Elettrodinamica 2 30 ottobre 2015

Autoinduzione

Dimensioni e unità dell’autoinduttanza Fem autoindotta

Induzione mutua Circuito LR

Energia magnetica

Energia magnetica di due circuiti accoppiati Circuito LC

Elettrodinamica 2

30 ottobre 2015

Autoinduzione

• Un circuito percorso da corrente genera un campo B

• Il flusso di B concatenato al circuito è

• B può essere calcolato usando la prima formula di Laplace

• B è proporzionale alla corrente, ne segue che anche il flusso lo è

 

_



S

A d B S

B  

|



 ⁰ ₃

4 r

r l i d

B  







Autoinduttanza. Dimensioni, unità di misura

• Il coefficiente di proporzionalità è detto autoinduttanza del circuito

• Dipende soltanto da fattori geometrici, come la capacità elettrica

• Le dimensioni sono

• L’unità di misura è lo henry (H)

 Li



   

 

A Tm A

H Wb

 2



Autoinduttanza di un solenoide

• Il campo B dentro un solenoide di N spire, sezione A e lunghezza l è

• Il flusso di B concatenato con le N spire è

• L’autoinduttanza è

l i ni N

B  ₀  ₀

Ali n

nlBA

NBA   ₀ ²





Al i n

L   ₀ ²



Fem autoindotta

• In un circuito, se varia la corrente, varia il flusso di B e quindi viene indotta una fem

• In un circuito indeformabile l’autoinduttanza è costante, la legge di Faraday si scrive

• Nel caso generale si avrebbe

dt L di dt

Li d

dt

d    



 ( )

E

dt L di dt i

dL dt

Li d dt

d     



 ( )

E

Induzione mutua

• Se due circuiti C1 e C2 sono vicini, il flusso magnetico attraverso uno

dipende anche dal campo B, e quindi dalla corrente, dell’altro

• Di nuovo il flusso è proporzionale alla corrente

• Ove M21 il coefficiente di induzione del circuito 2 sul circuito 1

 

_







1

1 2

1 2

21 |

S

A d B S

B  



 ⁰ ₂ ² ₃

2 4 r

r l

i d

B  







2 21 21  M i



C1

C2

Induzione mutua

• A questo termine si aggiunge naturalmente quello di autoinduzione, il flusso totale è quindi

• Simmetricamente per il circuito 2 avremo

• Si può dimostrare che

• Il valore comune M è detto induttanza mutua

• Dipende sia dalla forma di entrambi i circuiti che dalla loro distanza e disposizione relativa

• Dimensioni e unità di misura sono le stesse di L

1 12 2

2

2  L i  M i



2 21 1

1

1  L i  M i



21

12 M

M 

Fem indotte

• Per trovare le fem indotte nei circuiti, applichiamo la legge di Faraday

• Supposte le L e M costanti, abbiamo

• Nel caso in cui le L e M variassero nel tempo, bisognerebbe aggiungere le derivate temporali dei termini corrispondenti

dt M di

dt L di

dt E d

dt M di

dt L di dt

E d

1 2 2

2 2

2 1 1

1 1





 









 





Circuito LR

• Contiene un resistore R e un induttore L

• Inizialmente il circuito è aperto e i=0

• Alla chiusura del circuito i è ancora zero, ma varia come e nell’induttanza c’è una fem

• Al tempo t circola una corrente i e ai capi di R c’è una caduta di potenziale iR

• Per la 2^a legge di Kirchhoff

dt di

dt di

 L

 0









 iR

dt L di iR _b

i

b E E

E

Analisi qualitativa del circuito LR

• Al tempo t=0, i=0 e la fem è uguale all’opposto della fem della batteria. Ne segue che i cresce come

• Al crescere di i, cresce la caduta di potenziale sulla resistenza. Ne segue che i cresce come

• Cioè più lentamente che per t=0

dt di

 L

L dt

di E_b

 



 





0

L iR L

dt

di _b



 E

Analisi qualitativa del circuito LR

• Il valore finale di i si ottiene uguagliando a zero e vale

• L’equazione del circuito ha la stessa forma che per il circuito di carica di un condensatore

• Si ottiene come soluzione

• Con costante di tempo del circuito dt

di

R

 L







b e

i  ER 1 ^ i_f  ER^b

Energia Magnetica

• Partiamo dall’equazione del circuito LR e moltiplichiamo tutti i termini per la corrente

• Il primo membro rappresenta la potenza erogata dalla batteria

• Il primo termine a secondo membro è la potenza dissipata nella resistenza

• Il secondo termine rappresenta la rapidità con cui viene erogata energia all’induttore

dt Li di

R i

i 



E

Energia Magnetica

• Possiamo dunque scrivere

• La quantità totale di energia accumulata

nell’induttore si trova integrando da i=0 a i=I_f

• Si deve dunque compiere lavoro per instaurare una corrente in un induttore

dt Li di dt

dU_m



2

0

2

1

f I

m

m

dU Lidi LI

U    



Energia Magnetica

• Nell’istaurare una corrente in un induttore si genera un campo B

• Il lavoro compiuto può quindi interpretarsi come il lavoro necessario per produrre il campo B

