Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 5

(1)

Processi Stocastici 2010/11 – Foglio di esercizi n. 5^†

Esercizio 1. Sia {Bt}t≥0un moto browniano reale tale che t �→ Bt(ω)è continua per ogni (e non solo per q.o.) ω ∈ Ω.

(a) Si mostri che�1

0Btdt è una variabile aleatoria normale e se ne calcolino media e varianza.

[Sugg. Ricordarsi le somme di Riemann e il Teorema di Fubini]

(b) (*) Si mostri che inft∈[0,1]Btnon è una variabile normale.

Esercizio 2. Sia B = {Bt}t≥0 un moto browniano reale. Data una partizione π = {0 = t0 < t1 < . . . < tk = t} dell’intervallo [0, t], indichiamone il passo con |π| = max_1≤i≤k(ti− tⁱ−1). Introducendo la variazione quadratica Sπ=�k

i=1(Bt_i− B^ti−1)²di Brelativa a π, sappiamo che per |π| → 0 si ha Sπ→ t in L². Più precisamente, abbiamo visto che esiste una costante 0 < c < ∞ universale tale che

E�

(Sπ− t)²�

= c�k

i=1(ti− ti−1)².

Sia {π⁽ⁿ⁾}n∈Nuna successione di partizioni π⁽ⁿ⁾={0 = t⁽ⁿ⁾0 < t⁽ⁿ⁾₁ < . . . < t⁽ⁿ⁾_k_n = t}, tale che non solo |π⁽ⁿ⁾| → 0 per n → ∞, ma anche�

n∈N|π⁽ⁿ⁾| < ∞.

(a) Si mostri che, per ogni ε > 0,�

n∈NP(|Sπ⁽ⁿ⁾− t| > ε) < ∞.

[Sugg. Applicare un’opportuna disuguaglianza.]

(b) (*) Si deduca che Sπ⁽ⁿ⁾→ t q.c. per n → ∞.

Esercizio 3(Invarianza per rotazioni del moto browniano in Rⁿ).

(a) Sia B := {Bt}t≥0 un moto browniano n-dimensionale e sia L una matrice reale n× n. Definiamo il processo β := {βt}t≥0 ponendo βt:= LBt. Si mostri che β è un moto browniano n-dimensionale se e soltanto se L ∈ O(n) (cioè L è ortogonale:

LL^∗= L^∗L = In, dove L^∗indica la trasposta di L).

(b) Sia B := {Bt}t≥0un moto browniano n-dimensionale (con n ≥ 2) e x, y vettori in Rⁿ ortogonali di norma uno: �x, x� = �y, y� = 1 e �x, y� = 0, dove �·, ·� indica il prodotto scalare standard. Si mostri che i processi stocastici {Xt:=�x, Bt�}t≥0e {Yt:=�y, Bt�}t≥0sono due moti browniani reali indipendenti.

Esercizio 4. Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale, di cui indichiamo con Gt:=

σ({Bu}0≤u≤t)la filtrazione naturale. Supponiamo per semplicità che le traiettorie t �→

Bt(ω)siano continue per ogni ω ∈ Ω (e non solo q.c.). Definiamo An :=

� sup

0≤u≤¹_n

Bu> 0

�

, per n ∈ N , A := �

n∈N

An.

Ci si convinca che l’evento A può essere descritto come “in ogni intorno destro di 0 il moto browniano assume valori strettamente positivi”.

†Ultima modifica: 4 maggio 2011.

2

(a) Si mostri che An+1⊆ Aⁿ, ∀n ∈ N, e dunque P(A) = limn→∞P(An)(perché?).

(b) Si spieghi perché An⊇ {B¹

n > 0}. Si deduca che P(A) ≥¹₂. (c) Si spieghi perché A ∈ G0+. Si deduca che P(A) = 1.

(d) Si mostri che P(C) = 1, dove C :=�

n∈N{inf0≤u≤¹_nBu< 0}.

