Problemi pratici teorici-sperimentali

Problemi pratici teorici-sperimentali

1. Se viene fatta una sola misura come si estrae la deviazione standard ?

Risposta: per convenzione si prende come deviazione standard la metà della sensibilità dello strumento usato per fare la misura. Poiché è una convenzione potrebbe capitare che in campi specifici o in particolari protocolli di misura questa regola venga modificata.

Attenzione: è un grave errore dire che la deviazione standard o l’errore é nullo.

Attenzione: è importante il contesto:

Se uso un cronometro azionato a mano e il cronometro ha una sensibilità di 0.01 s, devo tener presente l’incertezza data dai tempi di reazione. Quindi l’indicazione della sensibilità dello strumento in questo caso non è una stima realistica dell’incertezza sulla singola misura.

La valutazione dell’incertezza si riferisce esclusivamente alla grandezza effettivamente misurata. Ad esempio se misuro 20 oscillazioni (cioè 20 periodi) l’incertezza strumentale è relativa alla misura di 20 periodi. Se poi divido per 20 per estrarre la misura di un periodo singolo l’incertezza strumentale dovrà essere opportunamente scalata.

2. Se facendo N misure ottengo N risultati identici come estraggo la deviazione standard ?

Risposta-1: Hai uno strumento troppo poco sensibile e quindi è inutile eseguire N misure, ne basta una e in questo caso si prende come deviazione standard la meta della sensibilità dello strumento usato per fare la misura.

Ovviamente questo lo si scopre a posteriori.

Risposta-2: In teoria si dovrebbe calcolare la deviazione standard di una distribuzione gaussiana tale per cui si abbia il 50% (convenzionale) di probabilità che tutte le N misure mi cadano all’interno della sensibilità dello strumento. Ma questo è un procedimento abbastanza complicato.

Sia d l’incertezza strumentale e  la deviazione standard (ignota). Allora posso definire





3. Bisogna misurare il valore di una osservabile e l’errore con il quale questo valore è misurato. Questo significa fare N misure dirette dell’osservabile ed estrarre media, deviazione standard e deviazione della media ?

Risposta: Si. E’ possibile estrarre, utilizzando la definizione, le tre quantità sopracitate. In questo caso il valor medio è la miglior stima della mia osservabile e l’errore è dato dalla relazione discussa nel punto 3.

Attenzione: E’

4. Come si definisce l’errore in una misura sperimentale reale

Risposta:

Nel caso di una misura diretta:

















2 k k

e strumental à

Sensibilit errore

errore tra

maggiore il

prendere Devo

media



Nota: Con una definizione di questo tipo posso estrarre a priori l’errore minimo che è possibile ottenere da un esperimento.

k e strumental à

Sensibilit

errore /

Nel caso di una misura indiretta:

...) , , , (₁ ₂ ₃ f

errore

Dove f(S

, …) è la relazione di propagazione degli errori e il termine 

(nella formula della propagazione errori) rappresenta il termine maggiore tra la sensibilità strumentale della n-esima osservabile misurata direttamente e la sua deviazione standard della media.

Nota: In molti casi la sensibilità strumentale è molto inferiore all’errore casuale. In questo caso l’errore con cui ho misurato una osservabile diventa la deviazione della media.

media

media

Sensibilit à strumental e

errore     

5. Bisogna misurare il valore di una osservabile e l’errore con il quale questo valore è misurato. Questo significa fare N misure dirette dell’osservabile ed estrarre media, deviazione standard e deviazione della media ?

Risposta: Si. E’ possibile estrarre, utilizzando la definizione, le tre quantità sopracitate. In questo caso il valor medio è la miglior stima della mia osservabile e l’errore è dato dalla relazione discussa nel punto 3.

6. Ma cosa succede se bisogna ricavare il valore di una grandezza derivata e l’errore con il quale è stata ottenuta ?

Supponiamo d’ora in avanti che le sensibilità strumentali siano piccolissime e che l’errore sia dato solo dalla deviazione della media, in caso contrario è semplice correggere il ragionamento

Risposta:

Caso 1:

La grandezza derivata dipende solamente dal valore di una osservabile,

p.es. bisogna ottenere il volume di un cubo V = L

a partire dalla misura del suo lato.

