∫ ∂∂ρ−=∂∂+∂∂ yp1yvvxvu ∂∂ρ−=∂∂+∂∂ xp1yuvxuu =∂∂+∂∂ 0yvxu

CAP. 1 FLUSSO POTENZIALE

1.1 Teoria bidimensionale del flusso potenziale

Nel caso di fluido perfetto, incomprimibile e moto piano l'equazione di continuità e del moto diventano: a) equazione di continuità 0 y v x u ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ (1.1.1)

b) equazioni del moto

x p 1 y u v x u u ∂ ∂ ρ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ (1.1.2) y p 1 y v v x v u ∂ ∂ ρ − = ∂ ∂ + ∂ ∂

Un’ulteriore condizione che viene introdotta nel modello di flusso potenziale è che il flusso sia tangente al profilo solido del corpo investito dalla corrente.

Tale condizione si esprime con la seguente relazione:

wr ⋅ rn=0 (1.1.3) dove nr è la normale al punto considerato sul contorno del corpo. Considerando un determinato campo di flusso, la circuitazione γ una linea AγB è data da:

∫

γ ⋅ = Γ B A s d wr r (1.1.4)

Secondo il teorema di Stokes esiste una semplice relazione tra circuitazione lungo una linea chiusa e le derivate parziali delle componenti u e w della velocità: se consideriamo infatti un

elemento infinitesimo come in figura ho che: dxdy x v y u d _      ∂ ∂ − ∂ ∂ = Γ (1.1.5)

Vale allora la seguente espressione integrale:

∫∫

_      ∂ ∂ − ∂ ∂ = Γ dxdy x v y u (1.1.6)

Si può osservare come il secondo termine dell’equazione precedente rappresenti il valore della vorticità ovvero del doppio della velocità angolare di un elemento di fluido; considerando infatti la rotazione rigida di un elemento infinitesimo abbiamo:

_      ∂ ∂ − ∂ ∂ = ω x v y u 2 1 (1.1.7)

Qualora il moto del fluido perfetto sia di tipo irrotazionale vale che ω=0 e quindi che

0 x v y u 2 1 =       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ϖ (1.1.8)

Ne consegue direttamente che per un flusso irrotazionale la circuitazione lungo una linea chiusa è nulla.

Tale risultato è di fondamentale importanza nello studio fluidodinamico delle schiere di profili in quanto determina la più importante differenza tra flusso in presenza di profilo isolato e flusso in presenza di schiera.

Ancora nel caso di una corrente piana e irrotazionale di un fluido incomprimibile non viscoso che investe un profilo isolato) si può osservare come per il precedente risultato la circuitazione associata al contorno chiuso del profilo sia nulla ( vedi fig. 1.1.1 )

Fig.1.1.1 wds wds 0 B 2 A B 1 A = +

_∫

∫

γ γ r r r r _(1.1.9)

Tale relazione implica che il flusso all'infinito a monte del profilo ha le stesse caratteristiche del flusso all'infinito a valle: il profilo isolato quindi non altera il flusso del fluido (se non localmente).

Se invece consideriamo la stessa corrente che investe una schiera bidimensionale infinita di profili abbiamo secondo la fig.(1.1.2):

0 s d w s d w s d w d V s d w s d w s d w d V BA B C DC 2 D _ C _ BC AB 1 +

∫

+

∫

+

∫

− +

∫

+

∫

+

∫

= + + r r r r r r r r r r r r _(1.1.10) da cui segue d V V₁− ₂ = Γ (1.1.11) Nel caso di flusso puramente assiale, per la continuità vale anche la

seguente: V₁+V₂ =0 (1.1.12) e quindi d 2 V V₁ =− ₂ = Γ (1.1.13)

U1 =U2

In tal caso si può osservare come le caratteristiche della corrente a distanza infinita a monte della schiera differiscano da quelle a distanza infinita a valle: pertanto la schiera rappresenta una discontinuità fluidodinamica per il flusso del fluido, alterandone più o meno le caratteristiche sia localmente che globalmente.