(e) (*) Si mostri in dettaglio che, per q.o. ω ∈ Ω, esistono due successioni {sn(ω)}n∈N

e {tn(ω)}n∈N tali che sn(ω) ↓ 0 e tn(ω) ↓ 0 per n → ∞, con la proprietà che Bsn(ω)(ω) < 0e Btn(ω)(ω) > 0per ogni n ∈ N.

Esercizio 5(Trivialità di coda per il moto browniano). (*) Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale. Per t ≥ 0 definiamo la σ-algebra Ht:= σ({Bu}u∈[t,∞)). Si noti che Htè decrescente in t. Definiamo la σ-algebra di coda ponendo H∞:=�

t≥0Ht. Si dimostri che H∞è banale: per ogni A ∈ H∞si ha P(A) = 0 oppure P(A) = 1.

[Sugg.: dedurre il risultato dalla legge 0–1 di Blumenthal applicata a . . . ]

Esercizio 6. Sia B = {Bt}t≥0un moto browniano reale e definiamo le variabili τa := inf{t ≥ 0 : Bt= a} , St := sup

0≤u≤tBu. Ricordiamo il principio di riflessione: P(St≥ a) = P(τ^a≤ t) = P(|B^t| ≥ a).

(a) Si ricavi la densità della variabile St.

[Si consideri innanzitutto la funzione di ripartizione di St.]

(b) Si mostri che vale la relazione P(τa≤ t) = P(|B1| ≥^√^a_t), per ogni a, t > 0.

(c) (*) Si deduca che per ogni a ∈ R si ha P(τa<∞) = 1.

(d) Si determini la densità della variabile τa. Quanto vale E(τa)?

(e) (*) Si mostri in dettaglio come dal punto (b) segue che, q.c., lim sup

t→∞ Bt = +∞ , lim inf

t→∞ Bt = −∞ .

(2)

3

Soluzione 1. (a) Grazie alla continuità di t �→ Bt(ω), possiamo ottenere l’integrale come limite (o equivalentemente lim sup) di somme di Riemann:

� 1 0

Bt(ω)dt = lim sup

N→∞

1 N

N−1�

i=0

Bi N(ω) .

Si noti che il membro destro di questa relazione è una variabile aleatoria, in quanto lim supdi variabili aleatorie. Essendo _N¹�N−1

i=0 Bi

N una variabile aleatoria normale, per ogni N ∈ N, anche il limite q.c. (e dunque in legge) è una variabile aleatoria normale:�1

0Btdt ∼ N(µ, σ²), e inoltre µ e σ²sono date dai limiti rispettivamente di media e varianza delle variabili_N¹ �N−1

i=0 Bi

N. Questo fornisce un modo per calcolare µe σ²(esercizio!).

Vediamo un modo alternativo per il calcolo di µ e σ²: applicando il teorema di Fubini^†, si ottiene

µ = E

� � 1 0

Bt(ω)dt

�

=

�1 0

E(Bt(ω))dt = �1 0

0dt = 0 .

(Si noti che possiamo applicare il Teorema di Fubini perché la funzione |Bt(ω)| è integrabile: infatti E(|Bt(ω)|) =√

t E(|N(0, 1)|) = c√

te dunque�1

0E(|Bt(ω)|) dt ≤�1 0c√

tdt < ∞.) In alternativa, si poteva dedurre che µ = 0 notando che la variabile�1

0Btdt è simmetrica, cioè ha la stessa legge di −�1

0 Btdt, perché sappiamo che {−Bt}tè un moto browniano.

Per calcolare la varianza σ², si osservi che possiamo scrivere σ² =

� � 1 0

Bt(ω)