In questo caso si usa la propagazione degli errori per ottenere l’incertezza sul valore medio che è in pratica deviazione standard della media. Posso estrarre la deviazione dalla media di V usando nella relazione di propagazione degli errori la deviazione standard della media L.

Caso 2: La grandezza derivata dipende dal valore di due o più osservabili, p.es.

la accelerazione di gravità g = 4

(L/T

)

In questo caso ho diversi situazioni sperimentali possibili

 Situazione 1: Monto il pendolo 10 volte misurando ogni volta L e T.

In questa situazione ho 10 coppie di misure (L,T).

In questo caso estraggo da ciascuna coppia il valore di g corrispondente

(ottengo quindi 10 valori differenti di g). Da questi 10 valori posso estrarre

con le relazioni classiche il valor medio, la deviazione standard e la

deviazione dalla media. Nel caso le misure avessero accuratezze diverse

devo fare una media pesata.

In alternativa è possibile estrarre un periodo medio con il suo errore (deviazione della media) e una lunghezza del pendolo media con il suo errore (deviazione della media). Nell’ipotesi che le misure siano scorrelate (ed in particolare anche il loro errore) allora l’accelerazione di gravità si estrae utilizzando <T> e <L> mentre l’errore su g si estrae attraverso la propagazione degli errori con la deviazione dalla media senza il termine di covarianza.

I due valori di ‘g’ con i loro errori (estratti con i due metodi soprascritti) devono essere compatibili tra loro. In caso contrario le ipotesi di indipendenza e ripetibilità non sono soddisfatte o ci possono essere errori di conto/analisi.

 Situazione 2: Monto il pendolo una sola volta, misuro L una volta e poi

misuro il periodo 10 volte (10 oscillazioni consecutive) con un sensore.

Nel caso specifico del pendolo è molto difficile che le misure di periodo siano ripetibili e indipendenti (i.e. l’ampiezza di oscillazione può cambiare).

L’osservabile L può avere un errore sistematico visto che è stata fatta una sola misura. Ovviamente lo stesso può essere vero o meno in altri ambiti.

Tenete sempre aperta comunque la possibilità che le misure possano non essere ripetibili e indipendenti.

Nell’ipotesi di indipendenza e ripetibilità delle misure la procedura più semplice per estrarre g è quella di ricavare con le relazioni classiche il valor medio e la deviazione standard e della media del periodo T. Posso poi estrarre g usando i valori di <T> e di L e poi, per estrarre l’errore su g, usare la propagazione degli errori usando le deviazioni della media.

Ricordatevi che posso usare, all’interno della formula di propagazione degli errori, la deviazione dalla media solo sotto le ipotesi di indipendenza e ripetibilità.

L’errore su L può essere sia statistico che sistematico o contenere entrambi i contributi

Una possibile alternativa potrebbe essere quella di estrarre un valore di g per ogni periodo misurato. In teoria questo procedimento non sarebbe formalmente corretto e bisogna sempre riflettere attentamente sui risultati ottenuti. Una misura di L è infatti usata 10 volte. In pratica non dovrebbe comportare eccessivi problemi (riflettete sempre però sui risultati ottenuti).

In questo caso posso estrarre con le relazioni classiche il valor medio e la

deviazione standard e della media di g partendo dai diversi valori di g estratti

Anche in questo caso i due metodi devono dare risultati statisticamente identici, compatibili

Considerazioni pratiche

In pratica è importante andare a verificare il peso dei termini presenti nella relazione di propagazione degli errori. Per esempio nel caso del pendolo si ha:

2 2

4 



 



 



 



 

T L

g

T

g L 



1

possibilità:

Nel caso in cui domini l’incertezza nella misura della lunghezza del pendolo

T L

T

L



 _

La deviazione standard dell’accelerazione è sostanzialmente caratterizzata dalla misura di L.



 







 



 



 



 



 



 

L L

T L

g

L L

T

g L   

 ^{2 2 2}

4

In questo caso è facile comprendere perche il numero di misure di T fatte non possa influenzare l’errore sulla misura di g.

2

possibilità:

Nel caso opposto, quando domina invece l’incertezza nella misura del periodo di oscillazione del pendolo:

T L

T

L



 _

la deviazione standard dell’accelerazione è sostanzialmente caratterizzata dalla misura di T. E’ quindi possibile trascurare il contributo della misura di L alla deviazione standard di g.



 



 



 



 



 



 



 



 

T T

T L

g

T T

T

g L   

 4 4 2

2 2

2

In questo caso è possibile estrarre una deviazione standard dalla media per l’accelerazione di gravità dividendo 

per la radice quadrata del numero di misure del periodo.

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

T T

T L

g

T T

T

g



  

 4 4 2

2 2

2

T N N

g T m g

2

1



 



 



 



Attenzione: l’errore minimo costituisce SEMPRE il limite inferiore per il valore dell’errore su g ottenibile dalla misura.

 Situazione 3 - Monto e misuro per 5 volte L e per 50 volte T. Posso usare la

deviazione dalla media per g ? Che N uso ?

Risposta: E’ una situazione sperimentale ‘anomala’ ma realistica. E’ molto probabile avere misure correlate/non indipendenti ed una stima non corretta di

. Tuttavia, in linea di principio, posso ricavare con le relazioni classiche il

valor medio e la deviazione standard e della media per il periodo e la lunghezza (attenzione a verificare che l’errore su L e su T non siano diventati inferiori rispetto all’errore minimo).

Il valore di g è poi calcolato usando i valori di <T> e <L>. Per estrarre l’errore di g si può usare la propagazione degli errori usando la deviazione dalla media di L e T

7. Posso usare la deviazione dalla media invece che la deviazione standard in una media pesata ?

Risposta: Si

8. Come si fa una media di una funzione oscillante ?

Risposta: L’intervallo su cui fare la media deve comprendere un numero intero di periodi. Altrimenti il risultato dipenderà dalla fase di oscillazione.

9. Posso usare la deviazione dalla media con dei dati che si distribuiscono su una Poissoniana o Binomiale ?

Risposta: Si

10. Come trovo un errore sistematico ?

Risposta: Premetto che l’errore sistematico è molto difficile da identificare e valutare in quanto è praticamente impossibile disporre di un dispositivo sperimentale che sia interamente descritto dalle equazioni e dalla teoria che fanno sempre riferimento ad un mondo ideale

I due procedimenti più semplici sono:



L’uso della regressione lineare e (in alcuni casi) lo studio dell’intercetta.

Per esempio: nel caso del pendolo, avendo la misura del periodo per diverse lunghezze, la presenza di una intercetta è evidenza di un errore sistematico nella misura della lunghezza del pendolo, nella misura dell’intervallo di tempo o in entrambi

 Tecnica sperimentale/strumenti differenti

11. Come uso/rappresento un errore sistematico.

Risposta: L’errore sistematico si rappresenta in maniera separata rispetto all’errore statistico, ad esempio:

g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s

dove il primo termine è rappresenta l’errore statistico ed il secondo quello sistematico.

Per l’errore statistico, se i dati si distribuiscono su una gaussiana, valgono tutte le regole associate alla deviazione standard o della media (il 68%

delle misure entro una sigma etc. etc. ).

Lo stesso NON è vero nel caso dell’errore sistematico che rappresenta

semplicemente una possibile traslazione del valore misurato.

Nel caso si volesse rappresentare la misura in un plot con barre di

errore complessive potete sommare in quadratura l’errore sistematico

e quello statistico ma ricordate che NON valgono le regole della

gaussiana (il 68% delle misure entro una sigma etc. etc. ) e quindi

anche il calcolo di una ‘t’ non ha senso