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ABC →→ Modelli di Reattori Chimici - Prova scritta del 27/1/2011 Nome e Cognome:___________________ Matricola:___________

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Academic year: 2021

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(1)

Modelli di Reattori Chimici - Prova scritta del 27/1/2011

Nome e Cognome:___________________ Matricola:___________

1) Si consideri il seguente schema di reazione:

1 2

A→ B C

descritto dalle seguenti espressioni cinetiche:

3 2

1 1 A 1

1

2 2 B 2

r k C k 5 m

kgmole min r k C k 0.1 min

= =

= =

Queste reazioni avvengono in un reattore tubolare descritto da un modello ideale di flusso a pistone (PFR) con una sezione di raggio R=1 m ed alimentato con una portata volumetrica Q espressa in l/min contenente la sola specie chimica A con una concentrazione di CA0=1 kgmole/m3. La portata volumetrica è data da 100 moltiplicato per le ultime tre cifre della matricola del candidato.

a) Scrivere tutte le equazioni di bilancio necessarie a caratterizzare il processo. (4) b) Ricavare l’andamento per le specie chimiche A e B lungo l’asse del reattore. (4) c) Essendo interessati alla massimizzazione della produzione di B, ricavare la

lunghezza ottimale del reattore PFR. (4)

2) In un reattore discontinuo Batch avviene la seguente reazione di equilibrio:

1 1 1

1 1 2 2 1 2

2 A, B, min , 0.5 min

A←B r = k C r = k C k =n k = ×n

dove n è l’ultima cifra diversa da zero del numero di matricola del candidato. Inizialmente all’interno del reattore è presente la sola specie chimica A con una concentrazione di 1 mol/l.

d) Calcolare il tempo necessario per ottenere una conversione di A pari al 50% (5) e) E’ possibile ottenere un grado di conversione di A pari all’85% ? E, se è possibile,

qual è il tempo necessario? (5)

3) In un reattore perfettamente miscelato in flusso (CSTR) avviene, in condizioni isoterme, la seguente reazione in fase liquida:

AB

La velocità di reazione è del secondo ordine con costante cinetica k =8.5l mol1min1. La portata volumetrica è espressa in l/min ed è pari alle ultime tre cifre del numero di matricola del candidato. Se il reattore è alimentato con una corrente di A puro avente concentrazione pari a CA0 =1.5mol l1, scegliere fra le seguenti tre soluzioni quella che garantisce il miglior rapporto fra il tempo di residenza e quello di reazione:

f) V=1 l g) V=0.0135 m3 h) V=1.2 m3

Una volta determinata la soluzione migliore, determinare per essa il grado di conversione in uscita dal reattore. (8)

(2)

QUESITO 1

Le equazioni di bilancio che descrivono il sistema si scrivono a partire dalla equazione (20) degli appunti e cioè:

( ( ) )

( )

0

0 0

dC S

r C z dz Q

C z C

+ =

= =

Tale equazione si riferisce ad un sistema con una sola reazione irreversibile, ma si può estendere al caso di più reazioni considerando, per ciascuna specie, la somma dei contributi relativi alle reazioni presenti. L’equazione quindi, scritta per la specie A e per la specie B (la specie C può ricavarsi per differenza dal bilancio totale), fornisce:

( )

( ) ( )

1

1 2

0

0

0

0 ; 0 0

A

B

A A B

dC S dz Qr

dC S

r r dz Q

C C C

+ =

+ − + =

= =

cioè:

( )

( )

( ) ( )

2 1

2

1 2

0

0

0

0 ; 0 0

A

A

B

A B

A A B

dC S dz Q k C

dC S

k C k C dz Q

C C C

+ =

+ + =

= =

Si vede che la prima equazione è disaccoppiata e si risolve immediatamente, separando le variabili:

2 1 A A

dC S C Qk dz

= (1)

e, integrando ambo i membri ed applicando la condizione iniziale CA

( )

0 =CA0:

( )

0 1

1 1

A A

S k z C z C =Q

cioè, ricavando CA

( )

z :

( )

0

1 0

1

A A

A

C z C

k C S Q z

= +

(3)

La seconda equazione, sostituendo l’espressione appena ricavata per CA

( )

z , diventa:

2

2 1 0

2

1 0

1

B A

B

A

dC Sk Sk C Q

dz Q C k C S

Q z

+ =

+

che è una equazione differenziale ordinaria lineare non omogenea. Con opportune definizioni si scrive nella forma

(

1

)

2

y ay b

cz

′ + =

+ (2)

Dettoy0

( )

z l’integrale generale dell’omogenea associata, la soluzione della (2) si esprime come y= y0 + y1, dovey z1

( )

è un integrale particolare della (2).

