Processi Stocastici 2010/11 – Programma d’esame

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Processi Stocastici 2010/11 – Programma d’esame

Il programma del corso `e descritto dettagliatamente nel registro delle lezioni, disponibile in rete. Per la prova orale `e richiesta la conoscenza di tutte le definizioni e gli enunciati del corso, ad esclusione dei seguenti argomenti:

• il teorema di De Finetti per l’urna di Polya;

• i processi di ramificazione di Galton-Watson;

• il principio di invarianza di Donsker;

• il problema di Dirichlet;

• il processo di Poisson.

E inoltre richiesta la conoscenza delle dimostrazioni dei seguenti risultati :`

• costruzione della speranza condizionale: esistenza e unicit`a q.c. (§9.5 Wil- liams);

• teoremi elementari sulle martingale a tempo discreto:

– l’integrale stocastico discreto di un processo prevedibile (risp. prevedibile e positivo) rispetto a una martingala (risp. submartingala) `e una martingala (risp. submartingala) (§10.7 Williams);

– (sub)martingale arrestate restano (sub)martingale (§10.9 Williams);

– teorema d’arresto (§10.10 Williams, con enunciato generalizzato);

• disuguaglianza di upcrossing e teorema di convergenza per supermartingale limitate in L¹ (capitolo 11 Williams);

• caratterizzazione della convergenza in L¹ per una successione di variabili aleatorie in termini dell’uniforme integrabilit`a (§13.7 Williams);

• caratterizzazione delle martingale uniformemente integrabili e teorema di L´evy upward (§14.1 e §14.2 Williams);

• disuguaglianza massimale (§14.6 Williams);

• teorema d’arresto opzionale:

– per submartingale, quando i tempi d’arresto sono limitati (§A14.2 Wil- liams, con N rimpiazzato da un tempo d’arresto S(ω) limitato);

– per martingale uniformemente integrabili (§A14.3 Williams);

• moto browniano come processo gaussiano (Teorema 2.9);

• variazione quadratica del moto browniano e variazione infinita delle sue traiettorie (Proposizione 2.17 e Corollario 2.18);

• processi di L´evy:

– indipendenza dalla σ-algebra iniziale (Proposizione 3.17);

– ampliamento della filtrazione (Proposizioni 3.18);

– legge 0-1 di Blumenthal (Teorema 3.19);

• propriet`a di Markov forte per i processi di L´evy (Teorema 3.25);

• principio di riflessione per il moto browniano (Teorema 3.29);

• propriet`a dell’integrale stocastico di processi semplici (Proposizione 5.11);

• integrale stocastico come martingala continua (Teorema 5.19);

• estensione dell’integrale stocastico a processi in M_loc² [0, T ] (paragrafo 5.4.1);

• formula di Itˆo per il moto browniano (Teorema 6.1).