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Prova scritta di Matematica Applicata 26 ottobre 2016
1. Ortonormalizzare i seguenti vettori mediante il procedimento di Gram-Schmidt
v1 =
0 2 0 2
, v2 =
2 0 2 0
, v3 =
0 3 0 1
, v4 =
3 0 1 0
.
Soluzione.
q1 =
√0
2 2
√0
2 2
, q2 =
√ 2 2
√0
2 2
0
, q3 =
√0
2 2
0
−
√ 2 2
, q4 =
√ 2 2
0
−
√2 2
0
.
2. Dopo aver calcolato la fattorizzazione P A = LU della matrice
A =
0 4 0 6 4 0 6 0 0 4 0 2 4 0 2 0
,
la si utilizzi per calcolare il determinante di A e la quarta colonna della sua inversa.
Soluzione.
L =
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
, U =
4 0 6 0
0 4 0 6
0 0 −4 0
0 0 0 −4
, P =
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
,
det(A) = 256, A−1e4 =3
8 0 −14 0T
.
3. Utilizzando il metodo di Eulero-Cauchy esplicito, approssimare la soluzione dell’e- quazione
(y00+ (x − 3)y = 2 − x y(1) = 0, y0(1) = 1 in x = 2, avendo posto il passo h = 12.
Soluzione. η1 = (12,32)T, η2 = (54,178)T
4. Risolvere, ricorrendo alla serie di Fourier, la seguente equazione differenziale
y00+ 2y = f (x), f (x) =
−x − 2, x ∈ [−2, −1), x, x ∈ [−1, 1), 2 − x, x ∈ [1, 2].
Soluzione.
y(x) = 32 π2
∞
X
k=1
sin kπ2
k2(8 − k2π2)sin kπ
2x 5. Eseguire i seguenti calcoli:
F
e−|x|cos 3x 2
, F−1
3e−3ik 2 + (k +√
π)2
Soluzione.
F1(k) = 1
1 + (k − 32)2 + 1
1 + (k +32)2, f2(x) = 3 2√
2e
√πi(3−x)e−
√ 2|x−3|