�2

=

� 1 0

�1 0

Bt(ω) Bs(ω)dt ds . Applicando ancora il Teorema di Fubini si ottiene

σ² =

� 1 0

E(Bt(ω)Bs(ω))dt ds = � 1 0

� 1

0 min{s, t} dt ds ,

e dato che l’integrando è simmetrico in (s, t), possiamo restringere il dominio a {(s, t) : s ≤ t}, ottenendo

σ² = 2

� 1 0

dt� � t 0

min{s, t} ds

�

= 2

� 1 0

dt� � t 0

sds�

= 2

� 1 0 dt

�t² 2

�

= 1 3. In definitiva,�1

0 Btdt ∼ N(0,¹₃).

(b) Dato che B0 = 0q.c., si ha che Z := inft∈[0,1]Bt ≤ 0 q.c., cioè P(Z ≤ 0) = 1.

L’unico caso di legge normale con questa proprietà è costituito dalla delta di Dirac in µ≤ 0 (perché?), quindi si dovrebbe avere Z ∼ N(µ, 0), cioè Z = µ q.c.. Ma questo

†A questo proposito, occorre essere certi che Bt(ω)sia congiuntamente misurabile in (t, ω), cioè che la funzione (t, ω) �→ Bt(ω)da [0, 1] × Ω in R sia misurabile. Questo segue dal fatto che le traiettorie di B sono continue, come verrà mostrato nel seguito del corso.

4

è impossibile, perché, qualunque sia µ, si ha che P(Z < µ − 1) ≥ P(B1< µ− 1) > 0, essendo B1∼ N(0, 1).

Soluzione 2. (a) Per la disuguaglianza di Chebychev, usando la relazione richiamata nel testo dell’esercizio si ha

P(|Sπ⁽ⁿ⁾− t| > ε) ≤ E[(S_π(n)− t)²]

ε² = c

ε²

kn

�

i=1

(t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾i−1)²

≤ c ε²|π⁽ⁿ⁾|

kn

�

i=1

(t⁽ⁿ⁾_i − t⁽ⁿ⁾i−1) = c t ε²|π⁽ⁿ⁾| , e dato che�

n∈N|π⁽ⁿ⁾| < ∞ per ipotesi, anche�

n∈NP(|Sπ⁽ⁿ⁾− t| > ε) < ∞.

(b) Definiamo l’evento

Aε := {|Sπ⁽ⁿ⁾− t| > ε per infiniti n} = lim sup

n→∞ {|Sπ⁽ⁿ⁾− t| > ε} .

Grazie al punto precedente, per il lemma di Borel-Cantelli si ha P(Aε) = 0, per ogni ε > 0. Definendo A :=�

k∈NA1

k, si ha dunque P(A) = 0 e quindi P(A^c) = 1.

D’altro canto, se ω ∈ A^c, per costruzione vale che, per ogni ε > 0, esiste n0= n0(ω) tale che |Sπ⁽ⁿ⁾(ω)− t| ≤ ε per n ≥ n⁰(ω)(perché?). Quindi S_π(n)(ω)→ t per n → ∞ quando ω ∈ A^c, e l’esercizio è concluso.

Soluzione 3. (a) Essendo le componenti di β trasformazioni lineari delle componenti di B, segue immediatamente che, per qualunque matrice L, il processo β è gaussiano con media nulla e traiettorie q.c. continue. La funzione covarianza si calcola facilmente:

dato che βs⁽ⁱ⁾:= (LBs)⁽ⁱ⁾=�n

k=1LikB^(k)s , segue che Cov(β_s⁽ⁱ⁾, β_t^(j)) = E(β_s⁽ⁱ⁾β_t^(j)) =

�n k,l=1

LikLjlE(B_s^(k)B_t^(l))

= min{s, t}

�n k,l=1

LikLjlδkl = min{s, t} (L L^∗)ij.

Si ha dunque che Cov(β⁽ⁱ⁾s , β_t^(j)) = min{s, t} δij se e soltanto se (L L^∗)ij= δij per ogni 1 ≤ i, j ≤ n, cioè L L^∗= In, cioè L ∈ O(n).

