1 L’equazione del calore

1 L’equazione del calore

E’suscettibile di tre visioni: come limite macroscopico di un sistema di particelle (lezione precedente); come equazione di Fokker-Planck; come equazione di Kolmogorov. Vediamo qualche dettaglio.

1.1 Sulle veri…che di calcolo

A completamento della lezione precedente, veri…chiamo che la funzione de…nita da

t (x) = Z

R

p t (x y) ₀ (y) dy (1)

dove p t (x) = (2 t) ^d=2 exp jxj ² =2t è di¤erenziabile in…nite volte in t ed x, per t > 0, e soddisfa

@ _t

@t = 1

2 ^t : (2)

Vale, per t > 0,

@p _t (x)

@t = d=2 (2 t) ^{d=2 1} 2 exp jxj ² =2t + (2 t) ^d=2 exp jxj ² =2t jxj ² =2t ²

= p _t (x) d 2t + jxj ²

2t ²

!

@ _i p _t (x) = p _t (x) ( x _i =t)

@ _i ² p t (x) = p t (x) ( x i =t) ² + p t (x) ( 1=t)

= p t (x) x ² _i t ²

1 t : Ne discende subito

@p _t (x)

@t = 1

2 p t (x) :

Modulo il riferimento preciso ad opportuni teoremi di derivazione sotto il segno di integrale, dalla formula di convoluzione per _t (x) si deduce subito che vale (2).

1.2 Equazione del calore come esempio di equazione di Fokker-Planck Col termine "equazione di Fokker-Planck" si intende una certa equazione alle derivate parziali soddisfatta dalla densità _t (x) della soluzione X _t di un’equazione di¤erenziale stocastica. Se come equazione prendiamo

dX t = dB t ; Xj ^t=0 = X 0

1

con X ₀ avente densità ₀ (x), la soluzione X _t = X ₀ + B _t ha densità _t (x) data dalla formula di convoluzione (1), quindi soddisfacente l’equazione del calore. [E’ una delle argomentazioni usate nella lezione precedente.]

Quindi l’equazione del calore, oltre a vedersi come limite di un sistema di particelle, si può vedere anche come esempio di equazione di Fokker-Planck.

1.3 Formula di rappresentazione probabilistica In…ne, vediamo che per la soluzione dell’equazione del calore

@u _t

@t = 1

2 u _t ; uj t=0 = u ₀

(abbiamo cambiato le notazioni per evitare equivoci) vale la formula di rappresentazione probabilistica

u t (x) = E [u 0 (x + B t )] : Infatti,

E [u ₀ (x + B _t )] = Z

u ₀ (x + y) p _t (y) dy

= Z

p _t (x y) u ₀ (y) dy che, per quanto detto sopra, risolve l’equazione del calore.

Questo legame di inserisce nel "capitolo" della cosidetta equazione di Kolmogorov.

2 Sulla convergenza debole di misure, nel caso aleatorio

In precedenza abbiamo dimostrato che, per ogni funzione test continua e limitata , vale

N !1 lim Z

R

(x) S _t ^N (dx) = Z

R

(x) _t (x) dx (3)

nel senso della convergenza quasi certa. L’insieme di misura nulla degli ! per cui la conver- genza non vale, può dipendere da . Ci chiediamo se questa proprietà, in cui l’insieme ec- cezionale può dipendere da , ne implichi una apparentemente più forte, in cui l’insieme ec- cezionale è universale. Vale cioè che, per P -q.o. ! 2 , la successione di misure S t ^N (!) (dx) converge debolmente a _t (x) dx? Possiamo invertire i quanti…catori "per ogni 2 C b " e

"per P -q.o. ! 2 "?

Ovviamente l’a¤ermazione "per P -q.o. ! 2 , la successione di misure S _t ^N (!) (dx) converge debolmente a _t (x) dx" implica l’altra, implica cioè che per ogni 2 C b vale (3) P -q.c., perché l’insieme di ! di misura 1 su cui vale la convergenza debole va bene per ogni

2 C ^b . Il problema apparentemente di¢ cile è l’opposto. La risposta è a¤ermativa.

2

Corollary 1 Esiste un insieme ₀ 2 F di P -misura uno, tale che per ogni ! 2 0 e per ogni 2 C b vale

N !1 lim Z

R

(x) S _t ^N (!) (dx) = Z

R

(x) _t (x) dx

(quindi, per ogni ! 2 ⁰ , le misure S ^N _t (!) (dx) convergono debolmente a _t (x) dx).

Proof. Basta dimostrare l’asserto prima per una successione densa di funzioni test, poi passare a tutte le altre con una stima. Vediamo i dettagli.

Sia f g _2N una successione densa in C c R ^d , l’insieme delle funzioni continue a sup- porto compatto, densità misurata rispetto alla topologia uniforme (nota: C _b R ^d invece non è separabile). Siccome per ogni 2 N vale (3) con = , trattandosi di una quantità numerabile di a¤ermazioni, possiamo dire che esiste un insieme 0 2 F di P -misura uno, tale che per ogni ! 2 0 e per ogni 2 N vale

N !1 lim Z

R

(x) S _t ^N (!) (dx) = Z

R

(x) _t (x) dx: (4)

Per ogni 2 C c R ^d ed 2 N vale Z

R

(x) S _t ^N (!) (dx) Z

R

(x) _t (x) dx Z

R

j (x) (x)j S ^N t (!) (dx) +

Z

R

(x) S _t ^N (!) (dx) Z

R

(x) _t (x) dx +

Z

R

j (x) (x)j t (x) dx

k k ₁

Z

R

S _t ^N (!) (dx) + Z

R

t (x) dx +

Z

R

(x) S ^N _t (!) (dx) Z

R

(x) _t (x) dx : Ricordiamo che R

R

S _t ^N (!) (dx) = 1, R

R

t (x) dx = 1. Presa 2 C ^c R ^d , preso " > 0, sia 2 N tale che k k ₁ ^" ₂ . Vale

Z

R

(x) S _t ^N (!) (dx) Z

R

(x) _t (x) dx

" + Z

R

(x) S _t ^N (!) (dx) Z

R

(x) _t (x) dx :

3

Quindi, ricordando (4), per ogni ! 2 0

lim sup

N !1

Z

R

(x) S ^N _t (!) (dx) Z

R

(x) _t (x) dx ":

Siccome " > 0 è arbitrario ed il limsup non dipende da ", si deduce che il limsup è zero.

In…ne, si ricordi che se una successione di misure di probabilità converge ad una misura di probabilità (questo è essenziale, e qui è veri…cato) su tutte le funzioni test di C c R ^d , allora converge debolmente (cioè su tutte e funzioni test di C _b R ^d ). La dimostrazione è completa.

Remark 2 Analogo risultato vale se al posto della convergenza quasi certa si utilizza la convergenza in probabilità: dall’a¤ ermazione che per ogni 2 C b vale (3) nel senso della convergenza in probabilità, discende d S _t ^N ; _t ! 0 in probabilità, dove d è una qualsiasi metrica che induca la convergenza debole (ne esistono diverse).

4