5. IL MODELLO DELL’ORIFIZIO

5.

IL MODELLO DELL’ORIFIZIO

5.1 Introduzione

In questo capitolo verrà descritto il modello fisico-matematico dell’orifizio sviluppato nell’ambito della presente tesi. Come già detto in precedenza si è sentita l’esigenza di analizzare questa particolare zona del neutralizzatore in quanto i modelli sviluppati in lavori precedenti la prendevano in considerazione solo attraverso coefficienti di perdita senza indagare i fenomeni locali. In particolare abbiamo fatto riferimento ad un modello inizialmente sviluppato per applicazioni diverse (MPD) [ 12 ] e successivamente modificato per descrivere il comportamento di un neutralizzatore con disco di estremità forato. La geometria originale considerata dal modello era semplicemente quella di un condotto cilindrico a sezione costante; nella versione per il neutralizzatore, oltre a cambiare i materiali ed il gas utilizzato, si è introdotta la presenza del disco di estremità facendo le seguenti ipotesi:

- il disco impedisce alla radiazione di uscire dalla zona dell’inserto (fv = 0);

- nessun elettrone riesce a fuoriuscire dalla zona dell’inserto (η_out = ); 1

- la condizione di pressione sonica viene ridefinita sulla sezione del foro di uscita.

Come detto in precedenza, questo modo di procedere permette di adattare il modello esistente al neutralizzatore, ma utilizza ipotesi forti e non permette di capire come la geometria del disco influenzi le prestazioni del neutralizzatore.

Con il modello che andiamo ad esporre si è cercato invece di capire i fenomeni che avvengono nell’orifizio e come la sua geometria influenzi le prestazioni complessive del catodo in modo da creare un utile strumento per il dimensionamento di questo particolare.

Di seguito si riporta uno schema delle dimensioni e dei versi convenzionali adottati nella trattazione del modello (Figura 5-1).

Figura 5-1 Schema dell’orifizio.

5.2 Ipotesi del modello

Innanzitutto si è ipotizzato di essere in regime stazionario; in questo modo si è evitato di dover prendere in considerazione i fenomeni complessi del transitorio di accensione.

Si è poi scelto di adottare una trattazione monodimensionale del problema in modo da ottenere una notevole semplificazione delle equazioni.

Per quanto riguarda il plasma si è approssimato il suo comportamento con una miscela di gas perfetti complessivamente neutra e costituita da elettroni, ioni e neutri. Si è assunto che la temperatura delle particelle pesanti fosse determinata dallo scambio di calore per conduzione con la parete del disco. In accordo con [ 19 ] si trascura sia il contributo delle collisioni elastiche elettroni-neutri, poco efficienti a causa del rapporto delle masse, sia il contributo di collisioni anelastiche. Si considera che le collisioni anelastiche abbiano come unico risultato quello di creare ioni, senza alterare significativamente la temperatura dell’insieme ioni-neutri. Si assume inoltre che la temperatura del gas sia la stessa di quella di parete. In accordo con le considerazioni di cui sopra si considerano gli ioni in sostanziale equilibrio termico con i neutri: grazie agli efficaci urti elastici tra le due specie e tra le singole specie e la parete. Gli elettroni, sempre per quanto già detto, sono ritenuti all’equilibrio ad una temperatura indipendente da quella delle particelle pesanti. Considerato lo scarso contatto con la parete dovuto al campo elettrico avverso della guaina catodica, gli elettroni sono anche ritenuti indipendenti dalla temperatura di parete. Si è assunto inoltre che la popolazione degli elettroni avesse una funzione di distribuzione di tipo maxwelliano. Nell’insieme gli elettroni prendono energia dal catodo per mezzo della corrente termoionica e dal campo elettrico mentre la cedono per mezzo di singoli urti di ionizzazione.

Il flusso del gas è trattato con teoria laminare viscosa subsonica con correzione per slittamento alla parete. Trascurare la compressibilità del gas può sembrare una approssimazione grossolana. In realtà, la compressibilità rientra nella soluzione attraverso la condizione al contorno: sezione d’uscita del flusso in camera a vuoto bloccata. Inoltre, anche l’uso delle equazioni per flussi monodimensionali comprimibili in condotti cilindrici sarebbe improprio nelle zone con rilevante ionizzazione. Per limitare la complessità del modello, almeno in questa fase iniziale, si adotta quindi la teoria di cui sopra.

