Scritto di Analisi Matematica 2
Corso di Ingegneria Informatica e dell’Automazione A. A. 2016/17 – Prova scritta 25–11–2017
Cognome e Nome: Matricola:
Vietato l’uso di calcolatori, appunti, eserciziari,...
Concesso l’uso di un formulario.
Scrivi in modo ordinato e motiva ogni risposta.
Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.
Non si pu` o lasciare l’aula prima che siano trascorse due ore. Si potr` a uscire dall’aula solo dopo aver consegnato il compito.
TESTO 1
(1) Determina e poi disegna il dominio D della funzione g(x, y) = px
2(x
2+ y
2− 1) − ln(4 − x
2− y
2).
Dire se la funzione
f (x, y) =
xy
x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)
`
e continua su D e determinare, se esistono, massimi e minimi di f su D.
(2) Data la seguente equazione differenziale
y
0= ln x
ydire se esistono le soluzioni dei problemi di Cauchy (e in caso affermativo determinarle) aventi dati iniziali rispettivamente
a) y(1) = 0 , b) y(1) = −1 , c) y(1) = 1 , d) y(−1) = 0 ,
(3) Calcolare l’integrale della forma differenziale y
2e
xdx − xy dy lungo la curva γ : [0, π] → R
2definita da γ(t) = (cos t , sin t).
Inoltre dire se la forma differenziale
ω = 2xy
2(1 + x
2y
2)
2dx + 2x
2y (1 + x
2y
2)
2dy
`
e esatta e in caso affermativo calcolarne una primitiva. Inoltre calcola R
γ
ω dove γ ` e la curva precedente.
(4) Calcolare
Z
+∞0
sin x x
3+ x dx con i metodi dell’analisi complessa.
Il sottoscritto ai sensi della vigente legge sulla privacy,
autorizza la pubblicazione dell’esito di questa prova scritta nel sito internet del corso.
Firma:
Scritto di Analisi Matematica 2
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Durata della prova: 2 ore e 30 minuti.
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TESTO 2
(1) Determina e poi disegna il dominio D della funzione g(x, y) = px
2(x
2+ y
2− 1) − ln(4 − x
2− y
2).
Dire se la funzione
f (x, y) =
xy
x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)
`
e continua su D e determinare, se esistono, massimi e minimi di f su D.
(2) Data la seguente equazione differenziale
y
0= ln x
ydire se esistono le soluzioni dei problemi di Cauchy (e in caso affermativo determinarle) aventi dati iniziali rispettivamente
a) y(1) = 0 , b) y(1) = −1 , c) y(1) = 1 , d) y(−1) = 0 ,
(3) Calcolare l’integrale della forma differenziale y
2e
xdx − xy dy lungo la curva γ : [0, π] → R
2definita da γ(t) = (cos t , sin t).
Inoltre dire se la forma differenziale
ω = 2xy
2(1 + x
2y
2)
2dx + 2x
2y (1 + x
2y
2)
2dy
`
e esatta e in caso affermativo calcolarne una primitiva. Inoltre calcola R
γ
ω dove γ ` e la curva precedente.
(4) Calcolare
Z
+∞0
sin x x
3+ x dx con i metodi dell’analisi complessa.
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TESTO 3
(1) Determina e poi disegna il dominio D della funzione g(x, y) = px
2(x
2+ y
2− 1) − ln(4 − x
2− y
2).
Dire se la funzione
f (x, y) =
xy
x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)
`
e continua su D e determinare, se esistono, massimi e minimi di f su D.
(2) Data la seguente equazione differenziale
y
0= ln x
ydire se esistono le soluzioni dei problemi di Cauchy (e in caso affermativo determinarle) aventi dati iniziali rispettivamente
a) y(1) = 0 , b) y(1) = −1 , c) y(1) = 1 , d) y(−1) = 0 ,
(3) Calcolare l’integrale della forma differenziale y
2e
xdx − xy dy lungo la curva γ : [0, π] → R
2definita da γ(t) = (cos t , sin t).
Inoltre dire se la forma differenziale
ω = 2xy
2(1 + x
2y
2)
2dx + 2x
2y (1 + x
2y
2)
2dy
`
e esatta e in caso affermativo calcolarne una primitiva. Inoltre calcola R
γ
ω dove γ ` e la curva precedente.
(4) Calcolare
Z
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TESTO 4
(1) Determina e poi disegna il dominio D della funzione g(x, y) = px
2(x
2+ y
2− 1) − ln(4 − x
2− y
2).
Dire se la funzione
f (x, y) =
xy
x
2+ y
2(x, y) 6= (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0)
`
e continua su D e determinare, se esistono, massimi e minimi di f su D.
(2) Data la seguente equazione differenziale
y
0= ln x
ydire se esistono le soluzioni dei problemi di Cauchy (e in caso affermativo determinarle) aventi dati iniziali rispettivamente
a) y(1) = 0 , b) y(1) = −1 , c) y(1) = 1 , d) y(−1) = 0 ,
(3) Calcolare l’integrale della forma differenziale y
2e
xdx − xy dy lungo la curva γ : [0, π] → R
2definita da γ(t) = (cos t , sin t).
Inoltre dire se la forma differenziale
ω = 2xy
2(1 + x
2y
2)
2dx + 2x
2y (1 + x
2y
2)
2dy
`
e esatta e in caso affermativo calcolarne una primitiva. Inoltre calcola R
γ
ω dove γ ` e la curva precedente.
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