Se consideriamo il campo di flusso indicato in fig.1.1.2, per un flusso irrotazionale deve valere che l'integrale di linea della velocità sulla curva Aγ2B deve essere uguale all'integrale di linea sulla curva Aγ1B: il valore di questo integrale può essere indicato come potenziale Φ e dipende quindi solo dalla posizione del punto A e del punto B.Φ vale allora:

fig.1.1.2

Φ =

∫

(

−

)

=

∫

B Φ

A B

A udx vdy d (1.1.14)

Poiché vale anche:

dy y dx x d ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ = Φ (1.1.15)

y v x u         ∂ Φ ∂ = ∂ Φ ∂ = (1.1.16)

Se consideriamo l'equazione di continuità in termini delle precedenti abbiamo

0 y x 2 2 2 2 = ∂ Φ ∂ + ∂ Φ ∂ (1.1.17)

che è l'equazione di Laplace in due dimensioni. La relazione (1.1.14) diventa allora:

0 n y 0 =       ∂ Φ ∂ = r (1.1.18)

Consideriamo invece il flusso attraverso una linea arbitraria γ che congiunge i due punti A e B (vedi figura 1.1.3).

Fig.1.1.3

Per l'equazione di continuità il flusso che attraversa tale linea sarà uguale al flusso che attraversa ogni altra linea congiungente i due punti A e B: tale flusso dipende esclusivamente dalla posizione dei punti considerati. La quantità di fluido (indicata con Ψ) che attraversa la generica linea tra i punti A e B è data quindi da:

dΨ=udy−vdx ⇒ Ψ =

_∫

B −

Audy vdx (1.1.19)

L'espressione del differenziale totale della funzione Ψ, detta funzione di corrente, è la seguente: dy y dx x d ∂ Ψ ∂ + ∂ Ψ ∂ = Ψ (1.1.20)

Confrontando la (1.1.15) e la (1.1.19) si osserva come i coefficienti di dx e dy debbano essere uguali; risulta quindi

        ∂ Ψ ∂ = ∂ Ψ ∂ = x -v y u (1.1.21)

Sostituendo le precedenti nell’equazione che stabilisce l'irrotazionalità del flusso abbiamo allora che: 0 y x 2 2 2 2 = ∂ Ψ ∂ + ∂ Ψ ∂ (1.1.22)

Si può osservare come per la definizione di Φ si sia partiti dalla definizione di moto irrotazionale per poi verificare l'equazione di continuità con la (1.1.1); viceversa per la definizione di Ψ è stata ipotizzata la continuità del flusso per poi verificare con la (1.1.2) l’irrotazionalità dello stesso.

Ogni funzione di x e y che soddisfa la (1.1.1) o la (1.1.2) rappresenta un possibile flusso bidimensionale e irrotazionale di un fluido perfetto; dalle precedenti si può ricavare che:

        ∂ Ψ ∂ − = ∂ Φ ∂ = ∂ Ψ ∂ = ∂ Φ ∂ = x y v y x u (1.1.23)

Dalle precedenti si può osservare che le linee lungo le quali la funzione Ψ è costante (linee di corrente) intersecano le linee lungo le quali Φ è costante (linee equi potenziali) formando angoli retti.

Un risultato molto interessante dal punto di vista della soluzione del flusso è che le (1.1.1) e (1.1.2) sono equazioni lineari e quindi le funzioni Ψ e Φ, combinazioni lineari di funzioni rappresentanti le soluzioni di flussi diversi, rappresentano la soluzione del flusso sovrapposizione dei due flussi di cui è nota la soluzione.

Tale aspetto è di fondamentale importanza nella determinazione della soluzione del flusso potenziale in quanto è possibile semplificare la ricerca della soluzione di un flusso andando ad analizzare flussi più semplici di cui può essere considerato composizione.

