Scritto di Analisi Matematica 2 Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017 Cognome e Nome: Matricola:

(1)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 1

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (sin x)(cos y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

Dare il valore di massimo e minimo della funzione nel suo dominio.

Successivamente studiare i punti di masimo e minimo lungo la poligonale di vertici (0, 0), (π, π), (2π, 0), (π, −π).

(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy utilizzando due diversi metodi studiati durante il corso:



 

 

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = 2e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

(3) Discutere continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =



 

 

 

 

sin x(e ^y − 1)

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

nel suo dominio.

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine di versore ν = (1, −1)/ √ 2.

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = √

3a e ^iπt . Calcolare l’integrale

I = Z

γ

1 z ² + a dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ ^k,a (t) = √ 3a e ^iπt . Valutare

I(k, a) = Z

ϕ

_k,a

1 z ² + a dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,

autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

(2)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 2

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (cos x)(sin y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

Dare il valore di massimo e minimo della funzione nel suo dominio.

Successivamente studiare i punti di masimo e minimo lungo la poligonale di vertici (0, 0), (π, π), (2π, 0), (π, −π).

(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy utilizzando due diversi metodi studiati durante il corso:



 

 

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = 4e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

(3) Discutere continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =



 

 

 

 

arctan(xy)

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0) nel suo dominio.

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine di versore ν = (−1, 1)/ √ 2.

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = √

3a e ^−iπt . Calcolare l’integrale

I = Z

γ

1 z ² + a dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ ^k,a (t) = √

3a e ^−iπt . Valutare

I(k, a) = Z

ϕ

_k,a

1 z ² + a dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,

autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

(3)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 3

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (sin x)(cos y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

Dare il valore di massimo e minimo della funzione nel suo dominio.

Successivamente studiare i punti di masimo e minimo lungo la poligonale di vertici (0, 0), (π, π), (2π, 0), (π, −π).

(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy utilizzando due diversi metodi studiati durante il corso:



 

 

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = −2e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

(3) Discutere continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =



 

 

 

 

sin(2y) ln(x + 1)

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

nel suo dominio.

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine di versore ν = (1, −1)/ √ 2.

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = a √

3 e ^iπt . Calcolare l’integrale

I = Z

γ

1 z ² + a ² dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ ^k,a (t) = a √ 3 e ^iπt . Valutare

I(k, a) = Z

ϕ

_k,a

1 z ² + a ² dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,

autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

(4)

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 4

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (cos x)(sin y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

Dare il valore di massimo e minimo della funzione nel suo dominio.

Successivamente studiare i punti di masimo e minimo lungo la poligonale di vertici (0, 0), (π, π), (2π, 0), (π, −π).

(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy utilizzando due diversi metodi studiati durante il corso:



 

 

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = −4e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

(3) Discutere continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =



 

 

 

 

e ^xy − 1

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0) nel suo dominio.

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine di versore ν = (−1, 1)/ √ 2.

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = a √

3 e ^−iπt . Calcolare l’integrale

I = Z

γ

1 z ² + a ² dz .

Considerare quindi la curva ϕ _k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ k,a (t) = a √ 3 e ^−iπt . Valutare

I(k, a) = Z

ϕ

_k,a

1 z ² + a ² dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,

autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

Scritto di Analisi Matematica 2 Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017 Cognome e Nome: Matricola:

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 1

(1) Data la funzione f : R 2 → R definita come f(x, y) = (sin x)(cos y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

Dare il valore di massimo e minimo della funzione nel suo dominio.

Successivamente studiare i punti di masimo e minimo lungo la poligonale di vertici (0, 0), (π, π), (2π, 0), (π, −π).

(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy utilizzando due diversi metodi studiati durante il corso:



 

 

y 00 − 5y 0 + 6y = 2e t , y(0) = 0 ,

y 0 (0) = 0 .

(3) Discutere continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =



 

 

 

 

sin x(e y − 1)

p x 2 + y 2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

nel suo dominio.

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine di versore ν = (1, −1)/ √ 2.

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 `e definita la curva γ a : [0, 1] → C definita come γ a (t) = √

3a e iπt . Calcolare l’integrale

I = Z

γ

1 z 2 + a dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ k,a (t) = √ 3a e iπt . Valutare

I(k, a) = Z

ϕ

1 z 2 + a dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,

autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.

Firma:

Scritto di Analisi Matematica 2

Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017

Cognome e Nome: Matricola:

Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...

Concesso l’uso di un formulario.

Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.

Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.

Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.

TESTO 2

(1) Data la funzione f : R 2 → R definita come f(x, y) = (cos x)(sin y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

Dare il valore di massimo e minimo della funzione nel suo dominio.

Successivamente studiare i punti di masimo e minimo lungo la poligonale di vertici (0, 0), (π, π), (2π, 0), (π, −π).

(2) Risolvere il seguente problema di Cauchy utilizzando due diversi metodi studiati durante il corso:



 

 

y 00 − 5y 0 + 6y = 4e t , y(0) = 0 ,

y 0 (0) = 0 .

(3) Discutere continuit` a e differenziabilit` a della funzione

f (x, y) =



 

 

 

 

arctan(xy)

p x 2 + y 2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0) nel suo dominio.

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nell’origine di versore ν = (−1, 1)/ √ 2.

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 `e definita la curva γ a : [0, 1] → C definita come γ a (t) = √

3a e −iπt . Calcolare l’integrale

I = Z

γ

1 z 2 + a dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ k,a (t) = √

3a e −iπt . Valutare

I(k, a) = Z

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (sin x)(cos y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = 2e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

sin x(e ^y − 1)

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = √

3a e ^iπt . Calcolare l’integrale

1 z ² + a dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ ^k,a (t) = √ 3a e ^iπt . Valutare

1 z ² + a dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (cos x)(sin y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = 4e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = √

3a e ^−iπt . Calcolare l’integrale

1 z ² + a dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ ^k,a (t) = √

3a e ^−iπt . Valutare

1 z ² + a dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (sin x)(cos y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = −2e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .

p x ² + y ² (x, y) 6= (0, 0)

(4) Per ogni a ∈ R, a > 0 è definita la curva γ â : [0, 1] → C definita come γ â (t) = a √

3 e ^iπt . Calcolare l’integrale

1 z ² + a ² dz .

Considerare quindi la curva ϕ k,a : [0, 2k + 1] → C definita anch’essa come ϕ ^k,a (t) = a √ 3 e ^iπt . Valutare

1 z ² + a ² dz per a ∈ R, a > 0 e k ∈ N.

(1) Data la funzione f : R ² → R definita come f(x, y) = (cos x)(sin y), dimostrare l’esistenza di massimo e minimo per questa funzione. Quindi studiare tutti i suoi punti critici, specificandone la natura.

y ⁰⁰ − 5y ⁰ + 6y = −4e ^t , y(0) = 0 ,

y ⁰ (0) = 0 .