a (x, y, z) = (ax, ay, az) (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ). 26 / 57

Definizione

Sia k un campo e sia V un insieme. Diremo che V è un k-spazio vettoriale se sono definite due operazioni in V , una di somma

+ : V × V → V e una di prodotto esterno · : k × V → V , tali che (V , +) sia un gruppo abeliano e il prodotto esterno goda delle seguenti proprietà:

1. (ab)v = a(bv ), ∀a, b ∈ k e ∀v ∈ V 2. (a + b)v = av + bv , ∀a, b ∈ k e ∀v ∈ V 3. a(v + w ) = av + aw , ∀a ∈ k e ∀v , w ∈ V 4. 1 · v = v , ∀v ∈ V .

1) Gli elementi di V sono detti vettorie quelli di k sono detti scalari.

L’insieme dei vettori liberi dello spazio ordinario è un R-spazio vettoriale.

Essi possono essere rappresentati mediante terne di numeri reali, cioè le loro componenti. In tal caso, le operazioni sulle componenti sono:

a · (x , y , z) = (ax , ay , az)

(x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁+ x₂, y₁+ y₂, z₁+ z₂).

SPAZI VETTORIALI

Esempi

2)Se consideriamo l’insieme delle n-uple ordinate di elementi di k, cioè:

kⁿ = {(x1, x2, . . . , xn) | x1, x2, . . . , xn ∈ k}, allora kⁿ è un k-spazio vettoriale con queste operazioni:

a · (x₁, x₂, . . . , x_n) = (ax₁, ax₂, . . . , ax_n)

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn).

I vettori e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en= (0, 0, . . . , 0, 1) formano quella che sia chiama base canonicadi kⁿ, in quanto

∀(x₁, x2, . . . , xn) ∈ kⁿ si ha:

(x₁, x₂, . . . , x_n) = (x₁, 0, . . . , 0)+(0, x₂, 0, . . . , 0)+· · ·+(0, 0, . . . , 0, x_n) =

= x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0) + · · · + xn(0, 0, . . . , 0, 1) =

= x1e1+ x2e2+ · · · + xnen. C è un R-spazio vettoriale, con le operazioni di somma di numeri complessi e di prodotto di un numero reale per un numero complesso.

Dato che i numeri complessi sono in corrispondenza con le coppie di numeri reali, C è spesso identificato con R² come R-spazio vettoriale.

27 / 57

Sia k un campo. Una tabella del tipo:

A =













a11 a12 . . . a1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n . . . . . . . .. . . . am1 am2 . . . amn













dove gli aij ∈ k si dice matricedi tipo m × n su k.

L’insieme delle matrici m × n su k si indica con k^m,n. 3)Lo spazio vettoriale delle matrici

k^m,n con le operazioni di somma e di prodotto esterno è un k-spazio vettoriale.

Definizione

Sia V un k-s.v. e sia U ⊆ V , con U 6= ∅. Diremo che U è unsottospazio di V se U è esso stesso un k-s.v. rispetto alle operazioni di V .

Isottospazi banalidi V sono {0v} e V stesso. {0_v} è detto sottospazio nullo. I sottospazi diversi da {0_v} e da V sono dettipropri.

33 / 57

Sottospazi vettoriali

Quindi si possono applicare agli elementi di U le operazioni di V

rispetto alle quali U eredita la struttura di K-spazio vettoriale.

Proposizione

Sia V un k-s.v. e sia U ⊆ V . U è un sottospazio di V ⇐⇒ se sono verificate le seguenti condizioni:

1. ∀u, u⁰∈ U si ha u + u⁰ ∈ U, cioè U è chiuso rispetto alla somma 2. ∀a ∈ k, ∀u ∈ U si ha a · u ∈ U, cioè U è chiuso rispetto al prodotto

esterno.

Notiamo che i sottoinsiemi di V che non contengono il vettore 0V non sono sottospazi. Infatti, ∀u ∈ U si ha 0V = 0 · u ∈ U.