Il meccanismo di ionizzazione adottato è quello di ionizzazione per singolo urto anelastico tra neutri ed elettroni. Si trascura, in accordo con

[ 19 ], l’importanza di meccanismi di ionizzazione a più passi e la presenza di

radiazioni potenzialmente capace di interagire con il plasma. In definitiva gli elettroni primari si termalizzano con gli elettroni del plasma andando ad aumentare la loro energia (pur conservando una distribuzione di tipo

maxwelliano) e quindi solo gli elettroni della “coda” di distribuzione con energia superiore a quella di ionizzazione del gas, ionizzano i neutri.

In accordo con la teoria del catodo cavo discussa nel capitolo precedente, si è approssimato il complesso andamento reale del potenziale utilizzando la suddivisione fittizia tra guaina catodica e parte centrale del flusso.

In accordo con la suddivisione del campo potenziale si considera la zona centrale dominata dal un flusso di corrente puramente assiale e la zona della guaina del plasma dove prevale la corrente radiale. La corrente radiale è costituita dal flusso degli elettroni emessi per effetto termoionico con effetto Schottky dalla parete del disco e dal flusso degli ioni verso la parete. Entrambi i flussi sono accelerati dal campo elettrico radiale tipico della guaina del plasma. Anche la corrente assiale è composta da due contributi, quello ionico e quello elettronico.

Dato lo spessore ridotto del disco di estremità si è ipotizzato che la temperatura di parete dell’orifizio fosse uniforme e costante: il suo valore è stato poi assunto uguale a quello calcolato all’estremità a valle dell’inserto con il modello in [ 12 ] modificato.

Infine si è deciso di assumere una caduta di potenziale lineare all’interno dell’orifizio e di utilizzare il gradiente del potenziale come un parametro libero.

5.3 Equazioni del modello

Bilancio energetico degli elettroni

Questa equazione è quella che consente di ricavare la temperatura elettronica che, come detto sopra, è indipendente da quella delle particelle pesanti del plasma. Per comodità scriveremo non una ma due equazioni: una per il flusso di energia elettronica ed una per legare tale flusso alla temperatura elettronica. Il bilancio del flusso di energia elettronica è esprimibile come:

2 e re i i e dq dV j V e V W j dx = ⋅r ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ dx (5-1)

Il primo addendo a secondo membro esprime l’apporto energetico degli elettroni emessi dalla parete che vengono accelerati dal campo elettrico della guaina del plasma, il secondo rappresenta l’energia spesa per la ionizzazione e infine l’ultimo esprime le variazioni di energia dovute al moto nel campo elettrico assiale nell’orifizio.

Infine, in accordo con [ 19 ], la relazione di similitudine che lega la temperatura elettronica con il flusso di energia elettronica è la seguente:

3.2 _b e e e k q j T e ⋅ = ⋅ ⋅ _(5-2)

Bilancio della corrente elettronica

Il bilancio della corrente elettronica è espresso semplicemente dalla seguente equazione: 2 e re i dj j e W dx = ⋅r + ⋅ (5-3)

dove i due addendi a secondo membro rappresentano rispettivamente il contributo della corrente radiale e quello della ionizzazione.

Effetto termoionico e funzione di lavoro efficace

L’emissione termoionica è regolata dall’equazione di Richardson-Dushman:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = b w eff T k e w R re A T e j ϕ 2 (5-4)

dove A_R è la costante di Richardson e la funzione di lavoro efficace è definita come l’energia necessaria per strappare un elettrone dalla superficie, espressa in [eV]. La presenza di un campo elettrico perpendicolare alla superficie facilita l’estrazione abbassando la funzione di lavoro secondo la formula:

o eff E e ε π ϕ ϕ ⋅ ⋅ ⋅ − = 4 (5-5)

I valori utilizzati per la costante di Richardson e per la funzione di lavoro sono quelli relativi al tungsteno : 4

2 2 70 10 R A A K m = ⋅ ⋅ e ϕ =4.55eV.