(b) Si può applicare il punto precedente. Basta infatti completare i vettori x, y a una base ortonormale {z1, z2, . . . , zn} di Rⁿ, in cui z1= xe z2= y. Se indichiamo con L la matrice n×n la cui i-esima riga è data dal vettore zi, la matrice L è ortogonale per costruzione, quindi il processo {βt:= LBt}^t≥0è un moto browniano n-dimensionale per il punto precedente. In particolare, le sue componenti β⁽¹⁾e β⁽²⁾ sono moti browniani reali indipendenti. Dato che per costruzione β⁽¹⁾_t =�z1, Bt� = �x, Bt� e β⁽²⁾_t =�z2, Bt� = �y, Bt�, segue la tesi.

(3)

5

Soluzione 4. (a) Per definizione, se ω ∈ An+1si ha sup_0≤u≤ ¹

n+1Bu(ω) > 0e dunque esiste u = u(ω, n) ∈ [0,_n+1¹ ] tale che Bu(ω) > 0. Dato che _n+1¹ < _n¹, si ha che u ∈ [0,_n¹] e dunque sup₀_≤u≤¹

nBu(ω) > 0, cioè ω ∈ An. Questo mostra che An+1⊆ An.

Dato che A è l’intersezione decrescente degli eventi An, per la continuità dall’alto della probabilità si ha P(A) = limn→∞P(An).

(b) Se ω ∈ {B_n¹ > 0}, si ha B_n¹(ω) > 0e quindi in particolare sup_0≤u≤¹

nBu(ω) > 0, cioè ω ∈ An. Questo mostra che {B¹

n > 0} ⊆ An. Di conseguenza P(An)≥ P(B_n¹ > 0) =¹₂, perché B¹

n ∼ N (0,_n¹).

(c) Per definizione di G¹

n = σ({Bu}0≤u≤_n¹), le variabili Bucon u ≤_n¹sono G¹

n-misurabili.

Di conseguenza Yn:= sup_u∈[0,1

n]∩QBuè una variabile aleatoria G¹_n-misurabile, perché è estremo superiore di una famiglia numerabile di variabili G¹

n-misurabili. Per la continuità delle traiettorie, si ha sup_u_∈[0,¹

n]∩QBu= sup₀_≤u≤¹

nBue possiamo dunque scrivere An= {Yn > 0} = {Yn ∈ (0, ∞)}, il che mostra che An∈ G_n¹, per ogni n∈ N.

Ricordiamo che Gs⊆ G^tper s ≤ t. Per ogni n > n0(ε) :=�¹ε� si ha¹n≤ ε e quindi An∈ G¹

n ⊆ Gε, da cui segue che�_∞

n=n0(ε)An∈ Gε. Ma dato che la famiglia di eventi {An}n∈N è decrescente, possiamo scrivere�

n∈NAn=�_∞

n=n0An, per ogni n0∈ N (perché?). Segue allora che A ∈ Gε, per ogni ε > 0, e dunque A ∈�

ε>0Gε=G0+. Per la legge 0–1 di Blumenthal P(A) ∈ {0, 1}, ma già sappiamo che P(A) ≥ ¹₂e quindi P(A) = 1.

(d) Basta notare che P(C) = P(A). Infatti, ponendo β� t := −Bt, si ha che C =

n∈N{sup0≤u≤_n¹βu> 0}; visto che {β^u}^u≥0è un moto browniano, si ha P(C) = 1 per quanto già mostrato.

(e) Per definizione, se ω ∈ A si ha che per ogni n ∈ N esiste t^�n(ω)∈ [0,_n¹]tale che Bt^�_n(ω)(ω) > 0. Si noti che t^�_n(ω)→ 0 per n → ∞. A questo punto basta estrarre^† una sottosuccessione decrescente {tn(ω)}n∈Nda {t^�n(ω)}n∈N e si ha chiaramente che tn(ω)↓ 0 per n → ∞ e Btn(ω)(ω) > 0per ogni n ∈ N.

