e?

Se E non `e limitato diciamo che `eillimitato.

Osservazioni

• Gli intorni sferici sono limitati.

• Il complementare di un insieme limitato `e illimitato; il complementare di un insieme illimitato pu`o essere sia limitato, sia illimitato. Esempi?

• La frontiera di un insieme limitato `e limitata; la frontiera di un insieme illimitato pu`o essere sia limitata, sia illimitata. Esempi?

• Definiamo il diametro di E ponendodiam(E ):= sup

(x,y )∈E ×E

kx − yk.

E facile riconoscere che E `` e limitato se e solo se il diametro di E `e finito (cio`e `e un numero reale).

10

Successioni convergenti in R

Siano {x_k} ⊂ Rⁿe x ∈ Rⁿ(n ≥ 2).

Per ogni i ∈ {1, . . . n}, denotiamo con x_k,i e x_i, rispettivamente, la i -esima componente di xk e di x.

Diciamo che{xk} converge a x se `e soddisfatta una delle seguenti propriet`a, tra loro equivalenti:

(a) lim

k→+∞kxk − xk = 0;

(b) per ogni i ∈ {1, . . . n}, la successione di numeri reali{xk,i} converge a xi. Perch´e (a) e (b) sono equivalenti?

In tal caso diciamo che x `e illimitedella successione {xk} e scriviamo lim

k→+∞x_k = x oppurex_k → x.

Diciamo che la successione {x_k} `econvergente se esiste x ∈ Rⁿ tale che {x_k} converge a x.

11

Osservazione

Come nel caso delle successioni di numeri reali:

• una successione {xk} ⊂ Rⁿ non pu`o convergere a due limiti distinti;

• ogni successione convergente `e limitata.

Teorema (operazioni algebriche)

Siano {xk} e {yk} due successioni in Rⁿ, sia {ck} una successione in R e sia λ ∈ R. Siano x, y ∈ Rⁿ e c ∈ R. Se xk → x, y_k → y e c_k → c, allora:

• xk + yk → x + y regola della somma

• xk − yk → x − y regola della differenza

• λ xk → λ x regola del multiplo

• ckxk → c x regola del prodotto

• xk · yk → x · y regola del prodotto scalare

• x_k × y_k → x × y regola del prodotto vettoriale(solo per n = 3) Dimostrazione . . . Applicare alle componenti le regole dei limiti di successioni in R ₁₂

Proposizione (successioni e topologia) (a) Siano {xk} ⊂ Rⁿe x ∈ Rⁿ (n ≥ 2).

La successione {x_k} converge a xse e solo se per ogni intorno U di x si ha xk ∈ U definitivamente.

(b) Siano E ⊆ Rⁿe x ∈ Rⁿ.

x ∈ Dr (E )se e solo se esiste una successione di elementi di E \ {x}

convergente a x.

(c) Siano E ⊆ Rⁿe x ∈ Rⁿ.

x ∈ E se e solo se esiste una successione di elementi di E convergente a x.

(d) Un insiemeE `e chiusose e solo se contiene i limiti di tutte le proprie successioni convergenti, cio`e:

per ogni successione {x_k} di elementi di E , se {xk} converge a x, allora x ∈ E .

Dimostrazione . . .

13

Successioni estratte

Diciamo che {x_k⁰} `e unasuccessione estrattadalla successione {x_k}, o anche unasottosuccessionedi {xk}, se esiste una successione{jk} ⊂ N strettamente crescentetale chex_k⁰ = xj_k per ogni k ∈ N. Significato “pratico” . . . Osservazioni

• Se una successione converge, ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite a cui converge la successione di partenza.

• Una successione pu`o avere sottosuccessioni convergenti e tuttavia non essere convergente. Esempi?

Osservazione

Dal corso di Analisi Matematica I `e noto ilteorema di Bolzano-Weierstrass, secondo il quale da ogni successionelimitata di numeri realisi pu`o estrarre una successioneconvergente.

Questo risultato si estende alle successioni limitate di elementi di Rⁿ.