Caratterizzazione dei sottospazi

Proposizione

Sia V un k-s.v. e siano U, W ⊆ V due sottospazi. Allora U ∩ W è un sottospazio.

DIMOSTRAZIONE.

Proposizione

Sia V un k-s.v. e siano U, W ⊆ V due sottospazi. Allora U ∪ W è un sottospazio ⇐⇒ U ⊆ W oppure W ⊆ U.

1 / 15

DIMOSTRAZIONE.

Proprietà dei sottospazi

Definizione

Siano U, W due sottospazi di un k-s.v. V . Chiamiamosomma di U e W il sottospazio:

Ogni vettore z di U+W si può esprimere come somma di due vettori u di U e w di W. Ma in generale tale somma non è unica.

Esaminiamo adesso il caso in cui tale unicità si verifica.

U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W }.

È il più piccolo sottospazio di V contenente sia U che W .

Tale definizione si può estendere al caso di n sottospazi di V.

Definizione

Siano U, W due sottospazi di un k-s.v. V . Diremo che la somma di U e W è una somma diretta, e scriviamo U ⊕ W , se ogni vettore x ∈ U + W si può esprimere in modo unico come somma di un vettore di U e di uno di W , cioè se:

x = u1+ w1, x = u2+ w2, u1, u2∈ U, w₁, w2 ∈ W , allora u₁ = u₂ e w₁ = w₂.

Proposizione

Sia V un k-s.v. e siano U, W ⊆ V due sottospazi di V . Allora la somma è diretta ⇐⇒ U ∩ W = {0_V}.

DIMOSTRAZIONE.

Caratterizzazione della somma diretta

Definizione

Sia V un k-s.v. e siano v1, . . . , vr ∈ V . Un vettore del tipo a₁v1+ . . . arvr

con coefficienti a_i ∈ k si chiamacombinazione linearedei vettori v₁, . . . , v_r.

Definizione

Sia V un k-s.v. e siano v1, . . . , vr ∈ V . Indichiamo con L(v₁, . . . , vr) l’insieme delle combinazioni lineari di v₁, . . . , v_r, cioè:

L(v₁, . . . , vr) = {a1v1+ · · · + arvr | a_i ∈ k}.

L(v₁, . . . , vr) è un sottospazio di V ed è detto sottospazio generato da v₁, . . . , vr e v1, . . . , vr sono detti generatoridi tale spazio.

Se V = L(v1, . . . , vr), diremo che v1, . . . , vr è un sistema di generatori di V e che V è finitamente generato (generato da un numero finito di elementi).

Gli spazi vettoriali kⁿ, k^m,n sono finitamente generati.

Generatori e indipendenza lineare

Notiamo che, se U = L(u₁, . . . , u_r) e W = L(w₁, . . . , w_s) sono sottospazi di un k-s.v. V , allora:

U + W = L(u1, . . . , ur, w1, . . . , ws).

Un sottospazio di kⁿ può essere assegnato in tre modi:

I mediante le equazioni cartesiane

I mediante il vettore generico

I mediante un sistema di generatori.

Questi tre modi sono equivalenti.

4 / 15

Modi per definire un sottospazio

Proposizione

Sia V un k-s.v. f.g. (finitamente generato), V = L(v₁, . . . , v_n), e supponiamo che uno dei vi sia combinazione lineare dei precedenti:

vi= b1v1+ · · · + bi−1vi−1

allora V = L(v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn), cioè è possibile scartare vi

dall’insieme dei generatori di V senza modificare lo spazio generato.

Proposizione

Sia V = L(v₁, . . . , v_n) un k-s.v. Allora per ogni λ ∈ k e per ogni i = 1, . . . , n e per ogni j 6= i si ha:

V = L(v1, . . . , vi + λvj , . . . , vn),

cioè ad ogni generatore v

può essere aggiunto un multiplo di un altro generatore di V senza alterare lo spazio V.

