Elettrodinamica 1 30 settembre 2015

Elettrodinamica 1

30 settembre 2015

Esperienze di Faraday

Legge di Faraday-Neumann Fem dinamica, corrente indotta

Legge di Lenz e conservazione dell’energia Moto di un conduttore in un campo B

Lavoro della forza

Spira in moto in un campo B

Fem dinamica e variazione del flusso di B Applicazioni dell’induzione

Faraday (1831)

• Studia situazioni sperimentali diverse

– Moto di un circuito in un campo B fisso

– Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso – Variazione d’intensita` del campo B

• Arriva alla conclusione che una variazione del flusso del campo B concatenato con il circuito induce una fem nel circuito

• Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul circuito

2

Faraday

• Scoperta di una nuova legge

• La fem è attribuita all’esistenza di un nuovo tipo di campo E, dinamico o indotto

• Anche una variazione geometrica del circuito nel campo B produce una fem

– Variazione di dimensioni

– Variazione di orientazione

Legge di Faraday-Neumann

• 2

eq. dell’e.m. nella sua forma completa

• Il segno negativo ha a che fare con il verso della fem (legge di Lenz)

• I campi E statici sono conservativi: l’integrale di linea di E su un cammino chiuso e` nullo

• I campi E indotti non sono conservativi:

l’integrale e` uguale alla fem

dt l d

d

E

C

 





  ^{ }

E

4

Circuito a più spire

• Se il circuito è formato da più spire, bisogna sommare il contributo di ogni spira

• Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B

in totale avremo N volte il flusso, e la fem, di

una spira

Corrente indotta

• Se il circuito è chiuso ed è resistivo, la fem genera una corrente, detta corrente indotta, data da

• Ove R è la resistenza totale del circuito

6



i  E

R

fem indotta

• La fem è presente anche se il circuito non è chiuso

• Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti di una batteria)

• La fem indotta da un flusso magnetico variabile si può invece considerare distribuita in tutto il circuito

• La fem può anzi essere attribuita allo spazio in cui è presente il campo B variabile: ai capi del circuito è presente una fem in quanto esso

occupa uno spazio in cui è presente una fem

Legge di Lenz

• Prescrive il segno negativo davanti alla variazione del flusso magnetico

• La fem indotta e la corrente indotta hanno verso tale da opporsi alla variazione che le genera

• Questo segno garantisce l’accordo con la conservazione dell’energia

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Legge di Lenz: magnete che si avvicina ad una spira

• Il campo B del magnete è rivolto verso destra

• Orientiamo la spira concordemente al campo B

• Il flusso del campo è positivo

1

2

 



1

S N

 0





t

S N

2

Scelta arbitraria

Legge di Lenz: magnete che si avvicina ad una spira

• All’avvicinarsi del magnete, il flusso aumenta (diviene ancora più positivo), quindi la fem e la corrente indotte nella spira devono essere negative, cioè generare un campo indotto B il cui flusso sia opposto (in questo caso negativo)

1

2

 



1

S N

 0





t

S N

2

10

Legge di Lenz: circuiti affacciati percorsi da correnti variabili

• I₁ crescente, flusso di B₁ attraverso C₂ crescente → I₂ negativo, flusso di B₂ attraverso C₂ negativo

• I₁ decrescente, flusso di B₁ attraverso C₂ decrescente → I₂ positivo, flusso di B₂ attraverso C₂ positivo

A

C1 C2

A

C1 C2

Moto di un conduttore in campo B

• Sbarra conduttrice inizialmente ferma, è posta in moto

perpendicolarmente alla sua lunghezza (l) e a un campo B

• Supponiamo che la velocità finale v sia costante

• Gli elettroni della sbarra

risentono della forza di Lorentz e vengono spinti lungo il

conduttore verso l’estremità lontana

v B

B v

q

f  





12

v

B -

+

Fem e campo elettrico dinamici

• Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q

trasportata (lungo una linea C) entro il conduttore in moto con velocità v è

• Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica

• e si puo` considerare un campo elettrico dinamico:

l d B v

q l

d f

C C

 

 

    

  

L

vBl l

d B

v l

d q f

q 

 

  

 ^{L 1}  ^{ }  ^{  }

E

B v

E   





B v

  

Stato di moto transitorio

• Poiché gli elettroni non possono fuoriuscire

dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana

• All’estremità vicina avremo un eccesso di carica positiva

v

B -

+

14

• La separazione di carica genera un campo elettrico statico all’interno e all’esterno della sbarra

• Questo campo si oppone con una forza ad un ulteriore accumulo di elettroni

• Lo stato di moto transitorio ha termine e si giunge all’equilibrio quando le due forze si annullano a vicenda

• In questa situazione i due campi soddisfano:

Campo statico. Equilibrio





 f

 q 

E

 0



 q v B E

q 

 

 

E

  