In modo analogo, se ω ∈ C possiamo definire una successione decrescente {sn(ω)}n∈Ntale che sn(ω)↓ 0 per n → ∞ e Bsn(ω)(ω) < 0per ogni n ∈ N.

Per ω ∈ A ∩ C si possono dunque definire entrambe le successioni: la conclusione segue dal fatto che P(A ∩ C) = 1, poiché P(A) = P(C) = 1.

Soluzione 5.Poniamo βt:= B_1/tper t > 0 e β0:= 0e indichiamo la filtrazione naturale del processo β con Dt:= σ({βu}0≤u≤t) = σ({βu}0<u≤t), poiché la variabile β0è costante e dunque σ(β0) ={∅, Ω}. Per costruzione si ha che

H^t = σ({B^u}^t≤u<∞) = σ��

B¹

v

�

0<v≤¹_t

� = σ��₁

vβv�

0<v≤¹_t

�

= σ��

βv�

0<v≤¹_t

� = D1/t,

†Ad esempio ponendo tn(ω) := t^�kn(ω), con k1:= 1e kn+1:= min{� > kn: t^��(ω) < t^�kn(ω)}.

6

dove la penultima uguaglianza segue dal fatto che σ(X) = σ(cX) per ogni variabile aleatoria reale X e per ogni costante c �= 0. Di conseguenza H∞=�

t≥0Ht=�

t>0Dt= D0+. Dato che β è un moto browniano, la σ-algebra H∞risulta banale per la legge 0–1 di Blumenthal.

Soluzione 6. (a) Per il principio di riflessione P(St< a) = P(|Bt| < a) = 2

√2πt

�a 0

e⁻^2t¹^x²dx , da cui, derivando rispetto ad a, si ottiene

fSt(x) = 2

√2πte⁻^2t¹^x²1(0,∞)(x) . (b) Per il principio di riflessione e la proprietà di scaling

P(τa≤ t) = P(|B^t| ≥ a) = P(|B¹| ≥^√^a_t) .

(c) Dalla formula ottenuta al punto precedente e dalla continuità dall’alto della proba- bilità si ha

P(τa=∞) = lim_t

→∞P(τa> t) = lim

t→∞P(|B1| <^√^a_t) = P(|B1| = 0) = 0 . (d) Abbiamo visto che

P(τa≤ t) = P(|B1| ≥^√^a_t) = 1− P(|B1| ≤^√^a_t) = 1− 2

√2π

� a/√t 0

e^−x²^/2dx , da cui derivando rispetto a t si ottiene

fτa(t) = − 2

√2πe^−a²^/(2t)

�

−1 2

a t^3/2

�

1(0,∞)(t) = a

√2π t^3/2e^−a²^/(2t)1(0,∞)(t) . Inoltre

E(τa) =

�_∞

0

t fτa(t)dt = a

√2π

� _∞

0

e^−a²^/(2t)

√t dt = +∞ , dove la divergenza dell’integrale è dovuta ai valori grandi di t.

(e) Ponendo Am:={τm<∞}, sappiamo che P(Am) = 1per ogni m ∈ Z e dunque P(A) = 1, dove anche A :=�

m∈ZAm.

Per costruzione, se ω ∈ A si ha che τm(ω) <∞ per ogni m ∈ Z e dunque Bτm(ω)(ω) = m: in particolare, la sottosuccessione {Bτn(ω)(ω)}n∈N ha limite +∞

mentre {Bτ−n(ω)(ω)}n∈Nha limite −∞. Questo mostra che, per ogni ω ∈ A, si ha lim sup_t_→∞Bt(ω) = +∞ e lim inft→∞Bt(ω) =−∞. Dato che P(A) = 1, segue la tesi.