Analisi Matematica – Corso B

Analisi Matematica – Corso B

Prova scritta parziale #4 del 28.5.2014 [ 1 ]

1. punti 9 + 7

 Data la funzione f ( t ) = _{t - 1}

t log

2

, provare che è integrabile in un intorno di 0 e di 1 e che non è integrabile in nessun intorno di +∞.

 Utilizzando anche le informazioni precedenti, studiare la funzione F ( x ) = ^log _t ^t _{- 1} ^dt

x

1 2

 .

Lo studio della derivata seconda non è richiesto.

Nello svolgimento della seconda parte del problema lo studente può utilizzare le informazioni contenute nella prima parte anche se non le ha ancora verificate.

2. punti 8

Calcolare  _{x  2  2} ^x _{1  x} ^{dx .}

3. punti 8

Dopo averne giustificato l’esistenza, approssimare dx x sen x

1



con un errore minore di 10

partendo dalla serie di Taylor della funzione sen x di punto iniziale x

= 0 (di cui si chiede l’intervallo di convergenza).

Suggerimento: si utilizzi il teorema di Leibniz sulle serie a segno alterno.

Analisi Matematica – Corso B

Prova scritta parziale #4 del 28.5.2014 [ 2 ]

1. punti 9 + 7

 Data la funzione f ( t ) = 1 - t

t log

2

, provare che è integrabile in un intorno di 0, di 1 e di +∞.

 Utilizzando anche le informazioni precedenti, studiare la funzione F ( x ) = dt 1 - t

t log

x

1

 2 ^.

Lo studio della derivata seconda non è richiesto.

Nello svolgimento della seconda parte del problema lo studente può utilizzare le informazioni contenute nella prima parte anche se non le ha ancora verificate.

2. punti 8

Calcolare  _{2  x  2} ^x _{1  x} ^{dx .}

3. punti 8

Dopo averne giustificato l’esistenza, approssimare dx x

) x 1 ( log

1



^ con un errore minore di 10

partendo dalla serie di Taylor della funzione log ( 1 + x ) di punto iniziale x

= 0 (di cui si chiede l’intervallo di convergenza).

Suggerimento: si utilizzi il teorema di Leibniz sulle serie a segno alterno.