Problemi pratici teorici-sperimentali
1. Se viene fatta una sola misura come si estrae la deviazione standard ?
Risposta: per convenzione si prende come deviazione standard la metà della sensibilità dello strumento usato per fare la misura. Poiché è una convenzione potrebbe capitare che in campi specifici o in particolari protocolli di misura questa regola venga modificata. Attenzione: è un grave errore dire che la deviazione standard o l’errore é nullo.
2. Se facendo N misure ottengo N risultati identici come estraggo la deviazione standard ?
Risposta-1: Hai uno strumento troppo poco sensibile e quindi è inutile eseguire N misure, ne basta una e in questo caso si prende come deviazione standard la meta della sensibilità dello strumento usato per fare la misura.
Risposta-2: In teoria si dovrebbe calcolare la deviazione standard di una distribuzione gaussiana tale per cui si abbia il 50% di probabilità che tutte le N misure mi cadano all’interno della sensibilità dello strumento. Ma questo è un procedimento abbastanza complicato.
Sia d l’incertezza strumentale e la deviazione standard (ignota). Allora posso definire
Pint(t d/)N 0.5
3. Come si definisce l’errore in una misura sperimentale Risposta:
Nel caso di una misura diretta:
2 k k
e strumental à
Sensibilit errore
errore tra
maggiore il
prendere Devo
media
Nota: Con una definizione di questo tipo posso estrarre a priori l’errore minimo che è possibile ottenere da un esperimento.
2 / e strumental à
Sensibilit errore
Nel caso di una misura indiretta:
...) , / , (S1 S2 S3 f
errore
Dove f(S1, …) è la relazione di propagazione degli errori e Sn è il maggiore tra la sensibilità strumentale della n-esima osservabile misurata direttamente e la sua deviazione standard.
Nota: In molti casi la sensibilità strumentale è molto inferiore all’errore casuale. In questo caso l’errore con cui ho misurato una osservabile diventa la deviazione della media.
media
media Sensibilità strumentale
errore
4. Bisogna misurare il valore di una osservabile e l’errore con il quale questo valore è misurato. Questo significa fare N misure dirette dell’osservabile ed estrarre media, deviazione standard e deviazione della media ?
Risposta: Si. E’ possibile estrarre, utilizzando la definizione, le tre quantità sopracitate. In questo caso il valor medio è la miglior stima della mia osservabile e l’errore è dato dalla relazione discussa nel punto 3.
5. Ma cosa succede se bisogna ricavare il valore di una grandezza derivata e l’errore con il quale è stata ottenuta ?
Supponiamo d’ora in avanti che le sensibilità strumentali siano piccolissime e che l’errore sia dato solo dalla deviazione della media, in caso contrario è semplice correggere il ragionamento
Risposta:
Caso 1:
La grandezza derivata dipende solamente dal valore di una osservabile,
p.es. bisogna ottenere il volume di un cubo V = L3 a partire dalla misura del suo lato.
In questo caso si usa la propagazione degli errori per ottenere la deviazione standard. Posso estrarre la deviazione dalla media di V sostituendo, nella relazione di propagazione degli errori, alla deviazione standard di L il valore della deviazione della media di L.
Caso 2: La grandezza derivata dipende dal valore di due o più osservabili, p.es.
la accelerazione di gravità g = 42(L/T2)
In questo caso ho diversi situazioni possibili
Situazione 1: Monto il pendolo 10 volte misurando ogni volta L e T.
In questa situazione ho 10 coppie di misure (L,T).
In questo caso estraggo da ciascuna coppia il valore di g corrispondente (ottengo quindi 10 valori differenti di g). Da questi 10 valori posso estrarre con le relazioni classiche il valor medio, la deviazione standard e la deviazione dalla media.
Situazione 2: Monto il pendolo una sola volta, misuro L una volta e poi misuro il periodo 10 volte.
In questa situazione ho 1 misura di L e 10 misure di T. La procedura più semplice per estrarre g è quella di ricavare con le relazioni classiche il valor medio e la deviazione standard del periodo T. Posso poi estrarre g usando i valori di <T> e di L e poi, per estrarre la deviazione standard di g usare la propagazione degli errori. Ricordo che nella relazione di propagazione degli errori bisogna usare la deviazione standard.
In teoria in un caso come questo non è possibile l’estrazione della deviazione dalla media. La stima dell’errore con cui ho misurato g sarà dato dalla deviazione standard di g ottenuta attraverso la propagazione degli errori. Questo implica una possibile sovrastima di quest’errore.