E

  v  

B

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v

B -

+

B v

q

f  









f _s  q 

E _s

Flusso di corrente

• Se la sbarra fa parte di un circuito è possibile che l’equilibrio non venga mai raggiunto e si

abbia un flusso di corrente dovuto alla presenza della fem

v B

Velocità degli elettroni

• Consideriamo una situazione in cui gli elettroni si muovano lungo il conduttore

• La loro velocità v

è la somma della velocità v della sbarra e della componente v

associata al moto

lungo la sbarra

• v

determina una forza di Lorentz f

, agente sugli elettroni, perpendicolare a v

v_d

v

v_e f_L



s

B X





v 

  v   v

Forza vincolare

• v

determina una forza di Lorentz f

sugli elettroni, perpendicolare alla sbarra, in verso opposto al

moto

• La risultante di tutte queste forze f

è una forza che agisce sulla sbarra, anch’essa in verso opposto al moto

• Il vincolo (la superficie della sbarra) reagisce con una forza f

= - f

su ogni elettrone

• NB: Le cariche rimangono contenute nella sbarra

v_d

v

v_e f_L

f_v



s

B X

18

f_d

Lavoro della forza f

• Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza totale agente su un elettrone

• oppure

• Com’è noto, la forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi

v

L

f

f

f   





qvB B

qv f

f 

sin  

sin  

f

v

v_e f_L

f_v



s

B X

l

b

 

b f s

f s

f

s d f

s d f

s d f

f s

d f

v v

v

S v S

L S

v L

S































   



 

 

 

  L 

qvBl fl

fs s

f s

d f

S













  ^{    cos }

L

Generatore di fem

• Abbiamo visto che è presente una forza che si oppone al moto della sbarra

• Ne segue che affinché la sbarra si muova di moto non ritardato è necessario che ci sia una forza esterna, ovvero una sorgente esterna di energia (p.e. meccanica)

• L’energia che fa circolare la corrente non proviene dal campo B: esso solo converte l’energia meccanica (esterna) in energia elettrodinamica

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Spira in moto in un campo B

• Spira di dimensioni b e h

• Scegliamo k come verso positivo di percorrenza della spira

• Campo uniforme: gli elettroni su ciascun lato sentono la stessa forza

• Risultato: c’è accumulo di carica sui lati vicino e lontano

 0





  ^{v B d l}

C

  E 

• La fem totale sulla spira è nulla:

– sui lati vicino e lontano la forza è perpendicolare allo spostamento – La forza è uguale sui lati destro e

sinistro, percorsi in verso opposto

B

v +++++++++

- - - B

Spira in moto in un campo B

• Campo non uniforme: gli elettroni sul lato sinistro e destro sentono le forze

• Poiche’ f₁>f₂ gli elettroni

circoleranno in senso orario (e quindi la corrente associata in senso antiorario)

• La fem lungo la spira e`

2

2

q v B

f   





 ^{B B}  ^h

v h

vB h

vB

l d B

v l

d B

v l

d B v

Ld Ls

C

2 1

2 1

2 1



























  ^{  }  ^{  }  ^{  }

E

1

1

q v B

f   





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B₁

v B₂

f₁

f₂

Relazione tra fem e variazione di flusso

• Nel tempo dt il circuito si sposta di vdt

• Il flusso diminuisce a sinistra e aumenta a destra risp. di

• La variazione di

flusso totale è quindi

• Confrontando con l’espressione

precedente della fem

hvdt B

B₁

v dt B₂

hvdt B₂

 ^{B B}  ^hvdt

d   



 

dt hv d

B

B 









E

Legge di Lenz e forza su una spira

• La fem fa fluire corrente nel circuito in verso antiorario

• Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in calore

• I lati della spira sono sottoposti a forze: F₂ per il lato a destra e F₁ per il lato a sinistra

• F₁ è maggiore di F₂ e la forza risultante si oppone al moto

• Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un agente esterno che fornisca energia

• Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo

• Se la spira accelera, l’agente esterno deve anche fornire energia cinetica B₁

v B₂

F₁ F₂

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Legge di Lenz e conservazione dell’energia

• Se fosse vero l’opposto della legge di Lenz, la forza agente sulla spira ne

farebbe aumentare la velocità

• Questo porterebbe ad un aumento della forza acceleratrice, creando una

situazione a feedback positivo

• Come conseguenza l’energia non si

conserverebbe, ma aumenterebbe

Applicazioni dell’induzione

• Correnti di Foucault

• Forno a induzione

• Freno elettromagnetico

• Alternatore

• Misura del campo B

• Betatrone

• Disco di Faraday (ruota di Barlow)

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Esercizio

• Una spira, immersa in un campo B uniforme, si muove con velocita` v

• Determinare la fem indotta nella spira

• Determinare la fem indotta tra i punti A e C

C

A B v

Esercizio

• Un filo conduttore AC, immerso in un campo B uniforme, si muove con velocita` v

• Determinare la fem indotta tra i punti A e C

– Usando la forza di Lorentz – Usando la legge di Faraday

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C

A B v

Esercizio

• Trovare la fem indotta tra centro e circonferenza di un disco di Faraday (o ruota di Barlow)