L’omogenea associata è:

0

0 0

dy ay dz + =

Quest’ultima è a variabili separabili. Il suo integrale generale è ln y0 = −az+c1, cioè

0 2

y =c eaz , dove c2 =ec1. Cerchiamo ora un integrale particolare della (2) nella forma y1 =u z e

( )

az. A tale scopo ricaviamo la derivata e sostituiamo nella (2):

( ) ( )

1

az az

y=u z e au z e

( ) ( ) ( )

(

1

)

2

az az az b

u z e au z e au z e

cz

+ =

+

da cui

( ) (

1

)

2 0

b az

u z e dz u

cz

= +

+

in cui, dato che ci serve un integrale particolare qualsiasi della (2), si può scegliere arbitrariamente u =0 0. Tuttavia, la funzione non risulta integrabile. In definitiva, l’espressione rimane così:

( )

2 2

0

2

2 1 0 1 0

( ) 1

; ;

z az

az B

A A

C z c be dz e

cz

a Sk Q b Sk C Q c Sk C Q

= +

+

= = =

e c =2 0 si ricava dalla condizione iniziale CB

(

z =0

)

=0 quindi, in definitiva:

(4)

2

2 2

1 0

2

0 1 0

( )

1

Sk z Sk

z Q z

A Q B

A

Sk C e

C z dz e

Q Sk C

Q z

=

+

L’espressione per CC( )z si ricava infine per differenza: poiché in ingresso abbiamo una corrente contenente la sola specie A a concentrazione CA0, e poiché le due reazioni in serie hanno coefficienti stechiometrici unitari (non c’è variazione di moli fra reagenti e prodotti) si ha, in ogni posizione z, che CA+CB +CC =CA0, da cui:

2

2

1 0

0 2

1 0 0 1 0

( ) 1

1 1

Sk z Sk

z Q z

A Q

C A

A A

Sk C e

C z C dz e

Sk CQ z Q Sk CQ z

= + +

Non potendo ricavare un’espressione calcolabile (se non con tecniche approssimate troppo lunghe per poterle usare in una prova di esame), non ci resta quindi che tracciare il diagramma qualitativo per le specie A, B e C. Trattandosi di due reazioni in serie, il diagramma avrà la seguente forma:

e la lunghezza del reattore andrà scelta in corrispondenza del valore massimo di CB.

0 z C

0.0 .25 0.5 .75 1.0 CA

CB

CC

(5)

QUESITO 2

Conviene calcolare dapprima la conversione all’equilibrio. Si introduce il grado di conversione per la specie A :

0 0

A A

A

C C

x C

=

da cui CA =CA0

(

1x

)

mentre da un bilancio totale si ricava CB =CA0CA da cui CB =C xA0

L’equilibrio si ha quando le due reazioni hanno uguale velocità:

1 2 1 A 2 B

r =r k C =k C cioè k C1 A0

(

1xeq

)

=k C x2 A0 eq da cui

1

1 2

eq

x k

k k

= +

Dai dati del problema si deduce quindi che 0.67

eq 0.5 x n

n n

= =

+ per qualunque

valore di n. Quindi, la risposta al secondo quesito è sempre negativa (non si può mai raggiungere una conversione pari a 0.85 con le condizioni date). La risposta al primo quesito si ricava invece applicando l’equazione di progetto per il reattore Batch, riferita al bilancio del reagente:

( ) ( ) ( ) ( )

0 0

1 2 1 0 2 0

0 0

1 0 1 2 1 0 1 0

1

1

1

1 1

ln 1 1 1

0.67 0.5 0.924

ln 1 ln 1

0.67

f f

f f f

x x

A A

A A

x x x

eq

eq eq

eq f

eq

dx dx

C C

r x r x k C x k C x

dx dx x x

k k k k x k x

x x

k

x x

k x n n

= = =

= −  + = = − =

= − = − =

∫ ∫

∫ ∫

τ

e dunque

0.5

0.924

= n τ

dove il tempo è espresso in minuti.

(6)

QUESITO 3

Il rapporto fra il tempo di residenza e il tempo di reazione non è altro che il numero di Damköhler. Si scrive quindi subito l’equazione di progetto per il CSTR:

0

( )

A

C x

= r x τ

si sostituisce l’espressione di r per una reazione del secondo ordine:

( )

A20

(

1

)

2

r x =kC x e si trova

( )

0 Da 2

A 1 kC x

x

=

τ

che, con facili calcoli, dà luogo ad una equazione algebrica di secondo grado, la cui soluzione compresa fra 0 e 1 fornisce l’equazione di verifica o di analisi:

2 1

2 1 1 0

x 2Dax

+ + =

da cui 1 1

1 1 4Da

2Da 2Da

x = + ± +

Naturalmente la soluzione di interesse sarà quella determinata dal segno meno davanti al radicale:

1 4Da 1

1 2Da

x +

= −

Calcoliamo ora i valori assunti dal numero di Damkohler per i valori assegnati del volume del reattore:

[ ]

V l V [ ]

Q min τ =

Da=kCA0τ 1 1 4Da 1

x +2Da

= −

1 1

Q

8.5 1.5 1

× ×Q 1

1 4 8.5 1.5 1 1 2 8.5 1.5

x Q Q

+ × × ×

= − × ×

13.5 13.5 Q

8.5 1.5 13.5

× × Q 13.5

1 4 8.5 1.5 1 1 2 8.5 1.5 13.5

x Q Q

+ × × ×

= − × × ×

1200 1200 Q

8.5 1.5 1200

× × Q 1200

1 4 8.5 1.5 1 1 2 8.5 1.5 1200

x Q Q

+ × × ×

= − × × ×

La soluzione preferibile sarà quella con valore del numero di Damköhler più vicino a 1.

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Prima di consegnare bisogna annotare le risposte date sul foglio fornito.. Ogni risposta esatta vale 3 punti, ogni risposta errata errata

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