La stima del campo elettrico è fatta semplicemente dividendo il salto di potenziale attraverso la guaina catodica per il suo spessore e correggendo il tutto con un coefficiente empirico. Tale coefficiente correttivo, variabile tra 2 e 5, tiene conto dell’andamento non lineare del potenziale nella guaina e del fatto che lo spessore della guaina è espresso come multipli della lunghezza di Debye λ_D. L’espressione che ne risulta è la seguente:

D V E λ α ⋅ = 1 (5-6) dove: 2 e n T k e o e b D _⋅ ⋅ ⋅ = ε λ _(5-7)

Bilancio della corrente ionica

Il bilancio della correte ionica è analogo al precedente: 2 i ri i dj j e W dx = ⋅r − ⋅ (5-8)

Dove, anche in questo caso, i due addendi a secondo membro rappresentano rispettivamente il contributo della corrente radiale e quello della ionizzazione.

Corrente ionica radiale

La corrente ionica radiale che scorre nella guaina del plasma in prossimità della parete è stata espressa, in accorco con [ 28 ], con la seguente:

ri e th

dove: 2 b w th k T v M π ⋅ = ⋅ ⋅ (5-10)

E’ da notare che si approssima la massa dello ione con quella dell’atomo neutro.

Legge di Ohm generalizzata

L’andamento assiale del potenziale del plasma può essere legato alla densità di corrente ed ai gradienti di densità e temperatura elettronica. La legge di Ohm generalizzata, in assenza di campi magnetici può essere scritta:

(

)

in cui la conducibilità del plasma σ_el svolge un ruolo fondamentale e pertanto verrà discussa a parte. Nella precedente equazione jx è la corrente assiale totale ed è esprimibile come:

x e i

j = j + j _(5-12)

Nell’equazione (5-11) si è poi posto:

e b e

z T k n= ⋅ ⋅ _(5-13)

e si è utilizzata quindi nella forma:

x e el dz dV j e n dx dx σ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅_⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ (5-14)

Bilancio della quantità di moto per il flusso di gas

L’equazione del bilancio della quantità di moto per il flusso del gas è la seguente: 2 8 r v dx dP ck ⋅ ⋅ ⋅ − = ξ µ _(5-15)

dove il coefficiente ξ_ck che tiene conto dello slittamento della velocità alla parete è definito con [ 22 ]:

r ck _ς ξ ⋅ + = 4 1 1 (5-16)

in cui r è il raggio dell’orifizio e ς è dato da:

M T k P f f _{b w} ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 2 µ π ς _(5-17)

essendo f la frazione degli urti molecolari con la parete che comporta una diffusione uniforme delle molecole stesse dopo l’urto e varia, sempre in accordo con [ 22 ], tra 0.8 e 1.

Il calcolo della velocità media del flusso può invece essere fatto con l’equazione seguente:

(

)

Le formule di cui sopra, considerano il grado di ionizzazione e la temperatura elettronica ininfluenti ai fini del calcolo delle forze viscose e del gradiente di pressione. La presenza degli elettroni rientra però in gioco con la condizione alla sezione d’uscita sulla pressione che si può formulare come segue:

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ₌ = = = = i x l l x w l x e l x w b f l x _T X T M T k r m f P ₂ 1 γ π  (5-19)

dove, in accordo con l’ipotesi di moto alla Poiseuille, al coefficiente f è _f

stato assegnato il valore 2; ciò corrisponde ad imporre uguale alla velocità del suono la massima velocità del profilo parabolico di velocità.

Di solito, dalla definizione della velocità del suono come:

2 a d dP =

ρ (5-20)

in cui la ρ rappresenta la densità di massa del gas in questione, e dalla legge che lega pressione e densità per flussi adiabatici si ricava la nota:

T M k

a_{= γ ⋅} b _{⋅ (5-21)}

Per il nostro caso la pressione del plasma, seguendo le ipotesi fatte sinora, si può scrivere come somma di tre contributi:

b e e b w e b w o T k n T k n T k n P= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ _(5-22)

che si può anche scrivere come:

(

)

il grado di ionizzazione del gas.