Proprietà: invarianza di un sistema di generatori

Definizione

Sia V un k-s.v. e siano v₁, . . . , v_n∈ V . Diremo che i vettori v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti o cheformano un insieme liberose la loro unica combinazione lineare nulla è quella a coefficienti tutti nulli, cioè:

a₁v₁+ · · · + a_nv_n= 0_V =⇒ a₁ = · · · = a_n= 0.

Se v1, . . . , vn non sono linearmente indipendenti, diremo che sono linearmente dipendenti. In tal caso è possibile esprimere ciascun vi come combinazione linerare degli altri vettori vj.

Proposizione

Sia V un k-s.v. e siano v₁, . . . , v_n∈ V . Allora v₁, . . . , v_n sono linearmente indipendenti ⇐⇒ valgono queste condizioni:

1. v16= 0_V

2. v_i ∈ L(v/ ₁, . . . , v_{i −1}) per i = 2, . . . , n.

DIMOSTRAZIONE.

6 / 15

Caratterizzazione dei vettori linearmente indipendenti

Definizione

Sia V un k-s.v. e siano v1, . . . , vn∈ V . Diremo che v₁, . . . , vn formano unabase di V se ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare di v₁, . . . , v_n, cioè:

v = a1v1+ · · · + anvn, per qualche a1, . . . , an∈ k, e questa scrittura è unica, cioè se:

v = a₁v₁+ · · · + a_nv_n e v = b₁v₁+ · · · + b_nv_n allora deve essere a₁= b₁, . . . , a_n= b_n.

Osservazione

Una base è un insieme ordinato, cioè se v₁, . . . , v_n formano una base, gli stessi vettori presi in ordine diverso formeranno un’altra base di V , distinta dalla precedente. Scriviamo A = [v1, v2, . . . , vn], ma B = [v2, v1, . . . , vn] è un’altra base di V distinta da A.

Base di uno spazio vettoriale

Definizione

Sia V un k-s.v. e sia A = [v₁, . . . , v_n] una sua base. Per ogni vettore v ∈ V chiamiamocomponentidi v rispetto alla base A l’unica n-upla di elementi di k tale che:

v = a1v1+ · · · + anvn

e scriviamo:

[v ]A = (a1, . . . , an).

12 / 15

Teorema (caratterizzazione delle basi)

Sia V un k-s.v. e siano v1, . . . , vn ∈ V . Allora v1, . . . , vn formano una base di V ⇐⇒ valgono le seguenti condizioni:

1. v1, . . . , vnsono linearmente indipendenti

2. V = L(v1, . . . , vn), cioè v1, . . . , vn sono generatori di V . DIMOSTRAZIONE.

La base canonica di kⁿ, E = [e1, . . . , en] (o anche En), è una base di kⁿ, con e1 = (1,0,...,0), e2 = [0,1,...,0], ..., en= [0,0,..., 1]

Esempio

Teorema (Teorema di esistenza di una base)

Sia V un k-s.v. f.g. e sia V = L(v1, . . . , vn), allora dai generatori di V si può estrarre una base, cioè esiste una base di V costituita da alcuni dei vettori v1,. . . ,vn.

DMOSTRAZIONE.

Teorema (Teorema del completamento ad una base)

Sia V un k.s.v. f.g. e sia V = L(v₁, . . . , v_n). Siano u₁, . . . , u_r ∈ V vettori linearmente indipendenti. Allora esiste una base di V contenente

u₁, . . . , u_r.

DIMOSTRAZIONE.

9 / 15

Lemma di Steinitz

Sia V un k-s.v. f.g. e sia v₁, . . . , v_n un sistema di generatori di V . Siano u₁, . . . , u_m ∈ V vettori linearmente indipendenti. Allora m ≤ n.

Teorema (equipotenza delle basi)

Sia V un k-s.v. e siano [v1, . . . , vn] e [u1, . . . , um] due basi di V . Allora m = n, cioè tutte le basi di V hanno lo stesso numero di elementi.

DIMOSTRAZIONE.

