Elettrodinamica 3 30 ottobre 2014

Elettrodinamica 3

30 ottobre 2014

Alternatore Valore efficace

Circuiti in corrente alternata Circuito R

Circuito C Circuito L Circuito LR

Alternatore

• È un generatore di fem alternata

t

t ) sin 

( E

E 

B



Valore efficace

• Per una grandezza che varia sinusoidalmente, è definito come la radice quadrata della media del quadrato della grandezza

• È pari all’ampiezza diviso radice di due

2 0 0

2 2

0 0

2 2

2 sin 1

) 1 1 (

G G

G

G

 _T

 ^{t dt}  _T 

^{ tdt} 

Circuito R

• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff

• La corrente ha la stessa fase della fem

RI V



 E 

R E

R t

I  E  R E

sin 

 0

 V

E

Circuito R

• Potenza assorbita: è sempre >=0

• Potenza media

• In termini di valore efficace

R E

R t I R

P E

E

sin



E  



xdx R tdt R

R dt T

t T P

P

T

T 2

0 2

0

2 2

0 0

2 2

0

0

2

sin 1 2

sin 1 ) 1

1 (  E  E  E

   ^ _ 

R

P R ^eff

2 2 0

2

1 E  E



Quesito

• Riconsideriamo l’esercizio dell’interruttore della luce in una stanza, supponendo ora di avere una fem alternata del tipo con una frequenza di rete di 50 Hz

• Qual e` l’ampiezza D₀ dello spostamento x di un elettrone nel filo?

• Soluzione nella pagina seguente

t t ) sin  ( E

E 

Quesito

• La corrente nel filo e` data da

ricordando l’espressione della corrente in termini di velocita` di deriva: ; quindi

• Troviamo D₀ integrando su un quarto di ciclo:

• Cioe` una distanza di poche migliaia di atomi





 v A nqv A I  



t R

I E

 sin 









 neA

t I

neA v I

dt dx

d



0

sin

nm neA

tdt I neA

dt I v

D ^T _d ^T

100 235 1 10

10 6

. 1 10

47 . 8

1

sin 1

6 19

28

0 4

/

0 0 4

/

0 0

 





 























 

Circuito C

• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff

• La corrente si trova differenziando Q

• Riscriviamo il coseno in termini di seno per poter meglio confrontare lo sfasamento rispetto alla fem

• La corrente è in anticipo di fase di /2 sulla fem è detta reattanza capacitiva, e ha le

dimensioni di una resistenza

t C

C

Q  E  E₀ sin



C E

C Q V

 1

 E 



 



 





  ₀ cos ⁰ sin t 2 t X

dt C I dQ

C

E E ^grafico

X_C C



 1



 0

 V

E

Circuito C

• Potenza assorbita: può essere positiva o negativa

• Potenza media

• In un condensatore ideale non c’è dissipazione di potenza

t t

C I

P  E  E

 sin  cos 

0 cos

2 sin cos 1

1 sin

0 2

0 0

2

0

 

 _T  ^{C   t  tdt C } _ 

^{x xdx}

P

T

E E

grafico

Circuito L

• Applichiamo la 2° legge di Kirchhoff

• La corrente si trova integrando

• Riscriviamo il coseno in termini di seno per poter meglio confrontare lo sfasamento rispetto alla fem

• La corrente è in ritardo di fase di /2 sulla fem è detta reattanza induttiva, e ha le dimensioni di una resistenza

 0





 dt

L dI

L E

E E

L E

L t L

dt

dI  E  E ⁰ sin





 



 











I

L

E E

E

grafico

L

X

 

Circuito L

• Potenza assorbita: può essere positiva o negativa

• Potenza media

• In un solenoide ideale non c’è dissipazione di potenza

t L t

I

P  

 ^{sin cos}

2

E

E  



0 cos

2 sin cos 1

1 sin

0 2

0 0

2

0

 



 



 

 



 



 

 _T  _{ L} ^{ t  tdt} _{ L } 

^{x xdx}

P

T

E E

grafico

Circuito LR

• Equazione del circuito:

• Riordinando

• Questa equazione ha come soluzione generale la somma di una sua soluzione particolare e della

soluzione generale dell’equazione omogenea associata

• Come già sappiamo la soluzione generale di

• è con

L E

 0









 RI

dt L dI V_R

L E

E E

t dt RI

L dI  E ₀ sin



 0 dt  RI

L dI

 

I  ^

R

 L



Circuito LR

• Una soluzione particolare si ottiene dalla soluzione di prova

• Ove I₀ e  sono costanti da determinare in modo tale da rendere l’equazione differenziale una identità

• NB: queste costanti non dipendono dalle condizioni iniziali

 

 ^

^ 

I^* ₀ sin

Circuito LR

• Sostituendo I* nell’equazione differenziale

• Differenziando e sviluppando seno e coseno, otteniamo

   

   

t

t t

RI t

t LI

t RI

t LI































sin cos

cos sin

sin sin

cos cos

sin cos

0

0 0

0 0

E



















 









dt L d dt RI

L dI ^* ₀ sin

 

 



*

E











Circuito LR

• Raggruppando i termini in e

• Ovvero, chiamando A e B le costanti in parentesi quadre

• Il primo membro è una funzione del tempo e affinché sia identicamente nullo, occorre che A e B siano nulli









cos



















sin cos



0 sin

cos t  B t 

A

 

 

0 cos

sin

0 sin

cos

0 0

0 0























R I L

I

R L

I

Circuito LR

• Questo è un sistema di due equazioni nelle due incognite I₀ e ; la prima equazione dà

• Da cui ricaviamo

• Che sostituiamo nella seconda equazione R

- ωL tgφ 

 

 

R ωL

R φ R

Z - X ωL

R - ωL

φ ^L

 



 



2 2 2 2

cos sin

L

X

 

Circuito LR

• Dalla seconda equazione otteniamo

• Da cui

• La soluzione particolare è dunque

• Con

• e è l’impedenza del circuito

• L’impedenza per un circuito in CA è la grandezza che corrisponde alla resistenza in un circuito in CC

 

0 0

2 2

0   E

Z Z I

R I



I₀  EZ⁰

 

 ^

^ 

t Z

I^* E ⁰ sin



 



 R

X_L arctg



 

2 2

2 X R L

R

Z   _L  



Circuito LR

• La soluzione generale dell’equazione è quindi

• Per determinare la costante A di

integrazione bisogna, come al solito, imporre la condizione iniziale per la corrente I(0)

• Possiamo però notare che la soluzione dell’omogenea è esponenzialmente decrescente, per cui se non siamo interessati a quel che accade per piccoli valori del tempo, ma piuttosto alla soluzione su tempi lunghi, allora:

• Quindi asintoticamente la soluzione coincide con la soluzione particolare

 

 ^

^ 

Ae Z t

I ^t E ⁰ sin

 

 ^

^ 

t Z

I E ⁰ sin

Circuito RC

• In modo simile può essere trattato il circuito RC

• In tal caso la costante di fase  (sfasamento tra corrente e fem) è

• e l’impedenza

2 2 2

2 1



 



 





 R X R C

Z _C



 

 

 

 R

arctg X





 1 2 

 



C t Q dt

R dQ  E ₀ sin



 

 ^

^ 