Motivazione . . . 14

Insiemi compatti

Sia E ⊆ Rⁿ.

Diciamo che E `e un insiemecompattoseogni ricoprimento di E costituito da insiemi aperti contiene un ricoprimento finito di E.

In simboli: per ogni famiglia {A_i}_{i ∈I} di sottoinsiemi aperti di Rⁿ, tale che E ⊆[

i ∈I

Ai, esiste un sottoinsieme finito J di I tale che E ⊆[

i ∈J

Ai.

Diciamo che E `e un insiemesequenzialmente compattoseda ogni successione di elementi di E si pu`o estrarre una sottosuccessione convergente a un elemento di E .

Teorema

Sia E ⊆ Rⁿ. Sono equivalenti le seguenti affermazioni:

(a) E `ecompatto;

(b) E `esequenzialmente compatto;

(c) E `echiusoelimitato.

L’equivalenza tra (a) e (c) `e nota come teorema di Heine-Borel

Esempi . . . 15

Alcuni sottoinsiemi particolari di R

Siano x, y ∈ Rⁿ. L’insieme

[x, y ]:=z ∈ Rⁿ | z = x + t (y − x) , t ∈ [0, 1]

si chiama segmento (chiuso) di estremi x e y.

Nota: se n = 1 e x ≤ y , il segmento chiuso di estremi x e y coincide con l’intervallo chiuso di estremi x e y ; ci`o giustifica la notazione utilizzata.

Dati x1, . . . , xk ∈ Rⁿ, l’unione dei segmenti [x1, x2] , [x2, x3] , . . . , [xk−1, xk] si chiama poligonale di vertici x₁, x₂, . . . xk (nell’ordine).

I punti x1 e xk si chiamanoestremidella poligonale.

I segmenti [x1, x2], . . . , [xk−1, xk] si chiamanolatidella poligonale.

Siano x, y ∈ Rⁿe sia γ ⊂ Rⁿ.

Diciamo che γ `e unarco congiungente x e y se esistono un intervallo [a, b] e una funzionecontinua ϕ : [a, b] → Rⁿ tale cheϕ([a, b]) = γ,ϕ(a) = x eϕ(b) = y.

↑ ???

nel prossimo capitolo ₁₆

Insiemi convessi, stellati, connessi

Sia E ⊆ Rⁿ. Diciamo che E `e un insieme

• convessose per ogni x, y ∈ E il segmento [x, y ] `e contenuto in E ;

• stellatose esiste x₀∈ E tale che per ogni x ∈ E il segmento [x₀, x]

sia contenuto in E ;

• connesso per poligonalise per ogni x, y ∈ E esiste una poligonale di estremi x e y contenuta in E ;

• connesso per archise per ogni x, y ∈ E esiste un arco congiungente x e y contenuto in E ;

• connessose non esistono due insiemi aperti A₁e A₂, non vuoti e disgiunti, tali che (A1∪ A2) ∩ E = E ; se E `e un insiemeaperto, ci`o equivale a dire che non esistono due insiemi aperti A1 e A2, non vuoti e disgiunti, tali che A₁∪ A₂= E .

Nota: le prime tre definizioni poggiano sulla nozione di segmento, quindi sulla struttura di spazio vettoriale di Rⁿ; le ultime due possono essere formulate in

contesti pi`u generali. ₁₇

Osservazioni

• Ogni insieme convesso`estellato, e ogni insieme stellato `econnesso per poligonali. Le implicazioni inverse non valgono. Esempi . . . (immediati)

• Ogni insieme connesso per poligonali`econnesso per archi, e ogni insieme connesso per archi `econnesso.

Le implicazioni inverse non valgono. Esempi . . . (un po’ meno immediati) Per i sottoinsiemiapertidi Rⁿvalgono anche le implicazioni inverse, quindi le tre nozioni sono equivalenti.

• I sottoinsiemi connessi di R sono tutti e soli gli intervalli.

• Gli intorni sferici sono convessi, quindi connessi. Verifica . . .

18