Dalla (5-23) si può dire che il plasma si comporta come un gas costituito da un numero di particelle equivalenti all’insieme di ioni e neutri ma con una temperatura maggiorata dal fattore tra parentesi che tiene conto della presenza degli elettroni.

Si arriva alla definizione equivalente per la velocità del suono, che risulta essere: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = _i w e w b _X T T T M k a γ 1 _(5-25)

solo supponendo che, per le trasformazioni adiabatiche, il fattore tra parentesi resti costante.

Riassumendo le equazioni del modello sono le seguenti: 2 e re i i e dq dV j V e V W j dx = ⋅r ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ dx 2 e re i dj j e W dx = ⋅r + ⋅ 2 i ri i dj j e W dx = ⋅r − ⋅ x e el dz dV j e n dx dx σ ⎛ ⎞ = ⋅ ⋅_⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ 2 8 r v dx dP ck ⋅ ⋅ ⋅ − = ξ µ . dV const dx =

Considerando le varie dipendenze funzionali espresse dalle equazioni algebriche viste in precedenza, siamo in presenza di un sistema di sei equazioni differenziali in sei incognite: j , _e j , _i T , V , _e n e _e n . _o

5.4 Le condizioni al contorno

Nel modello sono presenti cinque equazioni differenziali del primo ordine: è necessario quindi stabilire altrettante condizioni al contorno. A questo scopo faremo riferimento ai risultati ottenuti dal modello sviluppato in

[ 12 ] per la zona dell’inserto. Osserviamo innanzitutto che il modello dell’inserto cui ci rifaremo si basa sull’ipotesi che la corrente assiale sia unicamente elettronica, mentre contempla la presenza di corrente radiale sia ionica che elettronica.

Per prima cosa abbiamo ipotizzato che tutta la corrente elettronica in uscita dall’inserto riuscisse ad entrare nell’orifizio: abbiamo così ottenuto la densità di corrente elettronica all’inizio dell’orifizio semplicemente scalando la densità di corrente elettronica in uscita dall’inserto in base al rapporto delle rispettive sezioni di passaggio:

0 _ ins e e ins S j j S = ⋅ _(5-26)

La temperatura elettronica all’inizio dell’orifizio è stata supposta uguale a quella all’uscita dell’inserto:

0 _

e e ins

T =T _(5-27)

Il flusso di energia elettronica all’inizio dell’inserto è stato quindi facilmente calcolato con la (5-2) nota la temperatura elettronica appena calcolata:

0 0 0 3.2 _b e e e k q j T e ⋅ = ⋅ ⋅ _(5-28)

Abbiamo poi ipotizzato che gli elettroni, passando dalla zona dell’inserto a quella dell’orifizio, mantenessero immutata la propria velocità (v_e0 =v_{e ins_} ). In questo modo, ricordando che la densità di corrente elettronica è esprimibile come j_e = ⋅ ⋅ e utilizzando per la densità elettronica alla fine dell’inserto n e v_{e e}

la densità elettronica all’inizio dell’orifizio e quindi il valore di z in quel punto: 0 0 _ _ e e e ins e ins j n n j = ⋅ _(5-29)

Per quanto riguarda la densità di corrente ionica all’inizio dell’orifizio abbiamo utilizzato la seguente espressione:

0 ₂ b w i e k T j n e M π ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (5-30)

Anche i valori della temperatura di parete e del potenziale all’inizio dell’orifizio sono stati presi dai risultati del modello dell’inserto; la portata di gas è stata ovviamente scelta uguale a quella utilizzata nell’altro modello. L’ultima condizione al contorno riguarda la pressione ed è quella già citata di pressione sonica allo sbocco.

5.5 Le proprietà fisiche del plasma

Vediamo ora come effettuare il calcolo di alcune proprietà del plasma che sono necessarie alla risoluzione del modello.