1.2 Impostazione teorica del metodo di calcolo del flusso potenziale

Se lungo il contorno di un profilo si distribuisce una vorticità γ(s), dove con s si indica la coordinata curvilinea contata a partire dal bordo d’uscita del profilo stesso, la velocità locale del flusso che lambisce il suddetto contorno vale:

Fig.1.2.1

w(s) =γ(s)

risulta quindi conveniente eseguire tale distribuzione di vorticità ad ogni singolo profilo della schiera, per lavorare direttamente con la velocità locale del flusso che investe i profili della stessa.

Fig.1.2.2

Infatti se si considera un elemento infinitesimo ds si può facilmente scrivere: γ ds= w ds – wi ds + V1 dn – V2 dn

Consideriamo ora il vortice γ situato nel punto A di coordinate (x0, y0), equivalente ad un

vettore applicato in P (x, y) di componenti u e v rispettivamente parallele all’asse x e all’asse y.

Fig.1.2.3

Indicando con r la distanza tra i punti A e P pari quindi a:

(

) (

)

2 0 2 0 y y x x r = − + −

le suddette componenti u e v valgono:

₂ 0 r y y 2 u − π γ = e ₂ 0 r x x 2 v − π γ − = (1.2.1)

Infatti si può scrivere:

rw 2π = γ ⇒ r 2 w π γ =

Essendo poi per definizione di velocità complessa coniugata w= u – iv

e ponendo

∆x = x-x0 e ∆y= y-y0

(

)(

)

x i y 1 i 2 y i x y i x y i x i 2 w ∆ + ∆ π γ − = ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ − ∆ π γ − =

La precedente relazione, essendo ζ=x+iy, può anche essere espressa come:

0 1 i 2 iv u w ζ − ζ π γ − = − = (1.2.2)

Poniamo lungo ad un asse parallelo all’asse immaginario y, infiniti vortici puntiformi, ciascuno d’intensità γ e posti ad una distanza d uno dall’altro;

Fig.1.2.4 allora essendo ind 0 n =ζ ± ζ_±

dove con ζ0 si indica la posizione di un vortice di riferimento, allora la velocità complessa

coniugata del flusso, w, in un punto ζ, vale:

            π +       ζ−ζ π π ζ − ζ + ζ − ζ π γ −

∑

∞ =1 n ₀ 2 _{2 2} 2 2 0 0 n d 1 d 2 1 i 2 w

Se prendiamo in considerazione solo la sommatoria, la stessa si può scrivere nella forma

(

)

(

)

(

)

∑

∞ = ζ−ζ + − ζ − ζ + + ζ − ζ 1 n ₀ 2 2 2 0 0 d n ind ind da cui

(

)

(

)

_     + ζ − ζ ζ − ζ + ζ − ζ π γ − =

∑

∞ =1 n 0 2 2 2 0 0 n d 1 2 1 i 2 w Ricordando dall’analisi che

∑

∞ = θ − θ θ = π + θ 1 n 2 2 2 2 2 1 coth 2 1 n 1

riportando la sommatoria con cui abbiamo a che fare in questa forma si ottiene:

            π +      _πζ−ζ π ζ − ζ + ζ − ζ π γ − =

∑

∞ =1 n 2 2 2 2 0 2 2 0 0 n d 1 d 2 1 i 2 w

e si può perciò scrivere:

      ζ − ζ −      _πζ−ζ π + ζ − ζ π γ − = 0 0 0 1 d coth d 1 i 2 w da cui infine       ζ−ζ π γ − = − = d coth di 2 iv u w 0

che rappresenta appunto la velocità complessa coniugata del flusso indotta in un punto ζ dalle vorticità puntiformi γ.

Se si considera anche il flusso uniforme che investe i profili con una velocità w0 inclinata

     _πζ−ζ γ − − = β d coth di 2 e iw w i 0 0 0

Facendo il limite di w per x→±∞ risulta che la velocità complessa coniugata del flusso considerato all’infinito a monte e all’infinito a valle della schiera assume i seguenti valori:

       γ − − = γ + − = β β di 2 e iw w di 2 e iw w 0 0 i 0 2 i 0 1

Ciascun profilo di questa schiera viene approssimato con una poligonale di N segmenti e quindi di N+1 nodi (il nodo 1 ed il nodo N+1 si riferiscono entrambi al bordo d’uscita).