• L’energia accumulata in un induttore è accumulata nel campo B

• Nel caso particolare di un solenoide rettilineo

ni

B   ^{L   n}

^Al

Energia Magnetica

• L’energia magnetica accumulata è

• Poiché Al è il volume del solenoide, definiamo la densità di energia magnetica

• Questo risultato, anche se ricavato per un caso particolare, è valido in generale

 

n Al B

n LI

U_{m f}

0 2 2

0 2

0 2

2 2

1 2

1



   



 



 



0 2

2





lA U_m

m  

Energia

magnetica di due circuiti

accoppiati

• Applichiamo la legge di Kirchhoff ai due circuiti

• Nota: queste equazioni sono la base teorica del funzionamento del

trasformatore

• Isoliamo il termine di induzione

M R₁

E_B1

L₁

R₂ E_B2 L₂

0 0

2 2

2

1 1

1













R i

B

R i

B

V E

E

V E

E

1 1

1 B R

i

V E

E

V E

E













Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• Moltiplichiamo la prima eq. per la corrente del primo circuito e analogamente procediamo con la seconda eq.

• Come nel caso di un circuito singolo, il termine di sinistra rappresenta la potenza magnetica

2 2 2

2 2

2

1 1 1

1 1

1

I V I

E I

E

I V I

E I

E

R B

i

R B

i













2 2 2

1 1 1

I E P

I E P

i m

i m









Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• L’energia magnetica totale sara` la somma delle energie magnetiche dei due circuiti

• Esplicitando la fem dei due circuiti





dt P

dt P

dU_m  _m1  _m2   _{i1 1}  _{i2 2}



















 



 



 

 



 



 



2 2 2

2 1 1

2 1

1 1

2 1 2

2 1

2 1

1

1

1 d d

d

dt I L dI dt I

M dI dt I

M dI dt I

L dI

dt I M dI dt

L dI dt I

M dI dt

L dI dt

dU_m

Energia magnetica di due circuiti accoppiati

• E integrando

• Tale energia non puo` essere negativa, questo matematicamente si esprime dicendo che la forma quadratica seguente e` non negativa

• La condizione perche’ cio` avvenga e` che il determinante sia negativo o nullo

2 2 2 2

1 2

1

1 2

1 2

1 L I MI I L I

U_m   

0

2 ₂ ²

2

1x  Mxy  L y 

L

2

0

1

2

 L L 

M

Coefficiente di accoppiamento

• Fisicamente cio` significa che il coefficiente di mutua induzione e` compreso nei limiti

• Si definisce coefficiente di accoppiamento

• r e` compreso tra zero (circuiti disaccoppiati) e uno (circuiti completamente accoppiati)

2 1 2

1

L M L L

L  



2 1

2

L L

r  M 0  r  1

Circuito LC – Oscillazioni libere

• Applichiamo la 2^a legge di Kirchhoff

• È l’equazione del moto armonico di pulsazione (pulsazione naturale)

• che ha soluzione

C Q dt

L dI  1



1 0

2

2  Q 

LC dt

Q d

 ^{  } 

 A t

Q cos

L

C

C L

  V E

LC 1

0 



 ^{ } 

 



 A t

I sin

 0

 _C

L V

E

dt I  dQ

21

Circuito LC

• Ove A e  si determinano imponendo le condizioni iniziali

• Se p.e. imponiamo che al tempo t=0 la carica sia Q₀ e la corrente sia 0, otteniamo

• Carica e corrente sono sfasate di /2 t

Q

Q  ₀ cos



t Q

I  _{0 0} sin₀

Circuito LC

• L’energia accumulata nel circuito è in parte elettrica e in parte magnetica

) 2 (

1 )

( 2

) 1

( ²

2

t C LI

t t Q

U  

Circuito LC

• Questa energia è costante

• Ciò significa che l’energia si trasforma da elettrica a magnetica e viceversa, conservandosi globalmente

• La presenza di resistenze comporta una diminuzione di energia e.m. e la comparsa di energia termica

) 0

(     

LC LI Q

C I Q dt

LI dI dt

dQ C

Q dt

t dU

Rocchetto a induzione

• Un rocchetto ad induzione (o di

Ruhmkorff) è un tipo di trasformatore utilizzato per produrre impulsi ad alta tensione (dell’ordine di 10 kV) partendo da una sorgente di corrente

continua a bassa tensione

• (*) questa pagina e le cinque seguenti sono adattate da Wikipedia

Funzionamento

• Un rocchetto ad induzione consiste di due solenoidi di filo di rame isolato avvolti

attorno ad un unico nucleo di ferro

• Un solenoide (avvolgimento primario) è costituito di

decine o centinaia di spire di filo smaltato ed è percorso da una corrente elettrica che crea un campo magnetico

