III Appello di Processi Stocastici 2010/11 Cognome:
Laurea Magistrale in Matematica Nome:
27 settembre 2011 Email:
Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).
Esercizio 1. Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) è definita una successione {Xn}n∈Ndi variabili aleatorie i.i.d. con distribuzione P(Xn = +1) = P(Xn = −1) = 12. Consideriamo la filtrazione {Fn}n∈N0 definita da F0:= {∅, Ω} e Fn:= σ(X1, . . . , Xn) per n ∈ N.
Sia g : [0, ∞) → [0, ∞) una funzione continua fissata tale che 0 < g(x) ≤ x per ogni x ∈ (0, ∞) e g(0) = 0. Definiamo il processo S = {Sn}n∈N0 ponendo
S0 := 1 , Sn+1:= Sn+ g(Sn) Xn+1 per n ∈ N . (a) Si mostri che Sn≥ 0 per ogni n ∈ N0.
[Sugg.: induzione.]
(b) Si mostri che S è una martingala. Si deduca che q.c. esiste finito il limite S∞:= limn→∞Sn. (c) Si noti che |Sn+1− Sn| = g(Sn). Si deduca che g(S∞) = 0 q.c. e quindi che S∞= 0 q.c..
(d) La famiglia di variabili aleatorie {Sn}n∈N0 è uniformemente integrabile?
(e) Si mostri che la famiglia di variabili aleatorie {(Sn)1/3}n∈N0 è uniformemente integrabile. Si concluda che limn→∞E((Sn)1/3) = 0.
Soluzione 1. (a) Chiaramente S0 ≥ 0. Assumendo che Sn≥ 0, dato che Xn+1≥ 0 e g(x) ≤ x, si ha Sn+1≥ Sn− g(Sn) ≥ Sn− Sn≥ 0.
(b) Si mostra facilmente per induzione che Sn è Fn-misurabile e anche che Sn ∈ L1 per ogni n ∈ N0 (si noti che |Sn+1| ≤ |Sn| + |g(Sn)||Xn+1| ≤ |Sn| + |Sn| = 2|Sn|). Per le proprietà di misurabilità e indipendenza della speranza condizionale si ottiene inoltre E(Sn+1|Fn) = Sn+ g(Sn) E(Xn+1|Fn) = Sn+ g(Sn) E(Xn+1) = Sn, dunque S è una martingala.
Dato che Sn≥ 0 per ogni n ∈ N0, ricordando che ogni martingala positiva è limitata in L1, segue dal teorema di convergenza per martingale limitate in L1 che S∞:= limn→∞Sn esiste finito q.c..
(c) Per definizione |Sn+1− Sn| = |g(Sn)||Xn+1| = |g(Sn)| perché |Xn+1| = 1. Dato che Sn → S∞∈ [0, ∞) q.c. e la funzione g(·) è continua, passando al limite nella relazione precedente otteniamo 0 = |S∞− S∞| = |g(S∞)| q.c., dunque g(S∞) = 0 q.c.. Dato che g(x) > 0 per x > 0 mentre g(0) = 0 (per continuità, dato che 0 < g(x) ≤ x), segue che 0 è l’unico punto x ∈ [0, ∞) tale che g(x) = 0. Avendo mostrato che g(S∞) = 0 q.c., segue che S∞= 0 q.c..
(d) No. Infatti, se la famiglia fosse uniformemente integrabile, dato che Sn→ S∞ q.c. si avrebbe anche Sn→ S∞in L1; in particolare si dovrebbe avere E(Sn) → E(S∞), il che è impossibile dato che E(S∞) = 0 (per il punto precedente) mentre E(Sn) = E(S0) = 1 per ogni n ∈ N0
(perché S è una martingala).
(e) Le variabili Zn sono limitate in L3, dato che E(|Zn|3) = E(Sn) = E(S0) = 1 per ogni n ∈ N0
(perché S è una martingala), ed è noto che una famiglia di variabili aleatorie limitate in Lp con p > 1 è uniformemente integrabile. Dato che Sn→ S∞= 0 q.c., segue che anche Zn→ 0 q.c. e per l’uniforme integrabilità segue che Zn→ 0 in L1, da cui E(Zn) → 0.