Su ciascun segmento j-esimo si assume una distribuzione lineare di vorticità.

Fig.1.2.5

Peraltro indicando con lj la lunghezza del segmento considerato e con γj l’intensità di

vorticità in corrispondenza del nodo j-esimo della poligonale possiamo quindi scrivere:

s l_j j 1 j j γ − γ + γ = γ +

e ponendo

j

l s

sˆ= (ascissa curvilinea adimenzionalizzata con la lunghezza del segmento lj) si ha

che:

(

1 sˆ

)

_j1sˆ j − +γ γ = γ

quindi la velocità complessa coniugata indotta dal segmento considerato vale:

∫

           ζ−ζ π γ − = lj 0 0 _dsˆ d coth di 2 w In definitiva si ottiene:

( )

[

(

)

1

]

j 1 j 1 j 0 j j j I I I i 2 1 w γ − +γ+ π − = ζ ∆ dove si è posto              ζ − ζ = σ       ζ−ζ −σ π π =             ζ−ζ π       ζ−ζ π σ = + +

∫

1 j 1 0 j j 1 j 1 j j j 0 j sˆ d d sˆ coth sˆ d l I d senh / d senh ln l I

Per una velocità w0 del flusso indisturbato si devono quindi determinare le N+1 incognite

tale da garantire la tangenza del flusso che investe ogni singolo profilo della schiera.

Essendo tale condizione di tangenza applicata nel punto medio del segmento in esame e dato che l’integrale 1

j

I viene calcolato numericamente, quando il punto di controllo (punto medio del segmento in cui viene calcolata la velocità indotta dai segmenti vorticosi) appartiene al segmento vorticoso inducente, allora le precedenti espressioni diventano:

             − = χ ≤ ε < χ      πσ_χ χ π −         −         −       πεσ       επσ σ ε = = − ε

∫

sˆ 2 1 con e 10 0 con d d coth d l 2 1 1 d 5 d 3 l 2 I 0 I 2 5 . 0 j 2 2 j 1 j 0 j

1.3 Risoluzione del metodo di calcolo del flusso potenziale

Viene imposto che la velocità totale del flusso, cioè quella derivata dal flusso asintotico (w0)

e quella indotta dagli N segmenti vorticosi, sia tangente nel punto medio di ciascun segmento formante la poligonale.

In tal modo si ottengono N equazioni (una per ogni segmento) in N+1 incognite che sono l’intensità della vorticità in corrispondenza dei nodi della poligonale suddetta.

Abbiamo quindi:

0 tot w w

w = +

dove w (velocità complessa coniugata indotta dai segmenti vorticosi) può anche essere scritta come:

∑

+ = γ =N 1 1 j j ij a w

dove gli aij rappresentano i coefficienti della matrice d’influenza, che verranno meglio precisati in

seguito. Per la condizione di tangenza, indicando con n la normale al segmento nel punto medio, dovrà quindi valere la seguente relazione:

0 n * wtot = e quindi: N 1(a *n) w₀*n 0 1 j j ij γ + =

∑

+ = (1.3.1)

che rappresenta un sistema di N equazioni in N+1 incognite. L’equazione che rende il problema determinato si ottiene dalla condizione di Kutta (il fluido deve abbandonare il profilo dolcemente e con velocità finita) al bordo d’uscita di ciascun profilo della schiera in esame (vedi Bibl.[2]).

γ₁+γ_N+1 =0 (1.3.2) avremo quindi un sistema formato dalle equazioni (1.3.1) e (1.3.2). Risolvendo quindi il sistema

lineare così ottenuto si conosce automaticamente la distribuzione della velocità che lambisce ciascun profilo della schiera il che ci permette di ricavare le caratteristiche fluidodinamiche del caso in esame.

Vediamo ora come si ottengono i coefficienti aij della matrice d’influenza.