Definizione

Sia V un k-s.v. Diremo che V ha dimensionen, e scriviamodim V = n, se V ha una base formata da n vettori e, quindi, ogni base di V è formata da n vettori.

  dim kⁿ = n

Proposizione

Sia V un k-s.v. di dimensione n. Allora:

1. se v1, . . . , vn∈ V sono linearmente indipendenti =⇒ formano una base di V

2. se u1, . . . , un∈ V generano V =⇒ formano una base

3. se v1, . . . , vm∈ V , con m > n =⇒ essi sono linearmente dipendenti 4. se v₁, . . . , v_m∈ V , con m < n =⇒ essi non sono un sistema di

generatori di V .

10 / 15

Dimensione di uno spazio vettorale

Ad esempio:

Tutti gli spazi vettoriali V f.g. hanno dim V > 0, tranne per il sottospazio nullo {0V}, che è l’unico ad avere dimensione 0.

Proposizione

Sia V un k-s.v. di dimensione n e sia W ⊆ V un suo sottospazio. Allora:

1. dim W ≤ n e, in particolare, W è f.g.

2. dim W = n ⇐⇒ W = V .

Teorema (Formula di Grassmann)

Sia V un k-s.v. e siano U, W ⊆ V due suoi sottospazi. Allora:

dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).

In particolare, se la somma di U e W è diretta di ha:

dim(U ⊕ W ) = dim U + dim W .

Proprietà

Sia A ∈ k^m,n una matrice. Siano R1, . . . , Rm le sue righe e C1, . . . , Cn le sue colonne. Si considerano questi spazi vettoriali:

I L(R) = L(R₁, . . . , Rm) ⊆ kⁿ, dettospazio delle righedi A

I L(C ) = L(C₁, . . . , Cn) ⊆ k^m, dettospazio delle colonne di A.

La riduzione per righe permette di passare da una matrice A ad una qualsiasi matrice A⁰ ridotta per righe, in modo che lo spazio delle righe di A e quello di A⁰ coincidano.

Le operazioni elementarisulla matrice A consentono di non alterare il suo spazio delle righe e sono:

I scambio di due righe

I moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, cioè Ri 7−→ λR_i

I sostituzione di una riga con la somma della riga stessa e di un multiplo di un’altra riga, cioè Ri 7−→ R_i+ λRj.

13 / 15

Lo spazio vettoriale delle matrici

Tali operazioni sono le stesse che consentono di mantenere inalterato il rango della matrice.

Teorema (Teorema di Kronecker)

Sia A ∈ k^m,n e siano L(R) e L(C ) il suo spazio delle righe e il suo spazio delle colonne. Allora:

ρ(A) = dim L(R) = dim L(C ).

Corollario

Sia A ∈ k^n,n. Allora i seguenti fatti sono equivalenti:

1. |A| 6= 0 2. A è invertibile 3. ρ(A) = n

4. le n righe di A sono l.i.

5. le n colonne di A sono l.i.

Il teorema di Kronecker applicato alle matrici quadrate fornisce il seguente risultato.

Il teorema seguente fornisce il legame tra il rango e lo spazio delle righe (colonne) di una matrice.

Grazie al Teorema di Kronecker, è possibile usare il concetto di rango e il procedimento di riduzione di una matrice per:

I verificare se certi vettori sono l.i.

I cercare una base di uno spazio vettoriale, a partire da dei generatori

I cercare le equazioni cartesiane di un sottospazio.

Teorema (Teorema di Rouchè-Capelli I)

Un sistema lineare AX = B di tipo m × n è possibile ⇐⇒ ρ(A) = ρ(A|B).

DIMOSTRAZIONE.

Proposizione 

Sia AX = 0 un sistema lineare omogeneo di tipo m × n. L’insieme delle soluzioni è un sottospazio di kⁿ di dimensione n − ρ(A).

DIMOSTRAZIONE.

15 / 15

Applicazioni del teorema di Kronecker

(Sottospazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo) 1.

2. Dimostrazione del seguente teorema: