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Esercizio 1. Sia X = {(x, y) ∈ R

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizio 1. Sia X = {(x, y) ∈ R

2

: sup(|x|, |y|) < 1} \ {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

≤ 1}.

(1) Si determinino parte interna e chiusura di X.

(2) Si dica se X ` e connesso.

(3) Si dica se ¯ X ` e connesso.

(4) Si dica se ∂X ` e connesso.

(5) Sia Y = {(x, y) ∈ R

2

: xy ≤ 1}; si dica se ¯ X ` e omeomorfo alla compattificazione di Alexandroff b Y di Y .

Esercizio 2. Sia X uno spazio topologico. Si dica, giustificando, se le seguenti afferma- zioni sono vere o false:

(1) Se X ` e connesso allora togliendo un punto rimane connesso.

(2) Se ∃x ∈ X tale che X \ {x} ` e connesso, allora X ` e connesso.

(3) Se ∀x ∈ X si ha che X \ {x} ` e connesso, allora X ` e connesso.

(4) Se ∀x ∈ X si ha che X \ {x} ` e connesso, allora X ha al pi` u due componenti connesse.

Esercizio 3. Sia X uno spazio metrico compatto. Si dimostri che X ` e separabile. Si dimostri che X ha base numerabile.

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