Considerando:      + = + = 4 j 3 j 1 j 2 j 1 j 0 j iT T I iT T I dove 1 j T e 2 j

T rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria dell’integrale 0 j

I ed analogamente per l’integrale 1

j

I ;moltiplicando e dividendo il secondo membro per i si può scrivere:

(

)

[

1

]

j 1 j 1 j 0 j j j I I I 2 i w γ − +γ ₊ π =

Con varie sostituzioni si ottiene:

(

)

(

)

[

4

]

j 3 j 1 j 4 j 3 j 2 j 1 j j j iT T iT T iT T 2 1 w γ − − − +γ − π = +

A questo punto si può vedere come la velocità in corrispondenza del j-esimo nodo della poligonale (con f1j ed f2j funzioni scelte opportunamente) sia data da un’espressione del tipo:

) ( f ) ( f wj = 1j γj + 2j γj+1

Fig.1.3.1 j j 1 j _l 2 A= γ + +γ j j l 2 1 B= γ 1 j j l 2 1 C= γ ₊

Si può però considerare tale velocità come funzione solo della vorticità γj; cioè:

) ( f ) ( f w_j = _1j γ_j + _2j−1 γ_j che corrisponde adesso a considerare l’area

Fig.1.3.2 il cui valore è:

A’= bj * γj

) l l ( 2 1 b_j = _j−1+ _j Alla luce di quanto visto

(

) (

)

[

]

j 3 1 j 3 j 1 j 2 j 4 1 j 4 j j T T T i T T T 2 1 w − − − − + − γ π = _{− −}

e ricordando la definizione di velocità complessa coniugata wj = uj – ivj si ha:

(

)

(

)

       γ − + − π = γ + − π = − − 3 1 j 3 j 1 j j j 2 j 4 1 j 4 j j T T T 2 1 v T T T 2 1 u (1.3.3)

Per il rispetto della condizione di tangenza del flusso nel punto medio (punto di controllo) del segmento j-esimo: j 0 j j*n w *n w = −

dove n rappresenta la normale al segmento j-esimo condotta nel suo punto medio di j

componenti:

(

sen i;cos j

)

nj = − αj αj

Bisogna anche tenere conto che sussiste la seguente relazione per la velocità all’infinito a monte della schiera:

j d 2 w w₀ = ₁− Γ

dove con Γ si è indicato la vorticità totale distribuita lungo il profilo, che è data da:

∑

+ = γ = Γ N 1 1 j j j b (1.3.4)

Sostituendo le relazioni trovate otteniamo:

j j 1 j j*n w *n _2dj*n w = − Γ −

A questo punto la velocità all’ingresso del flusso nella schiera w1 è nota essendo l’angolo β1

un dato d’ingresso del nostro problema.

Sviluppando la precedente relazione si ottiene:

(

) (

) (

) (

)

j*

(

sen i cos j

)

d 2 j cos i sen * j cos i sen j cos i sen * j v i u_j + _j − α_j + α_j = β₁ + β₁ − α_j + α_j − Γ − α_j + α_j − (1.3.5)

Ricordando le relazioni (1.3.3) e (1.3.4) e sostituendo nella (1.3.5) si possono così ricavare le espressioni dei coefficienti a’ij (dove con l’apice si sono indicati i nuovi coefficienti della matrice

d’influenza riferiti, questa volta, alla velocità del flusso all’ingresso, w1, e non più a quella del

flusso in assenza della schiera, w0) che valgono:

per j=1

(

)

(

)

i 1 i 3 1 1 1 i 2 1 4 1

ij T T sen T T cos b cos

' a = − α + − α + α per 2>j>N

(

)

(

)

i j i 3 1 j 3 j 1 j i 4 1 j 2 j 4 j

ij T T T sen T T T cos b cos

' a = − − ₋ α + − + ₋ α + α per J=N+1 i 1 N i 4 N i 3 N 1

iN T cos T sen b cos

'

a ₊ = α − α + ₊ α

Si fa presente che nelle suddette espressioni l’indice “i” si riferisce al segmento in cui si trova il punto di controllo e che l’indice “j” si riferisce al segmento inducente.