Coefficiente di viscosità

Si sceglie di approssimare il coefficiente di viscosità del plasma con quello del gas non ionizzato utilizzando, come fatto in [ 12 ] in accordo con [ 23 ], il tipico potenziale di interazione tra neutri al fine di calcolare l’integrale collisionale adimensionale (Ω ). Di nuovo con [ 23 ] si scrive: _v

v a w T a m u M Ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − 2 6 8 . 1 . . . 10 2 σ µ (5-31)

dove σ_a è il diametro di collisione dell’atomo del gas espresso in Å mentre l’integrale collisionale è approssimato con la formula:

2 * 145 . 0 * 5 . 0 147 . 1 − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ≈ Ω T T T T_{w w} v (5-32)

con T_* tabulata assieme a σ_a, per vari gas, in [ 23 ].

Conducibilità elettrica del plasma

Per la stima della conducibilità elettrica del plasma si utilizza la teoria esposta in [ 12 ] che permette il calcolo di questa proprietà del plasma per qualsiasi grado di ionizzazione. L’espressione utilizzata è la seguente:

deb el en ei pie el ei en el v v v v _ _ 1 1 1 1 _{σ σ} σ ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⋅ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = _(5-33)

dove σ_{el pie_} e σ_{el deb_} sono rispettivamente la conducibilità elettrica per un gas pienamente ionizzato e per un gas debolmente ionizzato; v è invece la _en

media delle frequenze collisionali elettroni-neutri per il trasferimento della quantità di moto, mentre v è definita in modo analogo alla precedente ma in _ei

riferimento alla collisione elettrone-ione.

5.6 La ionizzazione

Come già detto il meccanismo di ionizzazione considerato è quello della ionizzazione per singolo urto anelastico tra elettroni e neutri. In questo modello gli elettroni primari si termalizzano con gli elettroni del plasma andando ad aumentare la loro energia (pur conservando una distribuzione di tipo maxwelliano) e quindi solo gli elettroni della “coda” di distribuzione con energia superiore a quella di ionizzazione del gas, ionizzano i neutri. Questo

modello di ionizzazione è sostanzialmente diverso da quello adottato in [ 12 ] dove si assumeva che gli elettroni con energia maggiore o uguale a quella di ionizzazione dopo l’urto, con la loro energia residua, si portassero all’equilibrio con la massa degli elettroni del plasma, contribuendo ad innalzarne la temperatura. Si è scelto di operare questo cambiamento spinti dal fatto che quel modello portava a correnti estratte dal catodo molto basse.

Il rateo di ionizzione (W , numero di urti di ionizzazione nell’unità di _i

tempo e di volume) è quindi dato dalla seguente espressione [ 24 ]:

i e o i

W = ⋅ ⋅ n n α _(5-34)

dove α_i si calcola come:

( )

∫

in cui g è la velocità relativa dell’elettrone rispetto al neutro e _Qion

( )

velocità dell’elettrone è molto maggiore di quella del neutro, abbiamo considerato che il neutro fosse fermo e abbiamo quindi posto g uguale alla velocità assoluta dell’elettrone.

5.7 Soluzione numerica e risultati

Il sistema di equazioni differenziali ottenuto è stato risolto implementando un algoritmo di soluzione basato sul metodo di Runge-Kutta del 4° ordine. Poiché una delle condizioni al contorno (quella sulla pressione) è imposta, a differenza di tutte le altre, alla fine dell’orifizio il problema non è ai valori iniziali bensì ai valori al contorno. Per risolvere il sistema ci siamo avvalsi pertanto della tecnica dello shooting: è stato fissato un valore della pressione all’inizio dell’orifizio (parametro di shooting) di primo tentativo ed è stato integrato il sistema dall’inizio alla fine dell’orifizio. E’ stato così possibile confrontare la pressione alla fine dell’orifizio così calcolata con quella derivante dall’applicazione della condizione sonica allo sbocco: nel caso in cui le due pressioni non coincidano si cambia il valore della pressione iniziale e si ripete il procedimento fino alla convergenza.

Il sistema è stato poi risolto allo stesso modo per vari valori del gradiente di potenziale. In Appendice B si riporta il listato completo del relativo programma Matlab.