In questa situazione il numero di misure di T fatte non influenza l’errore che posso dare sulla misura di g poichè quest’ultimo può essere caratterizzato dall’errore sulla misura di L.
In pratica è importante andare a verificare il peso dei termini presenti nella relazione di propagazione degli errori. Per esempio nel caso del pendolo si ha:
2 2
4
T L
g
T
g L
1 possibilità:
Nel caso in cui domini l’incertezza nella misura della lunghezza del pendolo
T L
T
L
La deviazione standard dell’accelerazione è sostanzialmente caratterizzata dalla misura di L.
L L
T L
g
L L
T
g L
2 2 2
4
In questo caso è facile comprendere perche il numero di misure di T fatte non possa influenzare l’errore sulla misura di g. Quindi l’errore su g sarà dato dalla sua deviazione standard poiché ho fatto una sola misura di L.
2 possibilità:
Nel caso opposto, quando domina invece l’incertezza nella misura del periodo di oscillazione del pendolo:
T L
T
L
la deviazione standard dell’accelerazione è sostanzialmente caratterizzata dalla misura di T. E’ quindi possibile trascurare il contributo della misura di L alla deviazione standard di g.
T T
T L
g
T T
T
g L
4 4 2
2 2
2
In questo caso non è un procedimento errato estrarre una deviazione standard dalla media per l’accelerazione di gravità dividendo g per la radice quadrata del numero di misure del periodo (nel caso dell’esempio 10).
T T
T L
g
T T
T
g L
4 4 2
2 2
2
T N N
g T m
g
2 1
Attenzione: il valore di L o l’errore minimo costituiscono il limite inferiore per il valore dell’errore su g ottenibile dalla misura.
Nel caso del pendolo quindi:
L T
T di à Sensibilit L
L di à Sensibilit g
L m
g
2 2
4
Oppure:
Una possibile alternativa potrebbe essere quella di estrarre un valore di g per ogni periodo misurato. In teoria questo procedimento non sarebbe formalmente corretto e bisogna sempre riflettere attentamente sui risultati ottenuti.
In pratica non dovrebbe comportare eccessivi problemi (riflettete sempre sui risultati ottenuti). In questo caso posso estrarre con le relazioni classiche il valor medio e la deviazione standard di g. Per la deviazione della media valgono i discorsi fatti precedentemente.
Situazione 3 - Monto il pendolo e misuro per 10 volte L e T.
Risposta: E’ la situazione sperimentale più semplice di quelle fino ad ora esaminate. Posso ricavare con le relazioni classiche il valor medio la deviazione standard per il periodo e la lunghezza misurate. Estrarre poi g usando <T> e <L> e poi, per estrarre la deviazione standard usare la propagazione degli errori. Poiché ho fatto 10 misure per entrambe le osservabili posso estrarre una deviazione standard dalla media dividendo la deviazione standard dell’accelerazione di gravità per la radice del numero di misure (in questo caso 10).
Attenzione al fatto di avere misure correlate
Attenzione che, anche in questo caso non posso avere un errore inferiore all’errore minimo discusso nella situazione 2
Situazione 4 - Monto e misuro per 5 volte L e per 50 volte T. Posso usare la deviazione dalla media per g ? Che N uso ?
Risposta: E’ una situazione sperimentale ‘anomala’ ma realistica. Posso ricavare con le relazioni classiche il valor medio e la deviazione standard per il periodo e la lunghezza. Il valore di g è poi calcolato usando i valori di <T> e
<L>. Per estrarre la deviazione standard di g bisogna usare la propagazione degli errori. Poiché ho fatto un numero di misure differenti per le due osservabili NON posso estrarre una deviazione standard dalla media. La stima dell’errore sul valore misurato di g la posso ottenere in modo analogo a quello discusso nella situazione 2.
6. Posso usare la deviazione dalla media invece che la deviazione standard in una media pesata ?
Risposta: Si
7. Come si fa una media di una funzione oscillate ?
Risposta: L’intervallo su cui fare la media deve comprendere un numero intero di periodi. Altrimenti i risultato dipenderà dalla fase di oscillazione.
8. Posso usare la deviazione dalla media con dei dati che si distribuiscono su una Poissoniana o Binomiale ?
Risposta: Si
9. Come trovo un errore sistematico ?
Risposta: I due procedimenti più semplici sono:
Analisi comparata con regressione lineare e estrazione dati diretta
Tecnica sperimentale/strumenti differenti
