Esercizio 1
Un guscio sferico isolante di raggio R=0.1 m e spessore trascurabile, porta una carica positiva Q=1C distribuita uniformemente sulla superficie. Un corpo puntiforme con carica negativa -q=-1C e massa m=1 mg e` vincolato a muoversi sull’asse x. Il guscio e` fissato e il suo centro giace sull’asse x. Trovare (a) il campo elettrico fuori e dentro il guscio. Al tempo t=0 il corpo si trova a distanza r0
=1 m dal centro del guscio e ha velocita` v0=3 m/s diretta verso il guscio. Arrivato alla superficie del guscio, si
suppone che il corpo penetri senza perdita di energia.
Trovare (b) il tempo che il corpo impiega a percorrere il diametro della sfera. Il corpo poi attraversa la superficie ed esce dal guscio, senza perdita di energia. Trovare (c) la massima distanza raggiunta dal centro del guscio. Trovare (d) il valore minimo di v0 per cui il corpo riesce a sfuggire all’infinito.
• Soluzione dell’esercizio 1
• Applicando la legge di Gauss troviamo il campo elettrico:
• Siccome il campo elettrico all’interno della sfera e`
nullo, qui non ci sara` forza elettrica agente sulla particella. All’interno della sfera il moto e` quindi rettilineo e uniforme. Per trovare il tempo di
attraversamento basta conoscere la velocita` all’entrata in A. Questa viene determinata usando la
conservazione dell’energia:
r r R
Q
R r
r E
...
...
4 ... 1
...
...
...
0 )
(
2
0A A
f i
i
i
K U E K U
E
K v v U U kqQ r R
K
A i A i A1 1
2 1
0 2
0 2
A B
M
• Da cui troviamo la velocita:
• Il tempo di attraversamento e`:
• Per trovare la massima distanza (corrispondente al punto M), poniamo la condizione di arresto della
particella, ovvero di azzeramento dell’energia cinetica:
• Da cui ricaviamo la massima distanza:
v s t R
A
10
498 . 402 4
1 . 0 2
2
s m v
r R m
v kqQ v
A A
/ 1 402
1 1 . 0
1 10
10 10
10 99 . 8 3 2
1 1
2
6
6 6
9 2
0 2
0
M M
f i
i
i
K U E K U
E
r
Mk qQ r
k qQ
mv 0 2
1
0 2
0
m kqQ v
m r
Mr
00 . 1 10 3
10 10
99 . 8 2
10 1
1
2 1
1 2 6 6
9 6
1 2 0 0
• La velocita` limite o di fuga, relativa ad un punto, e` tale per cui l’energia cinetica all’infinito e` nulla
• Da cui si ricava la velocita`:
K
iU
i fK U
i
E
E
2 0 1
0 2
0
r k qQ mv
s m r
m v kqQ
/ 1 134
1 10
10 10
10 99
. 8 2
1 2
6
6 6
9 0 0
• Esercizio 2
• Si calcoli il valore di E e quello delle due correnti I1, I2, nella figura seguente. Si commenti il segno della fem E.
3
2
I1
1
12V
E 2A
I2
• Soluzione dell’esercizio 2
• Scegliamo le due maglie indicate nella figura seguente e applichiamo la 2a legge di Kirchhoff:
• Risolvendo, otteniamo:
• Il segno negativo della fem significa che la polarita` della batteria va in realta` invertita.
2 1
1 2
1 2
2
2 1
2 1
1
2
2 3
2 2
2 5
12 2
2 3
12 I I
I I
I I
I E
I I
I I
I E
3
2
I1
1
12V
E 2A
I2
V E
A I
A I
5 . 2
5 . 1
5 . 3
2 1
Esercizio 3
Due spire circolari di raggio R sono coassiali, sono poste a distanza D e sono percorse, in verso concorde, dalla stessa corrente I. Trovare (a) il valore del campo magnetico nel punto di mezzo tra le due spire. (b) Dimostrare che questo e` un punto di estremo relativo. Trovare (c) il valore del campo nel punto di mezzo tra le spire per i seguenti valori:
I=2 A, R=0.1 m, D=0.3 m
D
• Soluzione dell’esercizio 3
• Detto z l’asse delle spire, troviamo il campo magnetico di ciascuna spira in un punto O dell’asse, mediante la formula di Laplace. Vista la simmetria cilindrica, lungo l’asse solo la componente z di B e` diversa da zero.
