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Esercizio 1. Sia P = R≤

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizio 1. Sia P = R

≤2

[x] lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a due nella variabile x, con la topologia indotta dall’identificazione di P con R

3

(quella data ax

2

+ bx + c ↔ (a, b, c) per intenderci).

Sia X ⊂ P l’insieme dei polinomi che non hanno radici reali. Sia Y ⊂ P l’insieme dei polinomi con esattamente due radici reali distinte. Sia Z ⊂ P l’insieme dei polinomi che hanno almeno una radice reale. X, Y, Z si intendono dotati della topologia indotta da P . (Si ricorda che il polinomio nullo ha infinite radici.)

(1) X `e aperto?

(2) X `e chiuso?

(3) X `e connesso?

(4) Y `e aperto?

(5) Y `e connesso?

(6) Si dica se Y `e denso in Z.

(7) Z `e la chiusura di Y in P ?

(8) Identificando P con R

3

, descrivere la chiusura proiettiva di X . Essa `e omeomorfa alla chiusura proiettiva di Y ?

Le risposte devono essere adeguatamente motivate.

Esercizio 2. Sia A un ottagono regolare in R

2

e sia X lo spazio ottenuto identificando i due lati orizzontali tra loro e i due lati verticali tra loro. Sia B un quadrato privato di un disco aperto e sia Y lo spazio ottenuto identificando i due lati orizzontali tra loro e i due lati verticali tra loro.

❅ ❅

❅ ❅

❅ ❅

❅ ❅

>

>

∧ ∧ ∧

X ∧

>

>

∧ ∧ ∧

∧

✫✪

✬✩

Y

Si dica se

• X e Y sono connessi,

• X e Y sono compatti,

• X e Y sono T

2

,

• X e Y sono localmente connessi,

• X e Y sono omeomorfi tra loro.

Esercizio 3. Siano X, Y due spazi topologici e siano A, B altri due spazi. Dimostrare che

se A `e omeomorfo a X e Y `e omeomorfo a B allora X × Y `e omeomorfo ad A × B. ` E vero

anche il viceversa?

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