Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 8

Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 8

Esercizio 1 (Processo di Ornstein-Uhlenbeck). Dato un moto browniano reale B = {Bt}t≥0, introduciamo il processo stocastico V = {Vt}t≥0definito da

Vt := e^−bt

� v0 + σ

�t 0

e^budBu

� , dove b, σ > 0 e v0∈ R.

(a) Si spieghi perché V è un processo di Itô.

[Sugg.: si esprima Vt= Φ(t, Xt)per un opportuno processo X.]

(b) Si mostri che V risolve l’equazione differenziale stocastica

�dVt = σdBt− b Vtdt V0= v0

.

(c) Si mostri che E(Vt) = v0e^−bte Cov(Vs, Vt) =^σ_2b²(e^−b|t−s|− e^−b(t+s)).

Si noti che l’integrale stocastico che compare nella definizione di Vt è una variabile gaussiana, per ogni t ≥ 0, perché l’integrando è deterministico (cf. foglio di esercizi n. 6).

È anzi possibile mostrare (esercizio per chi vuole) che V è un processo gaussiano.

(d) Sia U = {Ut}t≥0il processo definito da

Ut := e^−bt

� v0+ σ

√2b(B_e2bt− B1)

� .

Si mostri che i processi U e V hanno la stessa legge (cioè le loro leggi finito- dimensionali coincidono).

Esercizio 2. Sia (Ω, F, {Ft}t∈[0,∞), P)uno spazio di probabilità filtrato standard su cui sono definiti un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,∞)e un processo continuo e adattato X = {Xt}t∈[0,∞)che risolve l’equazione





dXt = 1

�1 + X_t²dBt + Xt

1 + X_t²dt X0 = 0

. (0.1)

Introduciamo la funzione ϕ : R → R definita da ϕ(x) :=

� x

−∞

e^−z2dz . (0.2)

Ricordiamo che limx→+∞ϕ(x) =√π. Definiamo il processo Y = {Yt}t∈[0,∞) ponendo Yt:= ϕ(Xt).

†Ultima modifica: 7 giugno 2011.

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(a) Si mostri che Y è un processo di Itô con differenziale stocastico











dYt = e^−Xt2

�1 + X_t²dBt

Y0=

√π 2

.

(b) Si deduca che Y è una martingala di quadrato integrabile.

Ricordiamo che �Y �t =

� t 0

e^−2X2s 1 + X_s²ds.

(d) Si spieghi perché il processo M = {Mt}t∈[0,∞)definito da Mt:= Y_t²− �Y �tè una martingala. Si deduca che per ogni tempo d’arresto τ e per ogni t ≥ 0 si ha

E(Yτ²∧t)− E(�Y �τ∧t) = π 4.

Consideriamo infine il tempo d’arresto τ := inf{t ≥ 0 : |Xt| ≥ a}, dove a > 0 è un numero fissato.

(e) (*) Si giustifichino le seguenti disuguaglianze, valide per ogni t ≥ 0:

Yτ²∧t ≤ π , �Y �τ∧t ≥ e^−2a2 1 + a²(τ∧ t) .

Si deduca che E(τ ∧ t) ≤ e^2a2(1 + a²)^3π₄, per ogni t ≥ 0, e si concluda che E(τ) < ∞.

Esercizio 3. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F, {Ft}t∈[0,1), P)è definito un {Ft}t∈[0,1)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,1)(con insieme dei tempi ristretto a [0, 1)). Definiamo i processi continui e adattati M = {Mt}t∈[0,1), X = {Xt}t∈[0,1)ponendo

Mt :=

� t 0

1

1− sdBs, Xt:= (1− t) Mt, ∀t ∈ [0, 1) .

(a) Si mostri che X è un processo di Itô che risolve la seguente equazione differenziale

stocastica: 





dXt = dBt− Xt

1− tdt X0 = 0

, (�)

(b) Si calcoli E(Mt²). Si deduca che Xt→ 0 in L²per t ↑ 1.

(c) Fissiamo ε ∈ (0, 1). Si spieghi perché il processo M² = {Mt²}t∈[0,1−ε] è una submartingala continua. Si deduca che per ogni c > 0 si ha

P

� sup

t∈[0,1−ε]|Mt| > c

�

≤ 1− ε ε c² . [Sugg.: Si applichi un’opportuna disuguaglianza.]

Per n ∈ N poniamo

εn := 1

2ⁿ, ∆n := εn· sup

t∈[0,1−εn]|Mt| .

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(e) Si mostri che q.c. si ha ∆n> (εn)^1/4solo per un numero finito di n ∈ N.

(Da ciò segue, in particolare, che ∆n→ 0 q.c. per n → ∞.)

(f) Si mostri che per ogni n ∈ N e per ogni t ∈ [1 − εn−1, 1− εn]si ha |Xt| ≤ 2 ∆n. Si deduca che Xt→ 0 q.c. per t ↑ 1.

Esercizio 4.Sia {Bt}t∈[0,∞)un moto browniano reale, definito su uno spazio di probabilità completo (Ω, F, P). Per M, t0, h > 0introduciamo i seguenti eventi:

A^{(M )}_t0,h := �

|Bt0+h− Bt0| ≤ Mh} , C_t^{(M )}_0,h := A^{(M )}_t0,h ∩ A^{(M )}t0+h,h∩ A^{(M )}t0+2h,h = �

|B(t₀+ih)+h− B(t₀+ih)| ≤ Mh , per i = 0, 1, 2} . (a) Si mostri che P(A^{(M )}_t,h )≤ M√

h, per ogni M, t, h > 0.

(b) Si mostri che P(C_t,h^{(M )})≤ M³h^3/2, per ogni M, t, h > 0.

Per M > 0 e n ∈ N introduciamo gli eventi

D^{(M )}_n :=

2ⁿ

�

k=1

C^{(M )}k

2n,_2n¹ , G^{(M )} := lim sup

n→∞ D_n^{(M )}. (c) Si mostri che P(D^{(M )}n )≤ M³2^−n/2, per ogni M > 0 e n ∈ N.

(d) Si mostri che P(G^{(M )}) = 0, per ogni M > 0. In altri termini, q.c. si verifica solo un numero finito di eventi D^{(M )}n .

(e) (*) (facoltativo) Sia f : [0, ∞) → R una funzione continua tale che esiste s ∈ (0, 1) in cui f è derivabile. Si mostri che esiste una costante M > 0 tale che per ogni n∈ N esiste k ∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che |f(^k+i₂n +₂¹n)− f(^k+i₂n)| ≤ M₂¹n, per i = 0, 1, 2.

Si proceda nel modo seguente:

- Si mostri che esiste L > 0 tale che |f(s + h) − f(s)| ≤ L h per ogni h ∈ [0, 1].

- Per n ∈ N sia k ∈ {1, . . . , 2ⁿ} tale che ^k2⁻¹ⁿ ≤ s < 2^kn. Applicando la disu- guaglianza triangolare, si mostri che |f(^k+i+1₂n )− f(^k+i₂n)| ≤ L (2i + 3)₂¹n e si concluda ponendo M := 7L.

(f) Si concluda che q.c. il moto browniano non è derivabile in nessun punto s ∈ (0, 1).