Sommiamo i contributi di tutti gli elementi infinitesimi della spira:
• Il campo si ottiene integrando lungo tutta la spira:
cos B
d dB
z
2 2
3 20 2
0
4
4 R z
i dlR r
R r
i dl dB
z
z r dB
R
O
2 2
3 22 0
2 2 3 2
0
2
4 R z
i R z dl
R i R B
z
• Detta D la distanza delle spire, il campo dovuto a ciascuna spira vale:
• I due campi si sommano e quindi in totale il campo in O vale:
2 2 3 2
2 0
4 2
D
R i R B
z
z D
Spira 1 O Spira 2
T R D i R O
B
6
2 2 3 2
2 7
2 2 3 2
2 0
10 29
. 4
4 3 . 1 0
. 0
1 . 2 0
10 4
4 )
(
• Scelto O come origine dell’asse z, le coordinate dei centri delle spire sono rispettivamente -D/2 e +D/2 e il campo puo` esprimersi, in un punto di coordinata z dell’asse come segue:
• Per dimostrare che il punto O in mezzo alle due spire e`
un estremo, si puo` derivare l’espressione precedente rispetto a z e verificare che si annulla in O. Un metodo piu` rapido consiste nell’osservare che il campo B totale e` simmetrico rispetto al punto O e quindi qui non puo`
essere ne’ crescente, ne’ decrescente, ma solo stazionario.
• L’estremo puo` essere un massimo o un minimo a seconda dei valori relativi di R e D. Si puo` dimostrare che per D<R e` un massimo, per D>R e` un minimo e per D=R non e` ne’ massimo ne’ minimo. Quest’ultima e` la condizione realizzata nelle bobine di Helmholtz, in cui viene ottimizzata l’uniformita` del campo B
nell’intorno del punto O.
2 2 3 2
2 0
2 2 3 2
2 2 0
1
2 2
2 2
D z R
i R z D
R i R B
B
B spira spira
• Esercizio 4
• Un circuito LCR serie e` collegato ad una sorgente di fem alternata del tipo
• La corrente risultante e` data da
• Si trovi (a) la potenza istantanea erogata dal
generatore. Facendo uso dell’identita` trigonometrica
• si trovi (b) l’espressione della potenza media su un periodo e (c) la si calcoli numericamente nel caso
seguente: E0=10 V, I0=3 mA, =15o. Si trovi (d) quanto vale l’impedenza del circuito in quest’ultimo caso.
sin cos cos sin
sin
t E
E 0 sin
I t
I 0 sin
• Soluzione dell’esercizio 4
• La potenza e` uguale al prodotto di fem e corrente:
• La potenza media (nel tempo) e` data da:
• Ove la media temporale e` stata indicata con le parentesi angolate:
• Si dimostra facilmente che il valor medio del seno vale
½ e il valor medio del prodotto tra seno e coseno vale 0, otteniamo quindi:
• L’impedenza e` caratterizzata da un modulo e una fase. La fase e` nota, il modulo e` uguale al rapporto tra i moduli di fem e corrente:
sin
2 sin cos sin sin cos sin
0 0
0 0
t t
t i
E
t t
i E Ei
P
sin2 cos sin cos sin
0
0
i t t t
E
P
Tf t dt f T
0
) 1 (
mW
i E
P 3 10 10 cos 15
o14 . 5
2 cos 1
2
1
30
0
k
i
Z E 3 . 33
10 3
10
3 0
0
