Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 5
†Esercizio 1. Sia {Bt}t≥0un moto browniano reale tale che t �→ Bt(ω)è continua per ogni (e non solo per q.o.) ω ∈ Ω.
(a) Si mostri che�1
0Btdt è una variabile aleatoria normale e se ne calcolino media e varianza.
[Sugg. Ricordarsi le somme di Riemann e il Teorema di Fubini]
(b) (*) Si mostri che inft∈[0,1]Btnon è una variabile normale.
Esercizio 2. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale. Data una partizione π = {0 = t0 < t1 < . . . < tk = t} dell’intervallo [0, t], indichiamone il passo con |π| = max1≤i≤k(ti− ti−1). Introducendo la variazione quadratica Sπ=�k
i=1(Bti− Bti−1)2di Brelativa a π, sappiamo che per |π| → 0 si ha Sπ→ t in L2. Più precisamente, abbiamo visto che esiste una costante 0 < c < ∞ universale tale che
E�
(Sπ− t)2�
= c�k
i=1(ti− ti−1)2.
Sia {π(n)}n∈Nuna successione di partizioni π(n)={0 = t(n)0 < t(n)1 < . . . < t(n)kn = t}, tale che non solo |π(n)| → 0 per n → ∞, ma anche�
n∈N|π(n)| < ∞.
(a) Si mostri che, per ogni ε > 0,�
n∈NP(|Sπ(n)− t| > ε) < ∞.
[Sugg. Applicare un’opportuna disuguaglianza.]
(b) (*) Si deduca che Sπ(n)→ t q.c. per n → ∞.
Esercizio 3(Invarianza per rotazioni del moto browniano in Rn).
(a) Sia B := {Bt}t≥0 un moto browniano n-dimensionale e sia L una matrice reale n× n. Definiamo il processo β := {βt}t≥0 ponendo βt:= LBt. Si mostri che β è un moto browniano n-dimensionale se e soltanto se L ∈ O(n) (cioè L è ortogonale:
LL∗= L∗L = In, dove L∗indica la trasposta di L).
(b) Sia B := {Bt}t≥0un moto browniano n-dimensionale (con n ≥ 2) e x, y vettori in Rn ortogonali di norma uno: �x, x� = �y, y� = 1 e �x, y� = 0, dove �·, ·� indica il prodotto scalare standard. Si mostri che i processi stocastici {Xt:=�x, Bt�}t≥0e {Yt:=�y, Bt�}t≥0sono due moti browniani reali indipendenti.
Esercizio 4. Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale, di cui indichiamo con Gt:=
σ({Bu}0≤u≤t)la filtrazione naturale. Supponiamo per semplicità che le traiettorie t �→
Bt(ω)siano continue per ogni ω ∈ Ω (e non solo q.c.). Definiamo An :=
� sup
0≤u≤1n
Bu> 0
�
, per n ∈ N , A := �
n∈N
An.
Ci si convinca che l’evento A può essere descritto come “in ogni intorno destro di 0 il moto browniano assume valori strettamente positivi”.
†Ultima modifica: 4 maggio 2011.
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(a) Si mostri che An+1⊆ An, ∀n ∈ N, e dunque P(A) = limn→∞P(An)(perché?).
(b) Si spieghi perché An⊇ {B1
n > 0}. Si deduca che P(A) ≥12. (c) Si spieghi perché A ∈ G0+. Si deduca che P(A) = 1.
(d) Si mostri che P(C) = 1, dove C :=�
n∈N{inf0≤u≤1nBu< 0}.
(e) (*) Si mostri in dettaglio che, per q.o. ω ∈ Ω, esistono due successioni {sn(ω)}n∈N
e {tn(ω)}n∈N tali che sn(ω) ↓ 0 e tn(ω) ↓ 0 per n → ∞, con la proprietà che Bsn(ω)(ω) < 0e Btn(ω)(ω) > 0per ogni n ∈ N.
Esercizio 5(Trivialità di coda per il moto browniano). (*) Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale. Per t ≥ 0 definiamo la σ-algebra Ht:= σ({Bu}u∈[t,∞)). Si noti che Htè decrescente in t. Definiamo la σ-algebra di coda ponendo H∞:=�
t≥0Ht. Si dimostri che H∞è banale: per ogni A ∈ H∞si ha P(A) = 0 oppure P(A) = 1.
[Sugg.: dedurre il risultato dalla legge 0–1 di Blumenthal applicata a . . . ]
Esercizio 6. Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale e definiamo le variabili τa := inf{t ≥ 0 : Bt= a} , St := sup
0≤u≤tBu. Ricordiamo il principio di riflessione: P(St≥ a) = P(τa≤ t) = P(|Bt| ≥ a).
(a) Si ricavi la densità della variabile St.
[Si consideri innanzitutto la funzione di ripartizione di St.]
(b) Si mostri che vale la relazione P(τa≤ t) = P(|B1| ≥√at), per ogni a, t > 0.
(c) (*) Si deduca che per ogni a ∈ R si ha P(τa<∞) = 1.
(d) Si determini la densità della variabile τa. Quanto vale E(τa)?
(e) (*) Si mostri in dettaglio come dal punto (b) segue che, q.c., lim sup
t→∞ Bt = +∞ , lim inf
t→∞ Bt = −∞ .