• L'altro (avvolgimento secondario) consiste di

diverse migliaia di spire di filo sottile ed è accoppiato

Funzionamento

• Il primario agisce da induttore, immagazzinando l'energia nel campo magnetico associato

• Per produrre le variazioni di flusso necessarie ad indurre la forza elettromotrice nell'avvolgimento secondario, la corrente che circola nel primario è interrotta ripetutamente mediante un contatto vibrante chiamato interruttore

• Quando la corrente elettrica del primario viene interrotta improvvisamente, il campo magnetico cala rapidamente e questo, per induzione elettromagnetica, causa un impulso ad alta tensione attraverso il secondario

• Grazie all'alto numero di spire dell'avvolgimento secondario, la fem generata crea una ddp tra i terminali del secondario di

molte migliaia di volt. Questa tensione è sufficiente a generare una scarica elettrica attraverso l'aria che separa i terminali

Funzionamento

• Il rocchetto di Ruhmkorff utilizza una lamina metallica, chiamata interruttore, per aprire e chiudere rapidamente il circuito primario

• L’interruttore, trattenuto da una molla di richiamo, è montato ad una estremità del nucleo ferroso

• Il campo magnetico generato dal primario attira la lamina e apre il circuito

• All'apertura del circuito, il campo magnetico

si interrompe, la molla richiama l’interruttore e

il circuito viene chiuso nuovamente

Funzionamento

• La tensione nel secondario è indotta sia quando il circuito si apre che quando si chiude, ma la

variazione della corrente è molto più rapida quando il circuito si apre così l'impulso nel secondario all'apertura è molto maggiore

• NOTA: un condensatore è posto in parallelo all'interruttore del primario per sopprimere l'arco elettrico fra i contatti e permettere un'apertura più rapida e quindi una tensione maggiore

• La forma d'onda dell'uscita di un rocchetto ad induzione è costituita da una serie di impulsi positivi e negativi ma una delle due polarità è molto più ampia dell'altra

Funzionamento

• Il nucleo ferroso è costruito con un fascio di fili di ferro rivestiti con lacca per isolarli elettricamente

• Questo diminuisce la formazione di

correnti parassite perpendicolari all'asse

magnetico

Circuito chiuso

• Equazione del primario in assenza di corrente nel secondario

• Soluzione

EB

dt ri

L₁ di¹  ₁ 





B e

r

i₁  E 1 ^

r T  L¹

R

r M

E_B

L₁ L₂

i₁

Circuito chiuso

• Flusso nel secondario

• Fem nel secondario

• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem si riduce a

• Nell’istante di chiusura del primario (t=0) essa vale

dt M di dt

L di

E₂   ₂ ²  ¹

1 2

2

2  L i  Mi



R

r M

E_B

L₁ L₂

T

B e t

T r M E dt

M di

E   ₁   1 ^

2

E

E₂

Circuito aperto

modellato con una R molto grande

• Equazione del primario

• Soluzione





dt

L₁ di¹   ₁ 





 B B t B t

B t e

r e E

r R r R

E r

R e E

r R r

R

i E ^{ }  ^

 

 



 

 

  1

1

r R

L

 ¹



R

r

L₁ M E_B

L₂

i₁

Circuito aperto

• Fintanto che non passa corrente nel secondario, la fem e`

• Nell’istante di apertura del primario (t=0) essa vale





dt M M di

E ^

 



 ₁ 1

2





M

E ^{aper B B}

1

2 1 

 



R

r

L₁ M E_B

L₂

E₂

Fem nelle commutazioni

• Le fem all’apertura e chiusura del primario, tenuto conto del buon accoppiamento, sono

• L’ultimo passaggio deriva dal diverso numero di spire nei due avvolgimenti

• Il rapporto delle fem all’apertura e chiusura del primario e`

B B

B chius B

E L E

L L

L E L L

M E

E      

1 2 1

2 1 1

2

r E R r

E R L L r

R L L E r L

R L M E

E ^aper  ^B  ^B  _B  _B

1 2 1

2 1 1

2

1

2  

r R E

E

chius aper

Fem nelle commutazioni

• Il rocchetto e` costruito in modo che generi una ddp tra i terminali aperti del secondario, sufficiente a superare la rigidita` dielettrica dell’aria e provocare quindi una scarica

E₂aper

E₂

Potenziale di scarica in aria

Importanza scientifica

• Un rocchetto di questo tipo fu usato da H.

Hertz per dimostrare sperimentalmente

l'esistenza delle onde elettromagnetiche