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Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F , {Ft}t∈[0,∞), P) è definito un {Ft}t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {Bt}t∈[0,∞). Introduciamo il processo progressivamente misurabile X = {Xt}t∈[0,∞) definito da
Xt:=
Z t 0
Bsds ,
che descrive l’area sottesa dal grafico del moto browniano nell’intervallo [0, t]. Definiamo quindi il processo M = {Mt}t∈[0,∞) ponendo
Mt:= Xt−1 3Bt3. (a) Si mostri che per ogni 0 ≤ s < t
E(Bt− Bs) = 0 , E((Bt− Bs)2) = (t − s) , E((Bt− Bs)3) = 0 . (b) Si deduca che per ogni 0 ≤ s < t
E(B3t| Fs) = B3s+ 3Bs(t − s) . (c) Si mostri che per ogni 0 ≤ s < t
E
Z t s
Yudu
G
= Z t
s
E(Yu|G) du ,
per ogni σ-algebra G ⊆ F e per ogni processo Y = {Yu}u∈[0,∞) sufficientemente regolare (diciamo continuo e tale che Yu∈ L2 per ogni u ∈ [0, ∞)).
[Sugg.: E(Z|G) = W significa E(Z 1A) = E(W 1A) per ogni A ∈ G e . . . ] (d) Si deduca che per ogni 0 ≤ s < t
E
Z t s
Budu
Fs
= (t − s)Bs. (e) Si deduca dai punti precedenti che M è una martingala.
Diamo ora una dimostrazione alternativa del fatto che M è una martingala. Si noti che X è un processo a variazione finita, dunque un processo di Ito, con differenziale stocastico dXt= Btdt .
(f) Applicando la formula di Ito, si mostri che M è un processo di Ito, se ne calcoli il differenziale stocastico e si deduca che M è una vera martingala (e non solo una martingala locale).
Soluzione 2. (a) Le tre relazioni seguono immediatamente dal fatto che Bt− Bs ∼ N (0, t − s) (per la terza relazione, si osservi che (Bt− Bs) ha la stessa legge di −(Bt− Bs)).
(b) Dato che Bs è Fs-misurabile e Bt− Bs è indipendente da Fs, otteniamo
E(B3t| Fs) = E((Bs+ (Bt− Bs))3| Fs) = E(Bs3+ 3Bs2(Bt− Bs) + 3Bs(Bt− Bs)2+ (Bt− Bs)3| Fs)
= Bs3+ 3Bs2E(Bt− Bs) + 3BsE((Bt− Bs)2) + E((Bt− Bs)3) = Bs3+ 3Bs(t − s) . (c) Per ogni A ∈ G, applicando il teorema di Fubini e le proprietà della speranza condizionale, si
ottiene E
Z t s
Yudu
1A
= Z t
s
E(Yu1A) du = Z t
s
E(E(Yu1A|G)) du = Z t
s
E(E(Yu|G)1A) du
= E
Z t s
E(Yu|G) du
1A
Dato che (Rt
sE(Yu|G) du) è una variabile aleatoria G-misurabile, la relazione è dimostrata.
(d) Per il punto precedente E(Rt
s Budu | Fs) = Rt
s E(Bu|Fs) du = Rt
s Bsdu = BsRt
s1 du = Bs(t − s).
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(e) Il processo M è adattato e inoltre Mt∈ L1 per ogni t ≥ 0 (l’integrabilità di Xt segue dal teorema di Fubini). Infine, per 0 ≤ s < t si ha
E(Mt|Fs) = E(Xt|Fs) −1
3E(Bt3|Fs) = Xs+ E(Xt− Xs|Fs) −1
3E(Bt3|Fs)
= Xs+ E
Z t s
Budu
Fs
−1
3E(Bt3|Fs) = Xs+ (t − s)Bs−1
3(Bs3+ 3Bs(t − s)) = Ms, avendo usato i risultati dei punti precedenti.
(f) Abbiamo già osservato che X è un processo di Ito. Bt3è un processo di Ito, in quanto funzione C∞ del processo di Ito B. Per la formula di Ito
d(Bt3) = 3Bt2dBt + 3Btdt , da cui
dMt= dXt − 1
3d(Bt3) = Btdt − Bt2dBt − Btdt = −Bt2dBt. Dato che M0 = 0, segue che Mt = −Rt
0Bu2du. Dato che E(RT
0 B2udu) = RT
0 E(Bu2) du =
T2
2 < ∞, l’integarndo Bu2 è in M2 (e non solo in M2loc) e dunque l’integrale stocastico M è una vera martingala (di quadrato integrabile).