E’ stato indagato il comportamento del plasma nei seguenti casi:

- variando AR’ con il gradiente di potenziale ed il raggio dell’orifizio fissati (caso 1);

- variando il raggio dell’orifizio con il gradiente del potenziale e AR’ fissati (caso 2);

- variando il gradiente del potenziale con il raggio dell’orifizio e AR’ fissati (caso 3).

Nel seguito verranno mostrati i principali risultati ottenuti; le quantità asteriscate sono quantità normalizzate con il rispettivo valore all’inizio dell’orifizio.

Caso 1

Di seguito si riportano i risultati del modello numerico per dV 1 V

dx = mm,

0.6

r= mm e AR' 1.0 1.6= ÷ .

Figura 5-3 Andamento della pressione al variare di AR’.

Figura 5-5 Andamento di n_e al variare di AR’.

Figura 5-7 Andamento di I_d* al variare di AR’.

Come si nota in Figura 5-3 e Figura 5-4 la pressione, la caduta di pressione attraverso l’orifizio e il grado di ionizzazione aumentano all’aumentare di

AR’. La temperatura elettronica (Figura 5-6) mostra un gradiente minore

all’aumentare di AR’, anche se il valore all’uscita aumenta. La densità elettronica (Figura 5-5) e la corrente di scarica Id (Figura 5-7) mostrano un gradiente sostanzialmente insensibile al variare di AR’ mentre il valore all’uscita aumenta con esso. A proposito della corrente di scarica si osserva un incremento elevato attraverso l’orifizio; per indagare ulteriormente questo fenomeno è stata fatta una simulazione con una corrente in entrata dell’orifizio di 10 A (Figura 5-8). In questo caso si osserva invece che l’incremento di corrente è contenuto e dello stesso ordine dei valori reperibili in letteratura. Si pensa quindi che nella realtà un neutralizzatore ad alta corrente si comporti come in Figura 5-8, tuttavia le simulazioni sono state fatte considerando come dati iniziali i valori calcolati con il modello in [ 12 ] che, come noto, sottostima la corrente in uscita dalla zona dell’inserto.

Figura 5-8 Andamento di I_d* al variare di AR’ con I_d0 =10A.

Caso 2

Di seguito si riportano i risultati del modello numerico per dV 1 V

dx = mm,

' 1.2

AR = e r=0.4 0.6− mm.

Figura 5-10 Andamento di X_i* al variare i r.

Figura 5-12 Andamento di T_e al variare di r.

Figura 5-13 Andamento di I_d* al variare di r.

In Figura 5-9 si osserva che la pressione ed il salto di pressione attraverso l’orifizio diminuiscono all’aumentare del raggio dell’orifizio stesso. Il grado

di ionizzazione all’uscita dall’orifizio aumenta con il raggio (Figura 5-10) mentre la densità elettronica diminuisce (Figura 5-11). Il gradiente della temperatura elettronica rimane sostanzialmente invariato al variare del raggio e il valore maggiore all’uscita si ha per il raggio maggiore (Figura 5-12). Infine si osserva che il gradiente della corrente estratta dal catodo (Figura 5-13) diminuisce all’aumentare del raggio dell’orifizio e il valore della corrente all’uscita è più grande per il raggio maggiore.

Caso 3

Di seguito si riportano infine i risultati del modello numerico per AR' 1.2= , 0.6

r= mm e dV 0.5 1 V

dx = − mm.

Figura 5-14 Andamento della pressione al variare di dV

Figura 5-15 Andamento di X_i* al variare i dV

dx .

Figura 5-16 Andamento di n_e al variare di dV

Figura 5-17 Andamento di T_e al variare di dV

dx .

Figura 5-18 Andamento di I_d* al variare di dV

In questo caso si osserva che la pressione aumenta all’aumentare del gradiente di potenziale (Figura 5-14) mentre Il grado di ionizzazione diminuisce (Figura 5-15). Gli andamenti di densità elettronica (Figura 5-16), temperatura elettronica (Figura 5-17) e corrente estratta dal catodo (Figura 5-18), mostrano andamenti simili: il gradiente di ciascuna di queste quantità aumenta all’aumentare del gradiente di potenziale nell’orifizio.