Esercizio 1. Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 22/01/2013

A.A. 2011/2012

Esercizio 1. Disegnare l’insieme E = {(x, y) ∈ R

| − x ≤ y ≤ √

1 − x

, y ≥ 0} e calcolare l’integrale

doppio ∫∫

E

1 1 + √

x

+ y

( √

x

+ y

+ 1) dxdy.

Esercizio 2. Data la forma differenziale

ω(x, y) = ( 1

x + ye

)dx + ( 1

y + e

)dy

• determinarne il dominio D,

• mostrare che `e chiusa.

• La forma ω `e esatta su tutto D? Determinarne, ove possibile, una primitiva.

Esercizio 3. Trovare i punti di minima e massima distanza dall’origine della cinconferenza di centro C(2, 1) e raggio unitario.

Esercizio 4. Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy {

y

= 2ty(1 − log(y)), y(0) = 1,

e risolverlo analiticamente confrontando i risultati ottenuti.

Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale

∫

−π

cos(t) − sin(t)

3 − cos(t) dt .